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Xeal
Anmeldungsdatum: 29.05.2007
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 Xeal Verfasst am: 29. Mai 2007 17:31 Titel: DGl zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung |
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Hallo ! Bin Physikstudent im ersten Semester und ich habe hier eine Aufgabe zu lösen.
"Auf einer Eisstockbahn wird ein Eisstock der Masse m = 5kg mit einer Anfanggeschwindigkeit v0=20m/s losgeschleudert.
Es wirkt auf ihn die
Reibungskraft: Fr=-p * v mit p = 1kg/s
Finden und lösen sie die DGL z.B. mit der Methode "Trennung nach variablen" und beantworten sie folgende Fragen:
a) Nach welcher Zeit kommt der Eisstock zum Stehen ?
b) Nach welcher Strecke kommt der Eisstock zum stehen ?
Ich habe jetzt folgende Probleme:
In Mathe haben wir noch nicht mit DGL angefangen und in der Schule haben wir das Thema auch nich sonderlich behandelt.
Ich würde folgenden ansatz machen :
 = m \cdot s''(t))
Ist das soweit richtig ? Wenn ja, was bedeutet jetzt "Trennung nach Variablen" ? |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 29. Mai 2007 18:48 Titel: Re: DGl zur gleichmäßg beschleunigten bewegung |
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| Xeal hat Folgendes geschrieben: |
Ist das soweit richtig ? Wenn ja, was bedeutet jetzt "Trennung nach Variablen" ? |
Das ist soweit schon absolut richtig. 
Wenn man sowas noch nie gemacht hat, ist es sicher nicht so trivial, diese DGL zu lösen - ich werd' mal versuchen ein paar Hinweise in die richtige Richtung zu geben.
Was du jetzt hier hast, ist ja eine Differentialgleichung für den Ort.Genauer gesagt: eine homogene lineare DGL 2. Ordnung. Nun ist das 2. Ordnung nicht so schön. Aber man sieht, dass der Weg nur als erste und zweite Ableitung vorkommt, also kann man die selbe Gleichung für die Geschwindigkeit formulieren.Beziehungsweise:
Diese Differentialgleichung kann man jetzt mit der Methode der Trennung der Variablen lösen. Wenn du davon noch nie gehört hast, würde ich dir empfehlen darüber nachzulesen, da es sich dabei um ein sehr nützliches Verfahren handelt, das du in vielen Übungsaufgaben wiederfinden wirst.
Grob gesprochen bringt man dabei alles was mit einer Variablen zu tun hat auf eine Seite, und alles was mit der anderen Variablen zusammenhängt auf die andere. Man trennt also die beiden Variablen um die es geht, hier also Geschwindigkeit und Zeit:Links steht jetzt also alles was mit der Geschwindigkeit zu tun hat (und ein konstanter Vorfaktor), rechts alles mit der Zeit.
Der nächste Schritt besteht darin beide Seiten zu integrieren, wobei darauf geachtet werden muss, dass die Integrationsgrenzen links und rechts zusammenhängen, man also jeweils von Anfangsgeschwindigkeit/-zeit bis zur gesuchten Geschwindigkeit/Zeit integriert. Die Zeit als Integrationsvariable hab' ich jetzt mal mit t' bezeichnet. Diese Integrale ausgerechnet bekommst du eine Gleichung in der v0, v(t), t0 und t vorkommen. Diese kannst du dann nach v(t) umstellen und erhältst so eine Funktion die eine Lösung für deine DGL ist.
Die Weg-Zeit-Funktion kann man dann recht einfach über Integration der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion gewinnen.
Ist das soweit vielleicht nachvollziehbar? 
Nachtrag: ein gewöhnlicher  -Ansatz hätte hier auch zum Ergebnis geführt, aber wahrscheinlich liegt der Schwerpunkt der Aufgabe auf dem Kennenlernen/Üben der TdV.
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Xeal
Anmeldungsdatum: 29.05.2007
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| Xeal Verfasst am: 29. Mai 2007 19:13 Titel: |
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super ! Bis auf deine letzte Bemerkung habe ich das soweit verstanden.
Aber was meinst du denn mit einem  - Ansatz ?
Hat das was mit Komplexen Zahlen zu tun ?! |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 29. Mai 2007 19:55 Titel: |
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| Xeal hat Folgendes geschrieben: | | super ! Bis auf deine letzte Bemerkung habe ich das soweit verstanden. |
Schön. Was hast du denn rausbekommen? ^^
| Xeal hat Folgendes geschrieben: | Aber was meinst du denn mit einem - Ansatz ?
Hat das was mit Komplexen Zahlen zu tun ?! |
Nicht unmittelbar. Aber wenn man so eine verhältnismäßig simple (lineare, homogene) Differentialgleichung wie die für v sieht ist eigentlich der Exponentialansatz erstmal recht naheliegend.
Man setzt einfach an, dass v folgende Form hat (Exponentialansatz):Dann bildet man die Ableitungen und setzt alles in die DGL ein:Da der Exponentialteil nie Null wird, kann man nach Lambda umstellen:Also ist eine möglich Form für v(t):Die Bestimmung der Integrationskonstante C richtet sich dann nach den Anfangsbedingungen für das konkrete Problem.
Dieser Ansatz ist sehr beliebt, weil er eben bei solchen linearen/homogenen Gleichungen ziemlich schnell und direkt zum Ziel führt. Dabei können u.U. auch komplexe Werte für Lambda herauskommen, womit deine Vermutung schon nicht falsch war - aber hier ist alles noch reell.
Aber das vielleicht nur als Zusatzinformation - ich wollte dich hier nicht unnötig verwirren. ^^
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Xeal
Anmeldungsdatum: 29.05.2007
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| Xeal Verfasst am: 29. Mai 2007 20:10 Titel: |
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hm ok. Also dein Ansatz war mir schon verständlich, aber jetzt scheints wie so oft an der Mathematik zu scheitern 
]_{v0}^{v(t)} = - [(1/2)t'^2]_{t0}^t )
naja, und t0 = 0 oder ?
dann hab ich folgendes für v(t) raus:
 = e^{-(t² \cdot p)/(2\cdot m)} \cdot v0)
was meinste dazu ... ?  |
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Xeal
Anmeldungsdatum: 29.05.2007
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| Xeal Verfasst am: 29. Mai 2007 20:17 Titel: |
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halt
 oder ?
Damit würde genau das rauskommen, was du mit deinem Exponentialansatz rausbekommen hast.
Wenn ich dann davon ausgehe, wie komme ich dann aber auf die Zeit bis zum Stillstand. ich konnte v(t) = 0 setzen, aber die e funktion hat doch gar keine nullstellen oder !? |
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 29. Mai 2007 20:39 Titel: |
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| Xeal hat Folgendes geschrieben: | | naja, und t0 = 0 oder ? |
Was man für t0 einsetzt ist egal, es handelt sich ja letztlich um eine beliebig festlegbare Integrationskonstante. Beginnt man mit dem Wurf gleichzeitig zur Zeitmessung ist es natürlich legitim (und einfach ^^) den Anfangszeitpunkt auf t0=0 festzulegen. .. Damit stimmt dann auch die Stammfunktion auf der rechten Seite.
Ich würde sagen du kommst dann fast auf das was ich mit dem Exponentialansatz herausbekommen habe. - Schließlich steht bei mir ja noch ein unbekanntes C drin, was bei dir vermutlich ein v0 sein dürfte. ^^
Dass die Lösungsfunktion keine Nullstelle hat ist richtig. Theoretisch kommt ein Körper unter dem alleinigen Einfluss einer zur Geschwindigkeit proportionalen Reibungskraft also nie zum Stillstand. In der Praxis kommt sowas aber sicher nicht vor.
Einen Zeitpunkt für den Stillstand kann man bei dieser Aufgabe also nicht angeben - er tritt nur für t gegen Unendlich ein.
Trotzdem kann man letztlich (mittels eines Grenzwerts) aber eine erreichte Weite berechnen. Dafür braucht man also zunächst s(t) und führt dann den Grenzübergang durch. Weißt du wie du dafür anfangen müsstest?
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Xeal
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| Xeal Verfasst am: 29. Mai 2007 20:44 Titel: |
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Ja genau, mein C war grade v0 
Ok, ich kann dir soweit folgen, wie ich jetzt jedoch weitermachen muss ist mir nicht ganz klar.
Würde aber sagen, man integriert v(t) um S(t) zu erhalten.
Kommt man denn mit s(t) dann auf die zeit die in a gefragt ist ? |
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para
Moderator
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| para Verfasst am: 29. Mai 2007 21:09 Titel: |
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Richtig, um von v(t) auf s(t) zu kommen sollte man einmal integrieren (und ggf. die Integrationskonstante beachten).
Aber auch mit s(t) kannst du keinen bestimmten Zeitpunkt berechnen zu dem der Körper stillsteht oder seine Endposition erreicht hat. Eine solche Zeit existiert einfach nicht! Die Geschwindigkeit des Körpers geht nur asymptotisch gegen Null, er bleibt aber nie stehen. Die Bewegung des Körpers hört also theoretisch nie auf.
Trotz dem dass das Objekt nie stehenbleibt, gibt es trotzdem Weiten die es nie erreichen wird, und eben eine Weite die es gerade in unendlicher Zeit erreicht.
Das ist vielleicht nicht ganz einfach vorzustellen, schließlich kennt man aus der alltäglichen Erfahrung keine solche Situationen. Aber die theoretische Lösung zu dieser Aufgabenstellung sieht eben so aus.
Kannst du aus v(t) jetzt erstmal s(t) bestimmen und dann schon einmal schauen was für sehr große Zeiten passiert?
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Xeal
Anmeldungsdatum: 29.05.2007
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| Xeal Verfasst am: 29. Mai 2007 23:42 Titel: |
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hm, das ist interessant.
Also du meinst ich müsste jetzt zuerst integrieren, damit ich auf s komme und dann den Grenzwert von s(t) für t-> uendlich bilden ?
Leider ist es mir heute abend schon zu spät dafür, ich werd mich morgen dran setzen.
Aber danke für deine Hilfe ! Hat mir echt super viel gebracht. |
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Xeal
Anmeldungsdatum: 29.05.2007
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| Xeal Verfasst am: 30. Mai 2007 11:02 Titel: |
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ok ich habe heraus:
 = 100 \, \mathrm{m} -e^{-t/5} )
Für t--> unendlich habe ich dann also eine Strecke von 100m.
Kann ich für die Zeit, die das Teil utnerwegs ist auch einen "konkreten" wert angeben, oder ist die Antwort t=unendlich ?! |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
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| para Verfasst am: 30. Mai 2007 12:30 Titel: |
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Ja, die Weg-Zeit-Funktion sieht sehr schön aus. Von den Einheiten her korrekt müsste man höchstens noch etwas korrekter schreiben:Der Grenzwert stimmt natürlich vollkommen.
| xeal hat Folgendes geschrieben: | | Kann ich für die Zeit, die das Teil utnerwegs ist auch einen "konkreten" wert angeben, oder ist die Antwort t=unendlich ?! |
Nein, eine konkrete Zeit kann man hier wirklich nicht angeben. Wenn du dir nun deine gewonnenen Zusammenhänge für v(t) und s(t) zum Beispiel mal in einem Diagramm darstellst, siehst du, dass zwar v asymptotisch gegen 0 und s asymptotisch gegen 100m strebt - aber erreicht werden diese Werte in endlicher Zeit nicht.
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KUGA
Anmeldungsdatum: 30.07.2007
Beiträge: 21
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| KUGA Verfasst am: 25. Okt 2007 10:47 Titel: |
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hi, die Trennung der Variablen ist eine spitzenmethode, die werde ich in meiner facharbeit verwenden. vielen dank dafür, das haben wir so nicht gelernt!
noch ein paar fragen:
int dt´ = int 1 dt´ richtig? und t´ist nur so ne zwischenwariable und hat nichts mit ner ableitung zu tun oder? ich hätte auch t* oder a nehmen können, richtig?
und wie funktioniert, oder funtioniert das ganze auch mit DGL mit der 2ten ableitung?
also z.B. beim Federpendel
m*a+D*s=0
m*s´´+D*s=0
dann muss man ja theoretisch doppelt integrieren. aber wie schausts dann mit den jeweiligen grenzen aus? kann mir das mal jemand erklären?
mfg
KUGA |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 25. Okt 2007 13:45 Titel: |
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Hallo KUGA.
Du beziehst Dich auf folgenden Ausdruck?
Wenn sonst kein besonderer Funktionsausdruck im Integranden steht kann man sich dort eine 1 denken:
Die reine Lehre der Mathematik verlangt, daß die Variable, nach der man integriert nicht gleichzeitig als Integrationsgrenze gewählt werden darf. Man muß also eine Unterscheidung einführen. Deine Vorstellung der Zwischenvariable ist also in Ordnung.
Die Differentialgleichung des Federpendels läßt sich nicht direkt über die Trennung der Variablen lösen. Das Verfahren benötigt einen Ausdruck der Form
 \, h(y))
Die Umformung ergibt dann
 \, h(y))
} = g(x) \, \dd x)
mit der Integration
} = \int g(x) \, \dd x + C)
Es gibt aber einen Trick um bei Deiner Schwingungsgleichung doch noch dieses Verfahren anwenden zu können. Man multipliziere die Gleichung mit  durch:
Es gelten nun folgende Ausdrücke
 = 2 \cdot \dot{s} \cdot \ddot{s})
 = 2 \cdot s \cdot \dot{s})
Eingesetzt in die Differentialgleichung erhält man
 + D \cdot \frac{\dd}{\dd t} \, (s^2) = 0)
Beziehungsweise umgestellt
 = - \frac{\dd}{\dd t} \, (s^2))
Die erste Integration nach der Zeit ergibt dann
Ich habe hier die Integrationskonstante als Quadrat gewählt, weil es nachher praktischer ist damit weiterzurechnen. Die letzte Gleichung wird etwas umgestellt und die Wurzel gezogen:
Hier läßt sich jetzt wieder die Trennnung der Variablen durchführen:
Die Integration führt dann auf den bekannten Sinus- bzw. Kosinus-Ausdruck. |
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KUGA
Anmeldungsdatum: 30.07.2007
Beiträge: 21
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| KUGA Verfasst am: 25. Okt 2007 14:29 Titel: |
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| Zitat: | Die erste Integration nach der Zeit ergibt dann
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wieso gibt die "linke" itegration hier keine konstante?
oder hast du die beiden konstanten (links u. rechts) gleich in  zusammengefasst?
so..hab jetzt reli..  |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 25. Okt 2007 16:19 Titel: |
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Jede Integration erfordert eine additive Konstante. Man kann die beiden Konstanten bei der Integrationen über eine Gleichung hinweg, in einer einzigen zusammenfassen. |
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KUGA
Anmeldungsdatum: 30.07.2007
Beiträge: 21
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| KUGA Verfasst am: 25. Okt 2007 17:23 Titel: |
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| magneto42 hat Folgendes geschrieben: | | Jede Integration erfordert eine additive Konstante. Man kann die beiden Konstanten bei der Integrationen über eine Gleichung hinweg, in einer einzigen zusammenfassen. |
genau. danke  |
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KUGA
Anmeldungsdatum: 30.07.2007
Beiträge: 21
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| KUGA Verfasst am: 25. Okt 2007 18:09 Titel: |
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noch ne frage.
hab das jetzt soweit aufgelöst:
= \pm C \cdot sin(\sqrt{\frac{D}{m}}(t-t_0))+s_0)
wie kriege ich jetzt raus das  ?
wenn ichs andersrum wüsste, wärs durch einsetzen zu lösen. wenn ich das einsetze gibts aber nur 0=0 (wie ich das liebe wen das raus kommt  ) |
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magneto42
Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854
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| magneto42 Verfasst am: 25. Okt 2007 19:08 Titel: |
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Für den Zeitpunkt  verschwindet der Sinus-Term:
 = 0)
Dasselbe muß gelten, wenn man von  aus eine volle Periode durchlaufen hat  . Damit ergibt sich für den Sinus-Ausdruck:
 \right) = \sin \left(\sqrt{\frac{D}{m}} \cdot T \right) = 0)
Diese Relation kann nur erfüllt sein wenn
Damit ist
q.e.d. |
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KUGA
Anmeldungsdatum: 30.07.2007
Beiträge: 21
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| KUGA Verfasst am: 25. Okt 2007 19:18 Titel: |
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vielen dank!
hab gerade auch selbstständig die formel über die energierhaltung bestimmt. also:
 + E_{sp}(t)=E_{sp-max})
das hab ich bis jetzt noch nie gecheckt!
ihr seid (oder eher du bist ) echt spitze, nochmals vielen dank |
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