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Pkeal
Anmeldungsdatum: 05.01.2007
Beiträge: 9
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 Pkeal Verfasst am: 05. Jan 2007 01:09 Titel: Bewegungsgleichung bei Rotation und schiefer Ebene |
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Eine dünnwandinge hohle Dose rollt eine schiefe Ebene aus einer Höhe von 1,27m hinab. Gegeben sind außerdem noch Radius der Dose (0,05m), deren Masse (0,1kg) und die Neigung der Ebene (17,8°) und die Anfangsgeschwindigkeit (v_0 = 0m/s).
Nun soll ich die Bewegungsgleichungen für x und y aufstellen. Dazu verwende ich ja das 2. Newton'sche Axiom. Die Frage, die sich mir nun stellt, ist, ob es neben der Normal- und Gewichtskraft noch andere Kräfte gibt, die ich berücksichtigen muss, da es sich ja um einen rotierenden Körper handelt. Denn im Moment liegt mein Ergebnis noch nicht sehr nahe an der Lösung. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 05. Jan 2007 01:39 Titel: |
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Tipps:
Weißt du schon, wie groß das Trägheitsmoment der Dose ist?
Und weißt du schon, welche Beziehung zwischen der Geschwindigkeit der Dose und der Winkelgeschwindigkeit, mit der sich die Dose dreht, gelten muss, weil die Dose rollt?
Kannst du damit zum Beispiel beschreiben, welche "Trägheit" die Dose der Beschleunigung insgesamt entgegensetzt, wenn man die Rotation in die Betrachtung mit einbezieht? |
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Pkeal
Anmeldungsdatum: 05.01.2007
Beiträge: 9
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| Pkeal Verfasst am: 05. Jan 2007 05:12 Titel: |
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Das Trägheitsmoment der Dose beträgt  und der Massenmittelpunkt bei einer Rotation bewegt sich mit  .
Aber irgendwie scheitere ich an der weiteren Vorgehensweise. Auch deine dritte Frage hilft mir irgendwie nicht weiter. Das Trägheitsmoment stellt ja quasi das Bestreben der Dose gegen die Rotation dar. Nur wie verknüpf ich das nun mit einer gegen die Translation wirkenden Kraft? |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 05. Jan 2007 05:39 Titel: |
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| Pkeal hat Folgendes geschrieben: | | Das Trägheitsmoment der Dose beträgt und der Massenmittelpunkt bei einer Rotation bewegt sich mit . |
Einverstanden, bis auf das Quadrat in  , das du noch vergessen hattest. Die letztere dieser beiden Beziehungen ist die sogenannte Rollbedingung.
Ich würde nun folgende Überlegung vorschlagen:
Beim Aufstellen der Bewegungsgleichung für eine Translationsbewegung verwendest du ja
Weißt du, wie dasselbe analog für Drehbewegungen heißt? Und kannst du das mit der Rollbedingung, dem Ausdruck für das Trägheitsmoment und mit  so umformen, dass du siehst, wie groß die "Trägheit" ist, die die Rotationsbewegung der Kraft  "entgegegensetzt", im Vergleich zu der "Trägheit"  der Translationsbewegung?
Wie groß ist also die Summe beider "Trägheiten" für Translations- und Rotationsbewegung? (Das nennt sich Rollersatzmasse, das ist die Masse, die ein Körper hätte, der nicht rotieren würde und gleich schnell beschleunigt würde.) |
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Pkeal
Anmeldungsdatum: 05.01.2007
Beiträge: 9
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| Pkeal Verfasst am: 05. Jan 2007 17:04 Titel: |
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Das 2. Newton'sche Axiom für Drehbewegungen lautet  . Aber welche Drehmomente greifen denn letztlich bei meiner rollenden Dose an? Ich scheitere noch etwas an der Vorstellung. Ist das nur die Tangentialkraft, die an dem Berührpunkt von Dose und Ebene auftritt, oder gibt's da sonst auch noch was?
Und die Kraft, die meiner Translation entgegenwirkt, ist ja dann die Tangentialkraft des Drehmoments  , wenn ich das richtig verstehe.
Wie ich aber die Trägheit der Dose entgegen der Translationsbewegung darstellen soll, ist mir auch nicht ganz klar. Hmm... :> |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 06. Jan 2007 03:37 Titel: |
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| Pkeal hat Folgendes geschrieben: | Das 2. Newton'sche Axiom für Drehbewegungen lautet .
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Einverstanden, also hier 
| Zitat: |
Aber welche Drehmomente greifen denn letztlich bei meiner rollenden Dose an?
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Im Bezugssystem des Hanges greift die Hangabtriebskraft im Mittelpunkt der Dose an, während die Aufliegestelle vom Hang festgehalten wird.
Also  .
Oder, wenn du es lieber andersherum siehst, im Bezussystem, das sich mit dem Schwerpunkt der Dose mitbewegt, übt der Hang an der aufliegenden Stelle eine Kraft der Stärke F_H auf die Dose aus, die diese Dose um ihren Mittelpunkt dreht.
Also genauso .
Dieses Drehmoment M ist hier das einzige Drehmoment, das wirkt.
| Zitat: |
Wie ich aber die Trägheit der Dose entgegen der Translationsbewegung darstellen soll, ist mir auch nicht ganz klar. Hmm... :> |
Hast du schon versucht, das  mit meinen Tipps von oben in ein F(a) umzuformen? Was für eine Proportionalitätskonstante zwischen F und a erhältst du damit für die Rotationsbewegung? |
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Pkeal
Anmeldungsdatum: 05.01.2007
Beiträge: 9
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| Pkeal Verfasst am: 06. Jan 2007 05:49 Titel: |
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Mit den Umformungen erhalte ich für die Kraft  .
Meine Proportionalitätskonstante lautet somit  und setze ich das Trägheitsmoment der Dose ein, erhalte ich für die zusätzliche "Trägheit" der Dose aufgrund der Rotation .
Die Rollersatzmasse beträgt damit also  .
Vermute ich jetzt richtig, dass ich die Bewegungsgleichung abändern muss zu  . Grund dafür ist, dass alle Kräfte, die auf meinen rollenden Körper wirken, durch einen gleitenden Körper mit der Rollersatzmasse, auf den die Beschleunigung  wirkt, ersetzt werden kann. Und somit muss ich im Folgenden die Rotationsbewegung der Dose nicht mehr betrachten, oder?
Dann muss ich aber grundsätzlich die Masse der Dose durch ersetzen, sodass z. B. für die Gewichtskraft nun  gilt, wenn ich micht nicht irre?
Die Bewegungsgleichungen für meine Dose würden nun also lauten (x-Achse nach rechts, y-Achse nach oben, schiefe Ebene steigt nach rechts an):
)
Angenommen, das ist soweit richtig: Gibt es denn eine Möglichkeit, die Normalkraft in irgendwelche Komponenten zu zerlegen, um die Gleichung noch weiter zu vereinfachen? Die Gewichtskraft habe ich noch nicht eingesetzt, weil mir nicht sicher war, ob sie nun  oder doch nur  beträgt. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 06. Jan 2007 08:39 Titel: |
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| Pkeal hat Folgendes geschrieben: | Mit den Umformungen erhalte ich für die Kraft .
Meine Proportionalitätskonstante lautet somit und setze ich das Trägheitsmoment der Dose ein, erhalte ich für die zusätzliche "Trägheit" der Dose aufgrund der Rotation .
Die Rollersatzmasse beträgt damit also .
Vermute ich jetzt richtig, dass ich die Bewegungsgleichung abändern muss zu . Grund dafür ist, dass alle Kräfte, die auf meinen rollenden Körper wirken, durch einen gleitenden Körper mit der Rollersatzmasse, auf den die Beschleunigung wirkt, ersetzt werden kann. Und somit muss ich im Folgenden die Rotationsbewegung der Dose nicht mehr betrachten, oder?
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Einverstanden 
| Zitat: |
Dann muss ich aber grundsätzlich die Masse der Dose durch ersetzen, sodass z. B. für die Gewichtskraft nun gilt, wenn ich micht nicht irre?
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Nicht einverstanden, die "effektiv wirksame" träge Masse ist hier zwar doppelt so groß, die schwere Masse ist dagegen aber ganz normal gleich m. Die Gewichtskraft und ihre Komponenten (also auch die Hangabtriebskraft) berechnen sich also ganz normal. |
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Pkeal
Anmeldungsdatum: 05.01.2007
Beiträge: 9
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| Pkeal Verfasst am: 06. Jan 2007 14:32 Titel: |
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Super, bin dir sehr dankbar. Ist bei weitem verständlicher (und auch was anderes) als das, was mir mein Übungsleiter dazu erzählt hat.
Damit bekomm ich ja nun die beiden Bewegungsgleichungen
und
\)
Was ich dich gerne noch fragen würde, ob du vllt siehst, wie man diese beiden in die Form
und
^2)
bringen kann? Mir ist diese Umformung leider in keiner Weise ersichtlich. =(
Ein Lösungsweg, der mir vorliegt, der aber zum einen ultraschlecht formatiert ist und zum anderen mir völlig unverständlich ist, ist
| Zitat: | F = dE/ds = 1/2mv² + 1/2I ² /ds = mv² /ds = 2mv dv/ds = 2mv dv/dt * dt/ds = 2ma |
Ich habe mal versucht, es so zu formatieren, wie es vielleicht eigentlich aussehen sollte, bin mir aber, da ich den Weg nicht verstehe, auch nicht wirklich sicher.
Kannst du nachvollziehen, was hier gemacht wurde? |
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