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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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 TomS Verfasst am: 27. Jun 2025 14:57 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ich sehe nicht, dass das Skript das implementiert, was man für den physikalischen Formalismus benötigt. Damit ist es unzureichend. |
Mit diesem Einwand gehe ich mit aber welcher physikalische Formalismus soll für was implementiert werden? |
Wenn du etwas im Rahmen der QM zeigen möchtest, dann der Formalismus der QM.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 27. Jun 2025 21:13 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Wenn du etwas im Rahmen der QM zeigen möchtest, dann der Formalismus der QM. |
Das folgende Script nutzt echte quantenmechanische Operationen und -objekte, um das Informationsparadoxon in Schwarzlochverdampfung zu veranschaulichen. Konkret wird
in einem  -dimensionalen Hilbertraum ein global reiner Zustand  mit qutip.rand_ket erzeugt,
daraus die Dichtematrix  gebildet,
durch Partial Trace die reduzierte Dichtematrix  der Strahlung berechnet und
die von-Neumann-Entropie ) als Funktion der Emissionsschritte („Page-Kurve“) ausgewertet.
Damit simuliert der Code tatsächlich unitäre Quantenevolution und zeigt, dass die scheinbare Informationsvernichtung (Hawking’s Mixed-State-Argument) durch den Anstieg der Strahlungsentropie gefolgt von einem Rückgang gemäß der Page-Kurve aufgehoben wird – weil die Information in den Nicht-Klassischen Verschränkungen codiert ist.
Ab 10 Qubits wird es bei meinem Rechner ziemlich langsam, da die Größe der Matrix mit N exponentiell ansteigt aber funktioniert ansonsten gut. Wieder mittels GUI. N ist jetzt innerhalb der GUI einstellbar. Die red. Dichtematrix und Schmidt-Zahl wird wieder je Tick in der shell dargestellt.
| Code: | import sys
import time
import numpy as np
import qutip as qt
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.backends.backend_tkagg import FigureCanvasTkAgg
import tkinter as tk
from tkinter import messagebox
class BlackHoleEvaporationSimulator:
def __init__(self, master):
self.master = master
master.title("Black Hole Evaporation Simulator")
# Input for number of qubits
self.label = tk.Label(master, text="Number of Qubits (N):")
self.label.pack()
self.entry = tk.Entry(master)
self.entry.insert(0, "6")
self.entry.pack()
# Start button
self.start_button = tk.Button(master, text="Start Simulation", command=self.start_simulation)
self.start_button.pack()
# Frame for visualization
self.vis_frame = tk.Frame(master)
self.vis_frame.pack(fill=tk.BOTH, expand=True)
# Canvas for qubit visualization
self.canvas_size = 400
self.canvas = tk.Canvas(self.vis_frame, width=self.canvas_size, height=self.canvas_size, bg='white')
self.canvas.grid(row=0, column=0)
# Figure for Page curve
self.fig, self.ax = plt.subplots(figsize=(4,4))
self.ax.set_xlabel('Emission step k')
self.ax.set_ylabel('von Neumann Entropy S(ρ_rad) [bits]')
self.ax.set_title('Page Curve')
self.ax.grid(True)
self.fig_canvas = FigureCanvasTkAgg(self.fig, master=self.vis_frame)
self.fig_canvas.get_tk_widget().grid(row=0, column=1)
def start_simulation(self):
try:
N = int(self.entry.get())
if N < 2:
raise ValueError
except ValueError:
messagebox.showerror("Invalid Input", "Please enter an integer N >= 2.")
return
# Prepare global pure state
dim = 2 ** N
psi_full = qt.rand_ket(dim)
psi_full = qt.Qobj(psi_full.full(), dims=[ [2]*N, [1]*N ])
rho_full = psi_full * psi_full.dag()
# Precompute positions for qubits on circle
center = self.canvas_size / 2
radius = self.canvas_size * 0.4
angles = [2 * np.pi * i / N for i in range(N)]
self.positions = [(center + radius * np.cos(a), center + radius * np.sin(a)) for a in angles]
# Initialize sets
self.available = list(range(N))
self.emitted = []
self.partner_map = {}
# Entropy tracking including initial state
self.entropies = [0.0] # at t=0, no radiation
# Initial display
self.update_qubit_canvas()
self.update_entropy_plot(0)
self.master.update()
time.sleep(0.5)
# Simulation loop for emissions
for k in range(1, N+1):
# Evaporation step: randomly pick one interior qubit to emit
a = np.random.choice(self.available)
# If possible, choose an entanglement partner
if len(self.available) > 1:
b_choices = [q for q in self.available if q != a]
b = np.random.choice(b_choices)
self.partner_map[a] = b
# Emit qubit a
self.available.remove(a)
self.emitted.append(a)
# Compute reduced density matrix of radiation
rho_rad = rho_full.ptrace(self.emitted)
S = qt.entropy_vn(rho_rad, base=2)
self.entropies.append(S)
# Update GUI
self.update_qubit_canvas()
self.update_entropy_plot(k)
# Print stats
dims = rho_rad.shape
eigenvals = rho_rad.eigenenergies()
schmidt_rank = sum(np.abs(eigenvals) > 1e-6)
print(f"Tick {k}: Emitted={self.emitted}, Matrix={dims[0]}x{dims[1]}, Schmidt={schmidt_rank}")
print(rho_rad)
print()
self.master.update()
time.sleep(0.5)
print("Simulation complete.")
def update_qubit_canvas(self):
self.canvas.delete('all')
for i, (x, y) in enumerate(self.positions):
color = 'white' if i in self.available else 'black'
self.canvas.create_oval(x-15, y-15, x+15, y+15, fill=color, outline='black')
text_color = 'red' if i in self.emitted else 'blue'
self.canvas.create_text(x, y, text=str(i), fill=text_color)
for em, pr in self.partner_map.items():
if pr is not None:
x1, y1 = self.positions[em]
x2, y2 = self.positions[pr]
self.canvas.create_line(x1, y1, x2, y2, fill='green', width=2)
def update_entropy_plot(self, step):
self.ax.clear()
self.ax.plot(range(0, step+1), self.entropies, marker='o')
self.ax.set_xlabel('Emission step k')
self.ax.set_ylabel('von Neumann Entropy S(ρ_rad) [bits]')
self.ax.set_title('Page Curve')
self.ax.grid(True)
self.fig_canvas.draw()
if __name__ == '__main__':
root = tk.Tk()
simulator = BlackHoleEvaporationSimulator(root)
root.mainloop() |
_________________
Hinterfrage alles! Warum?
🕉☮♾ |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 27. Jun 2025 23:53 Titel: |
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Kannst du das, was du mit qutip machst, mal in drei oder vier Formeln darstellen?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 28. Jun 2025 08:46 Titel: |
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Aktuell wird nur ein implizit Verschränkung und damit Bell-Zustände verwendet aber das script ließe sich problemlos auf explizite Bell-Zustände erweitern.
1. Was ist QuTiP?
- https://qutip.org/
QuTiP is open-source software for simulating the dynamics of open quantum systems. The QuTiP library depends on the excellent Numpy, Scipy, and Cython numerical packages. In addition, graphical output is provided by Matplotlib. QuTiP aims to provide user-friendly and efficient numerical simulations of a wide variety of Hamiltonians, including those with arbitrary time-dependence, commonly found in a wide range of physics applications such as quantum optics, trapped ions, superconducting circuits, and quantum nanomechanical resonators. QuTiP is freely available for use and/or modification on all major platforms such as Linux, Mac OSX, and Windows. Being free of any licensing fees, QuTiP is ideal for exploring quantum mechanics and dynamics in the classroom.
2. Erzeugung und Darstellung des globalen reinen Zustands
| Code: | psi_full = qt.rand_ket(dim)
rho_full = psi_full * psi_full.dag() |
werden verwendet um einen reinen Zustand  im -dimensionalen Hilbertraum zu erzeugen.
Aus wird die reine Dichtematrix
konstruiert. Dies ist exakt, wie es die Quantenmechanik für reine Zustände vorschreibt.
3. Reduktion auf die Strahlung und Berechnung der Page-Kurve
- Für jedes emittierte Qubit-Subset
 wird
)
mit
| Code: | | rho_full.ptrace(self.emitted) |
realisiert. Dies entspricht exakt dem mathematischen Partial-Trace-Operator in der Quanteninformationstheorie -> red. Dichtematrix
Die von-Neumann-Entropie
 = -\mathrm{tr}\bigl(\rho_{\rm rad}\log_2 \rho_{\rm rad}\bigr))
wird über
| Code: | | qt.entropy_vn(rho_rad, base=2) |
berechnet. Dies gewährleistet die echte Quantenentropie-Messung (Verschränkungsentropie)
Don Page zeigte in 1993, dass die Strahlungsentropie bei unitärer Verdampfung zunächst ansteigt, bis zur Page-Zeit (≈ Hälfte der Lebesdauer), und danach wieder abnimmt, sodass die Endentropie null wird.
4. Visualisierung der Verschränkungen
- Zufällige Paarbildung
Das Script legt für jedes emittierte Qubit eine zufällige Kopplung („Partner“) im Schwarzen Loch–Inneren an. Obwohl hier keine expliziten Bell-Operationen durchgeführt werden, ergibt sich echte Verschränkung implizit durch den globalen reinen Zustand.
- Graphische Darstellung
Die Verschränkungs-Linien zwischen Qubit-Paaren als grüne Verbindungen sind ein Visualisierungshilfsmittel. Sie unterstreichen, dass die fehlende Information in den Nicht-Klassischen Korrelationen steckt, nicht in klassischem „Vergessen“.
5. Informationsparadoxon und seine Auflösung
- Hawking’s Argument (Mixed State)
Hawking zeigte, dass die Hawking-Strahlung klassisch gemessen einem rein thermischen, gemischten Zustand entspricht und somit scheinbar Informationen verloren gehen (Non‐Unitarität)
- Unitäre Korrektur durch Verschränkung
Page argumentierte, dass eine vollständige, unitäre Quantenbeschreibung (inkl. Rück- und Wechselwirkungen) die Entropie-Kurve zur Null zurückführt – weil die Information in den Verschränkungen zwischen früherer und späterer Strahlung gehalten wird
- Script-Implementierung
Durch den global reinen Zustand und die echten Partial-Traces zeigt die Simulation genau dieses Prinzip: Die Strahlungsentropie sinkt am Ende wieder, weil die ausgehenden Qubits mit dem Rest in hochgradig nicht-klassischen Superpositionszuständen verschränkt bleiben.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 28. Jun 2025 09:33 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Aktuell wird nur ein implizit Verschränkung und damit Bell-Zustände verwendet aber das script ließe sich problemlos auf explizite Bell-Zustände erweitern. |
Hinweise und Einschränkungen:
- Jetzt mit "echte" Bell-Zustände.
- Es handelt sich eher um eine Emulation eines unitären Prozess, da dies eben nur softwareseitig implementiert ist. Echte Unitarität ließe sich mittels Quantencomputer simulieren aber nicht auf einem PC
- Es werden weder scrambling, noch islands betrachtet
- Es geht nur um quanteninformationstheoretische Aspekte
- Die Page-curve ist nun, bedingt durch die geringe Anzahl N Qubits, nicht mehr ideal. Bei 12 Qubits hat die quadratische red. Dichtematrix schon 4096 Einträge. Bei sehr wenig Qubits ist die codierte Information schon extrem hoch.
1. Code-Ablauf zur Bell-Erzeugung
- Im Emissionsschritt des Simulators passiert Folgendes:
| Code: | # Wähle zwei Qubits a (zu emittierendes Qubit) und b (Partner) aus
a = np.random.choice(self.available)
b = np.random.choice([q for q in self.available if q != a]) |
| Code: |
# Erzeuge auf a und b einen Bell-Zustand:
U_H = snot(N, target=a) # Hadamard auf Qubit a
U_CNOT = cnot(N, control=a, target=b) # CNOT von a (Kontrolle) nach b (Target)
psi_full = U_CNOT * (U_H * psi_full) # Wende die Gates auf den globalen Zustand an
rho_full = psi_full * psi_full.dag() # Aktualisiere die Dichtematrix |
Hadamard-Gate (snot)
erzeugt auf dem  -Qubit-System die Operation
} \otimes H \otimes I^{\otimes (N-a)}\
<br />
)
wobei  die Ein-Qubit-Hadamard-Matrix ist.
CNOT-Gate (cnot)
| Code: | | cnot(N, control=a, target=b) |
erzeugt
}\otimes|0\rangle\langle0|_a\otimes I_b + I^{\otimes (a-1)}\otimes|1\rangle\langle1|_a\otimes X_b \quad\otimes I^{\otimes (N-\max(a,b))}\) ,
Hier wirkt also das Pauli-X-Gate auf Qubit b, wenn Qubit a in  ist.
Zusammensetzen der Gates
Zuerst wird auf das Hadamard auf a angewandt:
Dann folgt die CNOT-Operation, die aus  den verschränkten Zustand macht:
2. Physikalische Gleichungen des Bell-Zustands
Der prototypische Bell-Zustand  auf zwei Qubits a und b lautet
)
- 2.1 Erzeugung per Hadamard + CNOT
Starte in  . Dann:
- Hadamard auf a
\otimes\lvert0_b\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\bigl(\lvert0_a\,0_b\rangle + \lvert1_a\,0_b\rangle\bigr))
- CNOT von a nach b
 = \frac{1}{\sqrt2}(\lvert0_a\,0_b\rangle + \lvert1_a\,1_b\rangle) = \lvert\Phi^+\rangle)
3. Bedeutung im Informationsparadoxon
- Nicht-klassische Korrelation
Die Verschränkung in \lvert\Phi^+\rangle codiert „fehlende“ Information nicht im Zustand einzelner Qubits, sondern in den Korrelationen zwischen ihnen.
- Page-Curve
Weil bei jedem Emissionsschritt neue Bell-Paare mit dem Schwarzen Loch gebildet werden, verschwindet keine Information wirklich: Sie wandert in die nicht-lokalen Verschränkungen und zeigt sich in der Rückkehr der Strahlungsentropie am Ende der Verdampfung.
Hier das script:
| Code: | import sys
import time
import numpy as np
import qutip as qt
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.backends.backend_tkagg import FigureCanvasTkAgg
import tkinter as tk
from tkinter import messagebox
from qutip.qip.operations.gates import snot, cnot
class BlackHoleEvaporationSimulator:
def __init__(self, master):
self.master = master
master.title("Black Hole Evaporation Simulator")
# Input for number of qubits
self.label = tk.Label(master, text="Number of Qubits (N):")
self.label.pack()
self.entry = tk.Entry(master)
self.entry.insert(0, "6")
self.entry.pack()
# Start button
self.start_button = tk.Button(master, text="Start Simulation", command=self.start_simulation)
self.start_button.pack()
# Frame for visualization
self.vis_frame = tk.Frame(master)
self.vis_frame.pack(fill=tk.BOTH, expand=True)
# Canvas for qubit visualization
self.canvas_size = 400
self.canvas = tk.Canvas(self.vis_frame, width=self.canvas_size, height=self.canvas_size, bg='white')
self.canvas.grid(row=0, column=0)
# Figure for Page curve
self.fig, self.ax = plt.subplots(figsize=(4,4))
self.ax.set_xlabel('Emission step k')
self.ax.set_ylabel('von Neumann Entropy S(ρ_rad) [bits]')
self.ax.set_title('Page Curve')
self.ax.grid(True)
self.fig_canvas = FigureCanvasTkAgg(self.fig, master=self.vis_frame)
self.fig_canvas.get_tk_widget().grid(row=0, column=1)
def start_simulation(self):
try:
N = int(self.entry.get())
if N < 2:
raise ValueError
except ValueError:
messagebox.showerror("Invalid Input", "Please enter an integer N >= 2.")
return
# Prepare initial global pure state |0...0>
basis_states = [qt.basis(2,0) for _ in range(N)]
psi_full = qt.tensor(basis_states)
psi_full = qt.Qobj(psi_full.full(), dims=[ [2]*N, [1]*N ])
rho_full = psi_full * psi_full.dag()
# Precompute positions for qubits on circle
center = self.canvas_size / 2
radius = self.canvas_size * 0.4
angles = [2 * np.pi * i / N for i in range(N)]
self.positions = [(center + radius * np.cos(a), center + radius * np.sin(a)) for a in angles]
# Initialize sets
self.available = list(range(N))
self.emitted = []
self.partner_map = {}
# Entropy tracking including initial state
self.entropies = [0.0] # at t=0, no radiation
# Initial display
self.update_qubit_canvas()
self.update_entropy_plot(0)
self.master.update()
time.sleep(0.5)
# Simulation loop for emissions
for k in range(1, N+1):
# Evaporation step: pick interior qubit 'a' to emit
a = np.random.choice(self.available)
# Choose partner 'b' to entangle and create Bell state
if len(self.available) > 1:
b_choices = [q for q in self.available if q != a]
b = np.random.choice(b_choices)
# Create Bell state on qubits a and b
U_H = snot(N, target=a)
U_CNOT = cnot(N, control=a, target=b)
psi_full = U_CNOT * (U_H * psi_full)
rho_full = psi_full * psi_full.dag()
self.partner_map[a] = b
else:
self.partner_map[a] = None
# Emit qubit a
self.available.remove(a)
self.emitted.append(a)
# Compute reduced density matrix of radiation
rho_rad = rho_full.ptrace(self.emitted)
S = qt.entropy_vn(rho_rad, base=2)
self.entropies.append(S)
# Update GUI
self.update_qubit_canvas()
self.update_entropy_plot(k)
# Print stats
dims = rho_rad.shape
eigenvals = rho_rad.eigenenergies()
schmidt_rank = sum(np.abs(eigenvals) > 1e-6)
print(f"Tick {k}: Emitted={self.emitted}, Matrix={dims[0]}x{dims[1]}, Schmidt={schmidt_rank}")
print(rho_rad)
print()
self.master.update()
time.sleep(0.5)
print("Simulation complete.")
def update_qubit_canvas(self):
self.canvas.delete('all')
for i, (x, y) in enumerate(self.positions):
color = 'white' if i in self.available else 'black'
self.canvas.create_oval(x-15, y-15, x+15, y+15, fill=color, outline='black')
text_color = 'red' if i in self.emitted else 'blue'
self.canvas.create_text(x, y, text=str(i), fill=text_color)
for em, pr in self.partner_map.items():
if pr is not None:
x1, y1 = self.positions[em]
x2, y2 = self.positions[pr]
self.canvas.create_line(x1, y1, x2, y2, fill='green', width=2)
def update_entropy_plot(self, step):
self.ax.clear()
self.ax.plot(range(0, step+1), self.entropies, marker='o')
self.ax.set_xlabel('Emission step k')
self.ax.set_ylabel('von Neumann Entropy S(ρ_rad) [bits]')
self.ax.set_title('Page Curve')
self.ax.grid(True)
self.fig_canvas.draw()
if __name__ == '__main__':
root = tk.Tk()
simulator = BlackHoleEvaporationSimulator(root)
root.mainloop() |
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Hinterfrage alles! Warum?
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Zuletzt bearbeitet von antaris am 28. Jun 2025 09:53, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 28. Jun 2025 09:53 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Wozu soll diese Diskussion zu Cargo-Kult-Physik gut sein?
|
Das ist keine Diskussion, sondern sollte Dir lediglich an einem aktuellen Beispiel zeigen, was ich im anderen Thead meinte, als ich schrieb:
| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Gleichwohl wird er eventuell merken, dass "Unitarität" ein wichtiges Buzzword in dem Zusammenhang ist und eventuell verwenden, ohne zu verstehen. |
Besser, wenn das Buzzword "Unitarität" noch erklärungsbedürftig ist – das kann man nachholen – als wenn das Buzzword "Information" falsch verstanden wurde und niemand nachfragt, weil es ja klar ist.
|
"Information" ist m.E. ein Alltagsbegriff und kein "Buzzword" in dem Sinne, wie ich es hier benutze.
Damit meine ich einen Terminus Technicus, der von manchen Laien benutzt wird, ohne dass die die Bedeutung verstanden haben und ohne dass sie besonderen Wert darauf legen, die zu verstehen.
Ich nenne das Physiker-Cosplay, eventuell könnte man es auch nach Feynman
als "Cargo-Kult" bezeichnen.
|
Das aktuell Buzzword war nun "Bogoliubov-Transformation"
Das das Skript eine Näherung an diese darstellen soll, wird so verkauft:
| antaris hat Folgendes geschrieben: | Das v8-Skript ersetzt diese Transformation durch eine extrem grobe Näherung: Es hält nur einen einzigen Modus mit fester Energie ω=1 vor, setzt die Boltzmann-Gewichte künstlich auf [1], und lässt pro Tick deterministisch ein Qubit („1 Energiequant“) nach außen springen. Formal entspricht das einer 1 × 1-Bogoliubov-Matrix mit α=0, β=1 – also dem hoch-Temperatur-Grenzfall ℏω≪TH, bei dem die Besetzungszahl gegen 1 geht und der Planck-Faktor „trivialisiert“.
|
Also kurz:
Die angebliche Näherung an die Bogoliubov-Transformation besteht in der trivialen Transformation 1.
Da könnte ich nun in Deinem Stil fragen: wozu soll diese Benennung einer Trivialität mit einem Terminus Technicus der normalerweise m.E. etwas Anspruchsvolles bezeichnet, gut sein?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Ich sehe nicht, dass das Skript das implementiert, was man für den physikalischen Formalismus benötigt. Damit ist es unzureichend. Aber ich muss jetzt nicht für jeden unzureichenden Ansatz auch noch einen passenden Namen haben. |
Den Namen gibt es schon, ich habe nur ein Verhaltensmuster darunter subsummiert und an einem aktuellen Beispiel illustriert.
Der aktuelle Algorithmus stellt übrigens m.E. immer noch keine unitäre Entwicklung dar.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2025 10:02 Titel: |
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Sorry, @antaris, ich verstehe definitiv nicht was du da tust.
Ganz grundsätzlich geht es um folgende Fragestellung:
1) ein Gesamtsystem mit dem Zustand psi sowie dessen unitäre Zeitentwicklung U
2) eine geeignete Zerlegung dieses Gesamtsystems in zwei Subsysteme
3) die Entropie eines dieser Subsysteme, bzw. die Verschränkungsentropie durch geeignetes Ausspuren
Fangen wir mit (1) an.
Du konstruierst eine Abfolge von diskreten Zeitschritten t = 0,1,2 … wobei du eine Operation U verwendest, so dass
eine unitäre Transformation darstellt. U kann von t abhängig sein, muss aber nicht. Dabei muss also gelten
bzw.
Wie genau sieht dein U für einen Zeitschritt aus, und zwar als Formel sowie in deinem Code? Wie stellst du Unitarität sicher? Bitte nur dieses U, nichts anderes.
Lassen wir mal die Frage beiseite, was das physikalisch bedeuten soll.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2025 10:21 Titel: |
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@Aruna – danke
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Der aktuelle Algorithmus stellt übrigens m.E. immer noch keine unitäre Entwicklung dar. |
Das befürchte ich auch, aber um das zu sehen, muss man ihn geeignet zerlegen.
Eigtl. braucht man dazu nur zwei Funktionen
| Code: | def unit_time_evol(psi, …):
U = …
psi_prime = U * psi
return psi_prime |
| Code: | def calc_entropy(psi):
… |
wobei U von weiteren Parametern… jedoch nicht von psi abhängen darf, und wobei der Operator * als Matrix-Vektor-Multiplikation aufzufassen ist. Ich kenne diese Library nicht und müsste erst nachforschen, was hinter den Funktionen genau steckt. Meines Erachtens braucht’s das auch nicht, numpy etc. reichen aus, und man hätte dann ein U, dessen Unitarität man explizit sieht.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 1383
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 28. Jun 2025 11:08 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | @Aruna – danke
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Der aktuelle Algorithmus stellt übrigens m.E. immer noch keine unitäre Entwicklung dar. |
Das befürchte ich auch, aber um das zu sehen, muss man ihn geeignet zerlegen.
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ich meinte die Anwendung von "np.random.choice" bei der Auswahl des abzustrahlenden Qubits, bzw. dessen Verschränkungspartners.
Natürlich ist das nicht echt zufällig, soll es im Algorithmus aber wohl sein.
Darüberhinaus ist der Endzustand ja relativ unbestimmt:
Alle Qubits haben die gleiche Energie und sind "draußen".
Da kann man nicht wirklich sagen, ob verschiedene Anfangszustände zu verschiedenen Endzuständen führen (bzw. wenn man die angegeben Informationen als die vorhandenen betrachtet, dann tun die das nicht.)
Das aktuelle Skript zeigt m.E. noch das Gleiche, wie das erste:
Dass man eine Page-Kurve reproduzieren kann, wenn man als Maß für die dargestellte Entropie die "Verbundenheit" von Qubits draußen und Qubits drinnen wählt.
Mit der Verwendung der korrekten QM-Größen, wurde nun die allgemeine Verbundenheits-Veranschaulichung durch konkrete Verschränkung in Bell-Zustände ersetzt.
Was nun nicht gezeigt wurde, ist, wie sich das thermische Spektrum nach der Pagezeit in ein weniger thermisches umwandelt.
Es gibt ja kein thermisches Spektrum, sondern alle abgestrahlten Qubits tragen zu jeder Zeit die gleiche Energie.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2025 11:32 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | … ich meinte die Anwendung von "np.random.choice" bei der Auswahl des abzustrahlenden Qubits, bzw. dessen Verschränkungspartners. |
Ja, du hast recht, das ist ein gravierendes Problem.
Man kann zwar U allgemein als Funktion der Zeit t auffassen, aber dabei muss gelten, dass der selbe Anfangszustand bei t=0 immer auf den selben Endzustand bei t=T abgebildet wird. Das ist bei zufälliger Wahl von U je Zeitschritt t natürlich nicht mehr der Fall; U wäre dann stochastisch und liefert keine Lösung der Schrödingergleichung.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | Das aktuelle Skript zeigt m.E. noch das Gleiche, wie das erste:
Dass man eine Page-Kurve reproduzieren kann, wenn man als Maß für die dargestellte Entropie die "Verbundenheit" von Qubits draußen und Qubits drinnen wählt.
Mit der Verwendung der korrekten QM-Größen, wurde nun gezeigt, dass das auch bei tatsächlicher Verschränkung gilt. |
Das wäre ja erst mal ok.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | Was nun nicht gezeigt wurde, ist, wie sich das thermische Spektrum nach der Pagezeit in ein weniger thermisches umwandelt.
Es gibt ja kein thermisches Spektrum, sondern alle abgestrahlten Qubits tragen zu jeder Zeit die gleiche Energie. |
Darüber würde ich in diesem einfachen Modell hinwegsehen.
Man kann übrigens eine effektiv stochastische Dynamik für Subsysteme komplexer Systeme ableiten – siehe die Thermal Interpretation. Aber das müsste man dann auch explizit zeigen.
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antaris
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| antaris Verfasst am: 28. Jun 2025 11:39 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: | | … ich meinte die Anwendung von "np.random.choice" bei der Auswahl des abzustrahlenden Qubits, bzw. dessen Verschränkungspartners. |
Ja, du hast recht, das ist ein gravierendes Problem.
Man kann zwar U allgemein als Funktion der Zeit t auffassen, aber dabei muss gelten, dass der selbe Anfangszustand bei t=0 immer auf den selben Endzustand bei t=T abgebildet wird. Das ist bei zufälliger Wahl von U je Zeitschritt t natürlich nicht mehr der Fall; U wäre dann stochastisch und liefert keine Lösung der Schrödingergleichung. |
Die zufällige Wahl je t ist das Problem?
Das ließe sich umgehen, indem die Reihenfolge vorab festgelegt wird. Da wir aber keine QG kennen, aus der wir diese Auswahlregel ableiten können und die Bogoliubov-Transformation nicht einfach so implementierbar ist, wird es schwer den realen Prozess abzubilden. Das habe ich auch schon oft genug hier im Threrad geschrieben. ABer ja, das kann die Ursche für die Abweichungen der jetzigen Kurve zum ideal erklären.
Wir könnten uns ja auf eine "deterministisch Auswahlregel" einigen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 28. Jun 2025 12:26 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Die zufällige Wahl je t ist das Problem? |
Ja.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Das ließe sich umgehen, indem die Reihenfolge vorab festgelegt wird … Wir könnten uns ja auf eine "deterministische Auswahlregel" einigen. |
Ja.
In der Praxis ist jede Pseudo-Zufallszahl auf dem Intervall [0, N-1] bei identischem seed deterministisch.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Da wir aber keine QG kennen, aus der wir diese Auswahlregel ableiten können … |
… betrachten wir ein einfaches Modell.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | … und die Bogoliubov-Transformation nicht einfach so implementierbar ist … |
Die ist in jedem Modell irrelevant in dem der Vakuum-Zustand eindeutig ist, denn nur daraus resultiert sie.
Und dein Modell hat noch nicht mal einen Vakuumzustand 😄
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Wir könnten uns ja auf eine "deterministisch Auswahlregel" einigen. |
Betrachte doch den einfachen Fall, dass N Qbits untereinander verschränkt sind, und dass du sukzessive Verschränkungen aufbrichst. Du betrachtest dabei verschiedene Zerlegungen der Menge der Qbits in je zwei disjunkte Mengen und berechnest die Verschränkung zwischen diesen Mengen.
Das liefert dir tatsächlich das einfachste Modell für eine emergente Raumzeit …
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
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| Aruna Verfasst am: 29. Jun 2025 04:46 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | Was nun nicht gezeigt wurde, ist, wie sich das thermische Spektrum nach der Pagezeit in ein weniger thermisches umwandelt.
Es gibt ja kein thermisches Spektrum, sondern alle abgestrahlten Qubits tragen zu jeder Zeit die gleiche Energie. |
Darüber würde ich in diesem einfachen Modell hinwegsehen.
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Ja, solange man nicht meint, durch das Reproduzieren einer pageartigen Kurve wäre das Informationsparadox gelöst.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 29. Jun 2025 16:07 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | Was nun nicht gezeigt wurde, ist, wie sich das thermische Spektrum nach der Pagezeit in ein weniger thermisches umwandelt.
Es gibt ja kein thermisches Spektrum, sondern alle abgestrahlten Qubits tragen zu jeder Zeit die gleiche Energie. |
Darüber würde ich in diesem einfachen Modell hinwegsehen.
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Ja, solange man nicht meint, durch das Reproduzieren einer pageartigen Kurve wäre das Informationsparadox gelöst. |
Die Page-curve ist, lt. John Page und danach folgend sehr viele anderer Physiker, die vorgeschlagene Lösung des Informationsparadoxon. Das ich mit der script-Simulation versuche genau die page-curve zu reproduzieren bzw. das ganze Anhand "Verschränkungsbeziehungen" zu veranschaulichen, ändert doch nichts an der Aussage des/der eigentlichen Urheber?!
Das bedeutet natürlich nicht, dass dies auch wirklich so ist und auch nicht, das Page's Vorschlag nicht kontrovers diskutiert werden darf. Wenn du die Grundlagen kritisierst, dann kritisierst du aber gleichzeitig eine ganze Reihe Physiker.
Desweiteren schreibe ich es jetzt zum letzten mal: Die einzig wahre Beschreibung der Realität känn frühestens simuliert werden, wenn die einzig richtige QG gefunden ist.
Bis dahin vergnügen wir uns ausnahmslos alle, trotz der jetz schon sehr hohen Komplexität der möglichen Beschreibung(en) der Realität, mit vereinfachten Modellen.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 29. Jun 2025 16:29 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | In der Praxis ist jede Pseudo-Zufallszahl auf dem Intervall [0, N-1] bei identischem seed deterministisch. |
Hatte ich vorher genutzt aber wurde von Aruna bemängelt.
| Zitat: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | Da wir aber keine QG kennen, aus der wir diese Auswahlregel ableiten können … |
… betrachten wir ein einfaches Modell. |
Das einzige, mit dem es möglich ist das Problem des Informationsparadoxon überhaupt zu fassen. Nur mit mitteln der QFT, wie z.B. der Bogoliubov-Transformation, ist das offensichtlich nicht möglich.
| Zitat: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | … und die Bogoliubov-Transformation nicht einfach so implementierbar ist … |
Die ist in jedem Modell irrelevant in dem der Vakuum-Zustand eindeutig ist, denn nur daraus resultiert sie.
Und dein Modell hat noch nicht mal einen Vakuumzustand 😄 |
Für das was es zu zeigen gab, wird auch kein Vakuumzustand benötigt.
| Zitat: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | Wir könnten uns ja auf eine "deterministisch Auswahlregel" einigen. |
Betrachte doch den einfachen Fall, dass N Qbits untereinander verschränkt sind, und dass du sukzessive Verschränkungen aufbrichst. Du betrachtest dabei verschiedene Zerlegungen der Menge der Qbits in je zwei disjunkte Mengen und berechnest die Verschränkung zwischen diesen Mengen. |
Das verstehe ich nicht. Mir ging es darum, dass der globale Zustand rein ist und bleibt. Da soll doch gerade nichts separiert werden? Auch wenn wir sie nicht messen können, so sind doch die emmitierten Qubits für alle Zeiten miteinander verschränkt, nur eben "gescrambled".
| Zitat: | | Das liefert dir tatsächlich das einfachste Modell für eine emergente Raumzeit … |
Was soll das bedeuten? Raumzeit entsteht durch verdampfende SL's?
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 29. Jun 2025 18:43 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | In der Praxis ist jede Pseudo-Zufallszahl auf dem Intervall [0, N-1] bei identischem seed deterministisch. |
Hatte ich vorher genutzt aber wurde von Aruna bemängelt.
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wo habe ich das bemängelt?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 30. Jun 2025 10:25 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Betrachte doch den einfachen Fall, dass N Qbits untereinander verschränkt sind, und dass du sukzessive Verschränkungen aufbrichst. Du betrachtest dabei verschiedene Zerlegungen der Menge der Qbits in je zwei disjunkte Mengen und berechnest die Verschränkung zwischen diesen Mengen. |
Das verstehe ich nicht. Mir ging es darum, dass der globale Zustand rein ist und bleibt. Da soll doch gerade nichts separiert werden?
Diese Zerlegung findet ja nur gedanklich statt, genauso wie deine. |
Wir betrachten ein Gesamtsystem sowie zwei Subsysteme A und B, ersteres in einem reinen Zustand mit entsprechendem Dichteoperator
Die reduzierten Dichteoperatoren für die Subsysteme A (bzw. B) folgen durch partielle Spurbildung über das jeweils andere Subsystem, hier also B (bzw. A)
Die Verschränkungsentropie der beiden Subsysteme berechnet sich zu
wobei man das zweite Gleichheitszeichen explizit beweisen muss; es ist also egal, welches Subsystem man für die Berechnung wählt.
Nun kann man ebenfalls beweisen, dass für einen reinen Zustand psi dessen Schmidt-Zerlegung die Form
)
hat, wobei die Zustände a_n und b_n eine vollständige Basis für die beiden Subsysteme A und B bilden, die Koeffizienten psi reell und nich- negativ sind, und wobei diese Darstellung bis auf Umnummerierung eindeutig ist. Damit folgt für die Entropie
Nun betrachte einmal die konkrete Definition und Berechnung der Spur
für irgendeine Größe O, also den Dichteoperator oder dessen Produkt mit seinem Logarithmus wie im Falle der Entropie.
Es gilt immer
was für endliche Matrizen auf die Summe der Diagonalelemente führt, wobei b aus einer beliebigen Basis stammt.
Zu dieser Spur tragen sicher nur Zustände bei, deren Koeffizienten ungleich Null sind. Im Zuge des Verdampfens des Schwarzen Lochs berechnet man die Spur nur über die Zustände von A und B, die beitragen, d.h.
Nun kennen wir zwar weder den Operator O und die Koeffizienten alpha nicht im Detail, aber wir können annehmen, dass zu Beginn nur gewisse Materie-Freiheitsgrade zu A beitragen, und dass zuletzt nur Photonen zu B beitragen. D.h. die beiden Subsysteme ändern sich mit der Zeit, B wird immer mehr Photonen enthalten. Daher verschwinden Freiheitsgrade aus dem einen Subsystem und tauchen als völlig andere Freiheitsgrade im anderen Subsystem auf, wobei das Gesamtsystem in einem reinen Zustand bleibt.
Ein sehr einfaches (und physikalisch teilwiese unzureichendes) Bild wäre folgendes: betrachte in einem gewissen Volumen A lokalisierte Quantenobjekte, und betrachte ein weiteres dazu disjunktes Volumen B, bzgl. dessen du die Verschränkungsentropie mit dem Rest inkl. A berechnest. Dann sei B zunächst leer, im Laufe der Zeit enthalte B zunehmend mehr Quantenobjekte (wie auch immer man das genau definiert). Du hast also eine von dir definierte Trennung zwischen A und B, und bzgl. dieser Trennung ist die Verschränkungsentropie zeitabhängig; auch der Gesamtzustand ist zeitabhängig, allerdings bleibt dieser rein, d.h.
 = U(t) \, |\psi_0\rangle)
 = U(t) \, |\psi_0 \rangle \langle \psi_0 | \, U^\dagger(t))
 = -\text{tr} \, \rho(t) \, \ln\rho(t) = 0)
Ähnlich verhält es sich beim Schwarzen Loch. Man versucht zu verstehen, wie die Hawking-Strahlung und ihre Entropie aufgefasst werden kann als ein Subsystem und dessen Verschränkungsentropie.
Der initiale i und der finale Zustand f nehmen dabei (wieder in einem sehr einfachen Modell) eine extrem einfache Form an. Es ist nämlich
d.h. zu Beginn enthält das Gesamtsystem und damit das Subsystem B keine B-Teilchen, befindet sich also im B-Vakuum = Photonen-Vakuum; für das Subsystem A gilt analoges für den finalen Zustand.
Betrachten wir die Schmidt-Zerlegung, so lautet diese
 = |a_0\rangle \otimes |b_0\rangle = |a_0\rangle \otimes |\text{vac}_B\rangle )
Siehe oben, wir kennen den initialen Zustand des Subsystems A nicht, aber wir wissen, dass das Subsystem B sich im Vakuumzustand befindet, d.h. die Schmidt-Zerlegung in einer geeigneten B-Basis enthält nur einen Zustand, nämlich das B-Vakuum.
Und damit ist sicher
da die Verschränkungsentropie eines Produktzustandes verschwindet, weil ja die Verschränkung mathematisch gerade darüber definiert ist, dass kein Produktzustand vorliegt.
Physikalisch lax gesprochen ist der initiale Zustand des Subsystems A nicht mit dem des Subsystems B verschränkt, weil im Subsystems B nichts ist, mit dem A verschränkt sein könnte.
Mathematisch sauber beweist man dies anhand von
d.h. anhand des Grenzfalls, dass genau ein psi_n gegen Eins geht, und alle anderen gegen Null.
Für die Zeiten dazwischen sind beide Subsysteme A und B populiert; dies erklärt grob die Idee der Page-Kurve.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Das liefert dir tatsächlich das einfachste Modell für eine emergente Raumzeit … |
Was soll das bedeuten? Raumzeit entsteht durch verdampfende SL's? |
Nein, Raumzeit entsteht aus Verschränkung. Stellen wir das zurück, aber es ist m.E. die z.Zt. beste Idee für eine emergente Raumzeit.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 30. Jun 2025 12:00 Titel: |
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Danke!
Folgendes erinnert stark an die Bogoliubov-Transformation, nur halt ohne Modenzerlegung. Ist mein Eindruck richtig?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Nun kann man ebenfalls beweisen, dass für einen reinen Zustand psi dessen Schmidt-Zerlegung die Form
hat, wobei die Zustände a_n und b_n eine vollständige Basis für die beiden Subsysteme A und B bilden, die Koeffizienten psi reell und nich- negativ sind, und wobei diese Darstellung bis auf Umnummerierung eindeutig ist. |
Sind nicht beide Methoden gültig? Das script rein im Bezug Informationsparadoxon und deine Darstellung im Bezug zur Geometrie + Informationsparadoxon?
Bezüglich Emergenz der Raumzeit aus Verschränkung: Sollten wir nicht zu weit nach hinten stellen, da es mich brennend interessiert aber wäre dann wohl ein anderes Thema.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 30. Jun 2025 12:55 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Sind nicht beide Methoden gültig? Das script rein im Bezug Informationsparadoxon und deine Darstellung im Bezug zur Geometrie + Informationsparadoxon? |
Zu dem Script siehe die Einwände oben: zunächst mal musst du das Würfeln bleiben lassen um eine unitäre und invertierbare Zeitentwicklung zu erhalten. Wenn du das erledigt hast, ist die Aufgabe trivialerweise gelöst, jedoch nur für dein jeweiliges Modell, sicher nicht für das reale Problem des Schwarzen Lochs. Dazu müsstest du genau dieses in ein derartiges Script gießen.
Mein Ansatz und die letztere Erklärung ging in folgende Richtung:
Definiere
 = e^{-iHt})
\rangle = |\psi_{A, i}\rangle \otimes \psi_{B, i}\rangle)
\rangle = |\psi_{A, f}\rangle \otimes |\psi_{B,f}\rangle)
Jeder Anfangszustand psi und jedes H, das asymptotisch auf einen derartigen Endzustand führt, liefert so etwas wie eine Page-Kurve. Anders gesagt, die bzw. eine Page-Kurve ist eine generische Eigenschaft aller Systemen, die sich von Produktzuständen in Produktzustände entwickeln.
Die Herausforderung besteht dann "nur noch" darin, "interessante" und zugleiuch einfach lösbare Hamiltonians H zu finden. Dabei lernst du zwar nichts über SLs, jedoch viel über QM, insbs. wenn du nicht diese Bibliothek verwendest, sondern H und U selbst definierst und im Python mittels numpy und scipy implementierst.
Modelle gibt es dann zig-fach; ich sehe zunächst zwei verschiedene Klassen:
1) zwei verschiedene Teilchensorten
2) zwei verschiedene Raumbereiche
Zu (2) siehe z.B. ein asymmetrisches und zeitabhängiges Potential, das die Wellenpakete langsam von links nach rechts "schiebt", während man die künstliche Trennung festhält.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Bezüglich Emergenz der Raumzeit aus Verschränkung: Sollten wir nicht zu weit nach hinten stellen, da es mich brennend interessiert aber wäre dann wohl ein anderes Thema. |
Ja.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 30. Jun 2025 15:43 Titel: |
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Das die Page-curve nicht nur durch verdampfende SL's erzeugt wird, hatte ich schon vermutet aber du schreibst ja sogar explizit, dass dies auf ALLE bipartiten Systeme zutrifft, bei denen allgemein ein Austausch bzw. eine Verschiebung von Informationen/Quantenobjekten, innerhalb eines reinen und damit unitären globalen Zustand stattfindet.
Mit dem script wollte ich ja weniger die Page-curve zeigen, sondern eher die Verschränkung und damit die unitäre Entwicklung. Der Einwand, dass das Würfeln bei jedem t nicht unitär sein kann, habe ich verstanden. Darum hatte ich das script auch nicht weiter angepasst. Eine vorab festgelegte Reihenfolge ist in diesem Fall selbst mir dann zu trivial. Dennoch würde eine vorab festgelegt deterministische Reihenfolge, im Rahmen dieses einfachen Modells (abseits von SL's), die unitäre Entwicklung veranschaulichen -> das script ist trotz der Trivialität einer festgelegten Reihenfolge also nichtmal falsch aber eben auch nicht richtig?
Ich muss über deinen Ansatz etwas mehr nachdenken.
Hier im Thread off-topic aber ich stelle die Frage trotzdem:
Ist solch ein bipartites System nicht ebenso bei der Quantenmessung, in Form von S (das zu messende System), A (Messapparatur), E (Umwelt) vorhanden?
Also sozusagen
) ,
wobei A und E zusammen modelliert werden müssten, E beim vN-Messprozess aber nicht berücksichtigt wird?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 30. Jun 2025 16:21 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Das die Page-curve nicht nur durch verdampfende SL's erzeugt wird, hatte ich schon vermutet aber du schreibst ja sogar explizit, dass dies auf ALLE bipartiten Systeme zutrifft, bei denen allgemein ein Austausch bzw. eine Verschiebung von Informationen/Quantenobjekten, innerhalb eines reinen und damit unitären globalen Zustand stattfindet … |
… unter der o.g. Voraussetzung, dass sich das System von einem Produktzustand in einen Produktzustand entwickelt!
Das kann man für Systeme mit diskretem Spektrum leicht zeigen, da ist der Finale mit dem initialen Zustand sogar identisch.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Ich muss über deinen Ansatz etwas mehr nachdenken. |
Du kannst dir mal zwei gekoppelte 1-dim. harmonische Oszillatoren ansehen:
 + (\lambda b^\dagger a + \lambda^\ast a^\dagger b))
Das kann man für Spezialfälle exakt lösen und die Verschränkungsentropie S eines zeitabhängigen verschränkten Zustandes berechnen. Ich denke, damit ist auch S zeitabhängig, aber evtl. muss man noch etwas mehr basteln. Literatur findet man auf jeden Fall.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Ist solch ein bipartites System nicht ebenso bei der Quantenmessung, in Form von S (das zu messende System), A (Messapparatur), E (Umwelt) vorhanden? |
Hier reden wir über drei Subsysteme, und die o.g. Zerlegung geht i.A. nicht mehr durch. Deine Zerlegung funktioniert zwar, aber sie ist letztlich willkürlich; erst da die Dynamik definiert eventuell eine "sinnvolle" Zerlegung.
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antaris
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| antaris Verfasst am: 30. Jun 2025 18:59 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | Das die Page-curve nicht nur durch verdampfende SL's erzeugt wird, hatte ich schon vermutet aber du schreibst ja sogar explizit, dass dies auf ALLE bipartiten Systeme zutrifft, bei denen allgemein ein Austausch bzw. eine Verschiebung von Informationen/Quantenobjekten, innerhalb eines reinen und damit unitären globalen Zustand stattfindet … |
… unter der o.g. Voraussetzung, dass sich das System von einem Produktzustand in einen Produktzustand entwickelt!
Das kann man für Systeme mit diskretem Spektrum leicht zeigen, da ist der Finale mit dem initialen Zustand sogar identisch. |
Ich muss doch nochmal ein paar Schritte zurückgehen.
Identisch, weil Anfangs- und Endzustand eine Schmidt-Zahl = 1 haben -> keine Verschränkung/vN-Entropie, da je nur eineinzelnes H und kein bipartites System existiert?
Wieviele natürliche Systeme existieren, die von einem Produktzustand wieder in einen Produktzustand übergehen? Bleiben die meisten Systeme mit der Umgebung hochverschränkt, nur das SL nicht, da der Innenraum trivialerweise und gemäß der Theorie vollständig verdampft? Bei "normalen" Systemen steigt die vN-Entropie an, fällt aber nicht wieder ab, da diese "für immer" mit der Umgebung verschränkt sind?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 01. Jul 2025 06:18 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | Ich muss doch nochmal ein paar Schritte zurückgehen.
Identisch, weil Anfangs- und Endzustand eine Schmidt-Zahl = 1 haben -> keine Verschränkung/vN-Entropie, da je nur eineinzelnes H und kein bipartites System existiert? |
Man muss unterscheiden zwischen dem was du sagst, also Verschränkungsentropie Null wie bei einem SL, sowie Anfangs- und Endzustand identisch.
Letzteres gilt sicher nicht für ein SL, und es interessiert uns hier eigtl. nicht. Es gilt für alle abgeschlossenen Systeme mit diskretem Spektrum, in denen die Energie erhalten ist, da dann die Zeitentwicklung als Fourier-Reihe über Energie-Eigenzustände periodisch ist.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_recurrence_theorem
Das trifft in einem expandierenden Universum wohl nicht zu.
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Wieviele natürliche Systeme existieren, die von einem Produktzustand wieder in einen Produktzustand übergehen? |
Das weiß ich nicht.
Derartige Modelle für SLs sind schon sehr speziell, und wir wissen ja auch nicht sicher, ob sie tatsächlich zutreffen.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 01. Jul 2025 06:44 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | Das die Page-curve nicht nur durch verdampfende SL's erzeugt wird, hatte ich schon vermutet aber du schreibst ja sogar explizit, dass dies auf ALLE bipartiten Systeme zutrifft, bei denen allgemein ein Austausch bzw. eine Verschiebung von Informationen/Quantenobjekten, innerhalb eines reinen und damit unitären globalen Zustand stattfindet … |
… unter der o.g. Voraussetzung, dass sich das System von einem Produktzustand in einen Produktzustand entwickelt!
|
Kannst Du das an der ersten Version des hier diskutierten einfachen Modells konkretisieren?
Da sind am Anfang N QBits in der Menge "Innen", die sind alle untereinander verschränkt.
Dann werden nach und nach QBits in die Mange "Außen" überführt.
Dabei steigt erst die Verschränkungsentropie des Teilsystems "Außen" und sinkt dann wieder auf null.
Ist da das System "Innen" trotz maximaler Verschränkung anfangs in einem Produktzustand?
Oder nur in Bezug auf Sytem "Außen", weil es kein Qubit "Innen" gibt, das mit einem Qubit "Außen" verschränkt ist?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 01. Jul 2025 07:49 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | Das die Page-curve nicht nur durch verdampfende SL's erzeugt wird, hatte ich schon vermutet aber du schreibst ja sogar explizit, dass dies auf ALLE bipartiten Systeme zutrifft, bei denen allgemein ein Austausch bzw. eine Verschiebung von Informationen/Quantenobjekten, innerhalb eines reinen und damit unitären globalen Zustand stattfindet … |
… unter der o.g. Voraussetzung, dass sich das System von einem Produktzustand in einen Produktzustand entwickelt!
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Kannst Du das an der ersten Version des hier diskutierten einfachen Modells konkretisieren?
Da sind am Anfang N QBits in der Menge "Innen", die sind alle untereinander verschränkt.
Dann werden nach und nach QBits in die Mange "Außen" überführt.
Dabei steigt erst die Verschränkungsentropie des Teilsystems "Außen" und sinkt dann wieder auf null. |
Ja.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Ist da das System "Innen" trotz maximaler Verschränkung anfangs in einem Produktzustand? |
Vermutlich nein, aber das ist irrelevant.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Oder nur in Bezug auf Sytem "Außen", weil es kein Qubit "Innen" gibt, das mit einem Qubit "Außen" verschränkt ist? |
Das ist die o.g. laxe Formulierung. Aber "es gibt kein …" entspricht in der Quantenfeldtheorie dem "es liegt ein Vakuumzustand vor".
Der Grund ist die o.g. Schmidt-Zerlegung: Wenn eines der beiden Subsysteme in genau einem Zustand – hier das Vakuum – vorliegt, dann kann man immer eine Darstellung finden, in der für dieses Subsystem nur dieser Zustand beiträgt, d.h. die Summe kollabiert zu genau einem Term. Der Zustand für das andere Subsystem bleibt dabei unbekannt, jedoch wissen wir, dass das Gesamtsystem in einem Produkzustand vorliegt. Und damit verschwindet die Verschränkungsentropie.
Das sieht man an der Konstruktion der Verschränkung: Für zwei Teilchen in einem harmonischen Oszillator wäre das
Aber wenn das zweite Teilchen im Grundzustand sein muss, dann bleibt für den zweiten Ket in … nur |0>, damit ist er identisch zum ersten, und damit ist das ein Produktzustand.
Wichtig bei dieser Argumentation ist, dass die beiden Subsysteme nicht bzgl. "innen" und "außen" getrennt werden, sondern nach "irgendeine Materieansammlung" und "Photonen".
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 01. Jul 2025 08:50 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | Ich muss doch nochmal ein paar Schritte zurückgehen.
Identisch, weil Anfangs- und Endzustand eine Schmidt-Zahl = 1 haben -> keine Verschränkung/vN-Entropie, da je nur eineinzelnes H und kein bipartites System existiert? |
Man muss unterscheiden zwischen dem was du sagst, also Verschränkungsentropie Null wie bei einem SL, sowie Anfangs- und Endzustand identisch.
Letzteres gilt sicher nicht für ein SL, und es interessiert uns hier eigtl. nicht. Es gilt für alle abgeschlossenen Systeme mit diskretem Spektrum, in denen die Energie erhalten ist, da dann die Zeitentwicklung als Fourier-Reihe über Energie-Eigenzustände periodisch ist.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_recurrence_theorem
Das trifft in einem expandierenden Universum wohl nicht zu. |
Ok also nur weil das System wieder in einen Produktzustand zurückkehrt, heißt das lange nicht, dass auch die Zustandsvektoren vom Anfangs- und Endzustand identisch sind.
Anfangs  , am Ende 
Die thermischen Qubits des Endzustands sind durch das scrambling lokal maximal gemischt aber global maximal (multipartit?) verschränkt und damit rein. Ein einzelnes Qubit sieht somit ein maximales thermisches Bad und die Information aus dem ursprünglichen SL ist global verteilt, also maximal gescrambled?
Jedes thermische Qubit ist mit Entropie S = 1 mit dem Rest des Universums verschränkt aber zwischen 2 beliebigen thermische Qubits ist durch das scrambling die Entropie S -> 0?
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 01. Jul 2025 08:54 Titel: |
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| Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Da sind am Anfang N QBits in der Menge "Innen", die sind alle untereinander verschränkt. |
Das war in keinem der scripts der Fall, denn sonst hätte die Page-curve nicht bei 0 gestartet, sondern beim Maximimum.
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TomS
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Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 01. Jul 2025 09:16 Titel: |
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Das stimmt nicht.
Wenn ein Produktzustand zwischen den beiden Subsystemen vorliegt, dann ist die Verschränkungsentropie Null. Ob und wie jeweils einer der beiden Zustände intern verschränkt ist, ist dabei irrelevant.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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antaris
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| antaris Verfasst am: 01. Jul 2025 09:45 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Das stimmt nicht.
Wenn ein Produktzustand zwischen den beiden Subsystemen vorliegt, dann ist die Verschränkungsentropie Null. Ob und wie jeweils einer der beiden Zustände intern verschränkt ist, ist dabei irrelevant. |
Ja, richtig.
Die Verschränkung im System Stern, vor dem Kollaps, ist ja auch schon sehr hoch. Nur im script wurde immer vollkommen ohne interne Verschränkung gestartet aber das hat keine Auswirkung auf den Verlauf der Page-curve.
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TomS
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| TomS Verfasst am: 01. Jul 2025 10:33 Titel: |
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Genau.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 01. Jul 2025 11:28 Titel: |
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Ist das auch richtig?
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | Ich muss doch nochmal ein paar Schritte zurückgehen.
Identisch, weil Anfangs- und Endzustand eine Schmidt-Zahl = 1 haben -> keine Verschränkung/vN-Entropie, da je nur eineinzelnes H und kein bipartites System existiert? |
Man muss unterscheiden zwischen dem was du sagst, also Verschränkungsentropie Null wie bei einem SL, sowie Anfangs- und Endzustand identisch.
Letzteres gilt sicher nicht für ein SL, und es interessiert uns hier eigtl. nicht. Es gilt für alle abgeschlossenen Systeme mit diskretem Spektrum, in denen die Energie erhalten ist, da dann die Zeitentwicklung als Fourier-Reihe über Energie-Eigenzustände periodisch ist.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_recurrence_theorem
Das trifft in einem expandierenden Universum wohl nicht zu. |
Ok also nur weil das System wieder in einen Produktzustand zurückkehrt, heißt das lange nicht, dass auch die Zustandsvektoren vom Anfangs- und Endzustand identisch sind.
Anfangs , am Ende
Die thermischen Qubits des Endzustands sind durch das scrambling lokal maximal gemischt aber global maximal (multipartit?) verschränkt und damit rein. Ein einzelnes Qubit sieht somit ein maximales thermisches Bad und die Information aus dem ursprünglichen SL ist global verteilt, also maximal gescrambled?
Jedes thermische Qubit ist mit Entropie S = 1 mit dem Rest des Universums verschränkt aber zwischen 2 beliebigen thermische Qubits ist durch das scrambling die Entropie S -> 0? |
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TomS
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| TomS Verfasst am: 01. Jul 2025 12:56 Titel: |
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Sorry, das ergibt für mich keinen Sinn.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 01. Jul 2025 13:09 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Sorry, das ergibt für mich keinen Sinn. |
Was genau macht keinen Sinn? Der gesamte Beitrag?
Ich bin der Meinung das mit der Verschränkung der thermischen Qubits so bezüglich des scramblings gelesen zu haben. Ich schau nachher nochmal nach und suche die Stellen raus.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 01. Jul 2025 14:34 Titel: |
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Bitte.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 01. Jul 2025 23:05 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Aruna hat Folgendes geschrieben: | | Da sind am Anfang N QBits in der Menge "Innen", die sind alle untereinander verschränkt. |
Das war in keinem der scripts der Fall, denn sonst hätte die Page-curve nicht bei 0 gestartet, sondern beim Maximimum. |
Am Anfang des Skripts war noch nix verschränkt, aber am Anfang der Abstrahlung. Der Verschränkungsprozess wurde aber in der Pagekurve gerade nicht abgebildet, sondern der Abstrahlungsprozess nach der Verschränkung.
| Aruna hat Folgendes geschrieben: |
Auf den ersten Blick könnte man den Eindruck gewinnen, (ist mir auch passiert), dass die in diesem Beitrag https://www.physikerboard.de/ptopic,409589.html#409589
eingefügte Grafik "page_curve.png" irgendwie den in "entanglement.gif" animierten Verschränkungsprozess darstellt.
Das tut die aber nicht, sondern zeigt etwas anderes:
Ausgehend von dem maximal verschränkten Endzustand "verdampfen" einzele Qubits.
Es werden also zwei Bereiche definiert:
Bei 0 sind in Bereich Í das für das SL stehen kann, 50 Qubits vorhanden und in Bereich II 0 "radiation-Qubits"
Bei 25 sind gleich viel im SL, wie abgestrahlt sind und bei 50 ist das SL schließlich verdampft.
Die nach oben aufgetragene "coarse entangelment entropy" ist nicht die wirkliche v.N.Entropie des abgestrahlten Teilsystems, sondern einfach das Minimum der Teilchenzahl in Bereich I und Bereich II.
Das entspricht dann bis 25 genau den abgestrahlten Teilchen und ab 26 den noch nicht abgestrahlten Teilchen.
Die gleiche Kurve erhielte man, wenn man sich 50 Personen, die anfänglich stehen und 50 Stühle vorstellt.
Dann setzt sich in jedem Schritt einer hin und man trägt nach oben das Minimum der Mengen "Personen, die sitzen" und "Personen die, stehen" auf.
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Die Verschränkungsentropie ist nicht ein Maß dafür, wie stark die Teilchen verschränkt sind, sondern wie stark die Teilchen über die Systemgrenze (hier innen-außen) verschränkt sind.
Wenn sich alle Teilchen im gleichen Teilsystem befinden, ist die 0
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 02. Jul 2025 06:00 Titel: |
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Genau.
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Aruna
Anmeldungsdatum: 28.07.2021
Beiträge: 1609
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| Aruna Verfasst am: 02. Jul 2025 07:40 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Genau. |
Wie wäre das in diesem Formalismus abgebildet?
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Mein Ansatz und die letztere Erklärung ging in folgende Richtung:
Definiere
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beschreiben H_A und H_B die Teilsysteme und H_{AB} die Verschränkung der Teilsyteme (im Sinne von Verschränkung von Teilchen aus Teilsystem A mit Teilchen aus Teilsytem B)?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 02. Jul 2025 08:58 Titel: |
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H_A und H_B bezeichnen die Hamilton-Operatoren der beiden Subsysteme A und B, H_{AB} die Wechselwirkung zwischen den beiden. In der QED wären das z.B. Elektronen und Positronen in A sowie Photonen in B. In diesem Fall kann man H_A und H_B mit den freien Hamilton-Operatoren assoziieren.
Denkt man sich eine räumliche Trennung sieht das natürlich anders aus.
Ein sehr einfaches quantenmechanisches Modell wären zwei isolierte harmonische Oszillatoren mit den Operatoren a, a^\dagger und b, b^\dagger; hier wären H_A und H_B zwar nicht die freien Hamilton-Operatoren jedoch sozusagen trivial, mit explizit bekannten Lösungen.
Allgemeiner: Immer wenn H_A und H_B vertauschen, funktioniert folgender Separationsansatz:
\rangle = e^{-iH_A t} \, |\psi_A(0)\rangle )
analog für B, sowie
\rangle \otimes |\psi_B(t)\rangle = e^{-i(H_A + H_B)t} \, |\psi_A(0)\rangle \otimes |\psi_A(0)\rangle = e^{-iH_A t} \, |\psi_A(0)\rangle \otimes e^{-iH_B t} \, |\psi_B(0)\rangle)
d.h. ein unverschränkter Zustand bleibt unverschränkt, solange keine Wechselwirkung H_{AB} vorliegt.
Anmerkung:
Beachten muss man noch, dass wenn identische Teilchen vorliegen, die Zustände eine "triviale Verschränkung" aufgrund der Symmetrisierung (bzw. Antisymmetrisierung für Fermionen) erhalten, also für zwei Bosonen im Zustand m, n
)
Ein Produktzustand ist außer für m=n verboten. Das träfe zu, wenn z.B. in A und B Photonen enthalten sind, nicht jedoch für den o.g. Fall der QED mit Elektronen und Positronen in A sowie Photonen in B.
Verwendet man Erzeuger und Vernichter auf einer Fockraum-Darstellung, wobei m Anregungen der Sorte i sowie n Anregungen der Sorte k vorliegen, so ist das Problem automatisch gelöst, da
^m \, (a^\dagger_k)^n \, |0\rangle)
automatisch symmetrisiert ist; man muss sich darum nicht kümmern.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 04. Jul 2025 07:28 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: |
Anfangs , am Ende
Die thermischen Qubits des Endzustands sind durch das scrambling lokal maximal gemischt aber global maximal (multipartit?) verschränkt und damit rein. Ein einzelnes Qubit sieht somit ein maximales thermisches Bad und die Information aus dem ursprünglichen SL ist global verteilt, also maximal gescrambled?
Jedes thermische Qubit ist mit Entropie S = 1 mit dem Rest des Universums verschränkt aber zwischen 2 beliebigen thermische Qubits ist durch das scrambling die Entropie S -> 0? |
https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9305007
Unter Gleichung 9
Although they also did not calculate Sm,n exactly, Lloyd and Pagels [3] came to the same qualitative conclusion as Lubkin [2], that for m ≪ n the typical entropy of the (much) smaller subsystem is very nearly maximal.
https://arxiv.org/pdf/0708.4025
Seite 1
At first, we assume that a black hole thermalizes quantum information arbitrarily quickly, so that we may model the internal dynamics of a black
hole by an instantaneous random unitary transformation.
https://arxiv.org/pdf/0808.2096
Seite 4
In fact the subsystem does not have to be very small. The work of Page [3] makes it very plausible that the subsystem will be extremely close to thermal for any m less than N/2. When this condition is achieved, i.e., when any subsystem smaller than half the whole system has maximum entanglement entropy, we will call the system “scrambled.”
https://arxiv.org/html/2505.03696v1
Vorletzter Absatz in 1.
In a previous contribution [11], we constructed the ensemble of all pure bosonic Gaussian quantum states that share the same marginals. This compact set is fully characterized by a set of symplectic transformations subject to marginal constraints and equipped with a natural measure induced by the (non-compact) symplectic group. Put simply, we provided an analytical construction for the set of all states that are globally pure, but look locally thermal in a well-prescribed manner. Applied to Hawking radiation, we showed that in this ensemble of random pure Gaussian states which perfectly mimic the one-mode properties of Hawking radiation, any two modes are almost surely not entangled. The essential large parameter is the total number of excited modes in Hawking radiation, about N⊙∼10^76 for a solar-mass black hole.
https://arxiv.org/html/2505.03696v1
letzter Absatz in 1.
Here we go further and show that the reduced state of any small subsystem within the aforementioned random pure state ensemble behaves just in the same as mixed state without any correlations between the subsystems. In particular, this implies that such small systems are maximally entangled with the remaining set of modes. When applied to Hawking radiation and consistent with our previous finding, this implies that typical quantum correlations between different small sets of Hawking modes are vanishingly small, but correlations between a small selection of modes and the collective of all other modes is maximal. We make this precise by showing explicitly how the bi-partite entanglement entropy is maximal for small subsystems.
In den letzten beiden Zitaten steht m.E. genau das, was ich oben aus meiner Erinnerung geschrieben hatte.
Daraus folgt das Bild:
Werden einzelne oder wenige Hawking-Moden isoliert betrachtet, ist ihr Zustand wie in einer Gibbs-Verteilung: thermisch gemischt und kaum verschränkt untereinander.
Gleichzeitig ist jedes kleine Subsystem maximal mit dem Rest der Radiation verschränkt. Die gesamte Reinheit steckt also in den quer über alle Modi verteilten Korrelationen.
Thermalität entsteht hier ohne Informationsverlust: Es wird global in einem reinen Zweimoden-Squeezed-State gearbeitet, und jede lokale Betrachtung (Tracing-out) liefert exakt die thermische Dichte. Die typische kleine Verschränkung (lack of direct two-mode entanglement) geht dabei Hand in Hand mit einer maximalen Verschränkung gegenüber dem „Rest“-Subsystem.
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