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TomS
Moderator
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 TomS Verfasst am: 18. Jun 2024 13:25 Titel: |
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Zunächst mal müssen wir da von Feldern sprechen. Diese transformieren unterschiedlich unter Lorentz-Trf. und werden dementsprechend klassifiziert. Skalar: Higgs; Spinor: alle Fermionen; Vektor: alle Eichfelder inkl. Photon, Gluon …
Die Raumzeit ist für alle dieselbe, aber die Wellengleichungen nicht.
Im Falle einer Masse m > 0 ist eine spezielle Symmetrie gebrochen, die Skaleninvarianz.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 18. Jun 2024 14:04 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Zunächst mal müssen wir da von Feldern sprechen. Diese transformieren unterschiedlich unter Lorentz-Trf. und werden dementsprechend klassifiziert. Skalar: Higgs; Spinor: alle Fermionen; Vektor: alle Eichfelder inkl. Photon, Gluon …
Die Raumzeit ist für alle dieselbe, aber die Wellengleichungen nicht. |
Dann ist die Raumzeit für die Felder also nur als reiner Container anzusehen. Wobei man ja annehmen könnte, dass in den aufeinanderfolgenden(?) Entstehungsprozessen der Felder nach dem Urknall, diese zusammen mit der Raumzeit entstanden sind? Die Felder unterliegen dann einer Topologie?
Aber das hat dann ja nix mehr mit dem Thema dieses Thread zu tun. Macht es Sinn das in einem neuen Thread fortzuführen?
| Zitat: | | Im Falle einer Masse m > 0 ist eine spezielle Symmetrie gebrochen, die Skaleninvarianz. |
Da wären wir also wieder bei dem noch fortzuführenden Thema zum Bruch der Skaleninvarianz angekommen. |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 18. Jun 2024 21:06 Titel: |
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Ich muss nochmal nachfragen:
Wenn nur bei Objekte mit m>0 die Skaleninvarianz der Raumzeit bricht, bedeutet das dann, das für Feldanregungen mit m=0 in einer flachen Raumzeit und dagegen Feldanregungen mit m>0 in einer Raumzeit leben, die nur lokal flach ist? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21442
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| TomS Verfasst am: 19. Jun 2024 09:24 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Wenn nur bei Objekte mit m>0 die Skaleninvarianz der Raumzeit bricht, bedeutet das dann, das für Feldanregungen mit m=0 in einer flachen Raumzeit und dagegen Feldanregungen mit m>0 in einer Raumzeit leben, die nur lokal flach ist? |
Nein. Die Skaleninvarianz ist im Wesentlichen eine Eigenschaft der Bewegungsgleichungen und deren Lösungsmenge. Sie besagt grob gesprochen: wenn f(x,t) eine Lösung ist, dann ist auch f(rescaled x, rescaled t) eine Lösung.
Freies Teilchen
 = x_0 + vt \to (\lambda x_0) + v (\lambda t) = \lambda \cdot x(t) )
Das liefert eine neue Lösung.
Harmonischer Oszillator
 = \sin \omega t \to \sin \omega (\lambda t) = \sin (\omega \lambda) t )
Das ist keine Lösung des selben Systems; man müsste außerdem die Frequenz reskalieren.
Elektromagnetische Wellen, allgemein Lösungen der masselosen Wellengleichung
 = f\Big(\omega(x-ct)\Big) \to f\Big(\omega((\lambda x) - c(\lambda t))\Big) = f\Big((\lambda \omega) (x-ct\Big))
Da f für jedes beliebige omega eine Lösung darstellt, ist auch die reskalierte Funktion eine wiederum neue Lösung, hier für eine neue Freqzenz; es gibt keine "bevorzugte" Frequenz für Lösungen dieser Wellengleichung.
Lösungen der Wellengleichung mit Masseterm
 = \sin(kx - \omega t))
Im Gegensatz zu vorigen Fall ist
nämlich
Reskalieren liefert
 = \sin(kx - \omega t) \to \sin\Big(k (\lambda x) - \omega (\lambda t) \Big) = \sin\Big((\lambda k) x - (\lambda \omega) t \Big) )
Das liefert wiederum keine Lösung für das selbe Feld, da
^2 - m^2} = \lambda \sqrt{\omega^2 - \left(\lambda^{-1} \, m\right)^2} \neq \lambda \sqrt{\omega^2 - m^2} = \lambda k )
Hier bricht der Masseterm die Skaleninvarianz.
Mit der unterlagerten Raumzeit hat das erst mal gar nichts zu tun. |
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antaris
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| antaris Verfasst am: 19. Jun 2024 12:17 Titel: |
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Ok, danke für die Erläuterung. |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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| antaris Verfasst am: 19. Jun 2024 20:58 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Mit der unterlagerten Raumzeit hat das erst mal gar nichts zu tun. |
Damit kann ich mich aber dennoch irgendwie nicht zufrieden geben.
Im englischen Wiki steht, dass der Masseterm in relativistischen Feldtheorien äquivalent zu einem fixen Längenmaß gesehen werden kann:
https://en.wikipedia.org/wiki/Scale_invariance#Massless_scalar_field_theory_2
So ist es dann tatsächlich keine Überraschung, dass eine Masse (bzw. ein fixes Längenmaß) die Skaleninvarianz bricht, wenn eben diese beim skalieren nicht "mitskaliert" werden (kann).
Da hier m der ausschlaggebende Faktor für den Bruch der Skaleninvarianz bei massebehaftete skalare Felder, die Gravitation und somit für die Krümmung der Raumzeit ist, kann ich mir nur schwer vorstellen, dass die Raumzeit damit gar nichts zu tun haben soll. Schließlich sorgen Massen dafür, dass Geodäten sich krümmen, sich annähern und somit bei massebehaftete Objekte in einem Punkt zusammenlaufen, anstatt parallel zueinander. Der Ausschluss, die Isolation oder die Separation physikalischer Entitäten versperren eher die Sicht auf die Natur, als dass sie durch zu starke Vereinfachung Erkenntnisse hervorbringen. |
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 20. Jun 2024 00:36 Titel: |
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Es hat deswegen nichts mit der Raumzeit und deren Krümmung zu tun, weil die Brechung der Skaleninvarianz aufgrund von Massetermen bereits in klassischen Feldtheorien im Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie auf einer immer flachen Raumzeit auftritt.
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antaris
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| antaris Verfasst am: 20. Jun 2024 07:17 Titel: |
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Ist das nicht genau der Grund warum massebehaftete Objekte zeitartigen Geodäten folgen und nicht lichtartig? Eine immer flache Raumzeit gibt es ja nicht, auch wenn man diese mit der newtonschen Mechanik auch über größere Abstände annähern kann. Genau genommen gilt die SRT für massebehaftete Objekte nur zwischen infinitesimalen Abständen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 20. Jun 2024 14:07 Titel: |
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Die SRT holt aber im Labormaßstab in EXTREM guter Näherung.
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antaris
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| antaris Verfasst am: 20. Jun 2024 18:14 Titel: |
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Ohne Frage und dennoch bezieht sich das "extrem" auf die erreichbare Messgenauigkeit. Die Genauigkeit ist für unsere Verhältnisse sehr hoch aber dennoch so gering, dass wohl "jedes Labor noch als punktförmig angesehen werden kann". Darum habe ich ja geschrieben "ganz genau". Das scheint kleinlich aber in einer deterministischen Natur können sich eben auch die winzigsten Änderungen auf die Gesamtheit auswirken.
Das steht m.E. auch nicht im Widerspruch zur Aussage das Raumzeit/Gravitation und der Bruch der Skaleninvarianz einen gemeinsamen Kern haben müssten und dass sich das für masselose Felder ganz anders darstellt. |
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antaris
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| antaris Verfasst am: 22. Jun 2024 14:51 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Ok, dann habe ich es nun verstanden. Ich werde das nochmal Revue passieren lassen. |
Ich habe es Revue passieren lassen und hab es wohl nun auch wirklich verstanden
Um die Länge der Kurve P'Q' auf F richtig berechnen zu können, müsste ich die Werte delta P'Q', also delta x, delta y und delta z in die Schwarzschildmetrik einsetzen (vorher in Polarkoordinaten umrechnen) und ct=1 (oder ct=0?) setzen?
Wenn dem so ist, dann kann ich doch zeigen, was ich wollte. Nur eben bezogen auf raumartige Abstände.
Hier der link (noch die alte Version)
https://www.geogebra.org/classic/fv4shjyh |
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antaris
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| antaris Verfasst am: 22. Jun 2024 23:57 Titel: |
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So einfach ist es wohl doch nicht.
Mit
wird der direkte Abstand zwischen den Punkten P' und Q' auf F, ohne Beachtung der Krümmung von F berechnet. Das ist nur ein ungefähres Maß.
Ich habe die Koordinaten von P' und Q' in Kugelkoordinaten umgerechnet. In Geogebra kann die Darstellung der Punkte auf Kugelkoordinaten umgestellt werden und diese stimmen mit den berechneten Koordinaten überein.
Die Minkowski Metrik und die Schwarzschildmetrik unterscheiden sich in Polarkoordinaten nur durch die Vorfaktoren von Δt bzw. dt und Δr bzw. dr. Der Zeitterm muss beim Flammschen Paraboloid auf 0 gesetzt werden, so das er entfällt.
Schwarzschildmetrik ohne Zeitterm
\Delta\Phi^{2}})
die Differenzen ausgerechnet:
Diese müssten in die obige Schwarzschildmetrik eingesetzt werden. Ich verstehe aber nicht, was die Werte r und theta ohne vorangestellten Delta sind. Sind das Koordinaten eines Punktes (P' oder Q') als Startpunkt der Kurve?
Egal was ich einsetze aber es kommt nicht die Vergleichslänge raus, die Geogebra ermittelt.
Können die Differenzen wie beim kartesischen KS berechnet werden (z.B. r2 - r1) oder muss bei Kugelkoordinaten etwas spezielles beachtet werden? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 23. Jun 2024 10:30 Titel: |
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Du musst einfach zwei Linienintegrale berechnen, ich hatte das schon mehrfach geschrieben.
Du verwendest dazu
1. die xy-Ebene mit rämlicher Schwarzschildmetrik
2. den xyz-Raum mit Fläche z = F(x,y) und euklidischer Metrik
(ob kartesische oder Polarkoordinaten ist für das Argument egal)
Um die Identität zweier Linienintegrale
mit
})
zu zeigen, ist es ausreichend, die Identität der jeweiligen infinitesimalen Linienelemente ds und dS durch geeignete Konstruktion von F(x,y) sicherzustellen. Das heißt
} )
Das führt auf eine Differentialgleichung für F, und deren Lösung stellt die Identität sicher.
Ist dir das Argument klar?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 23. Jun 2024 15:55 Titel: |
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Beispiel: wir betrachten statt zwei nur noch eine Dimension; y entfällt, der Index x ebenfalls; statt dz schreibe ich dF. Damit folgt
Es gilt
Einsetzen liefert
d.h.
Für gegebenes g(x) ist das eine Differentialgleichung für F(x), die man durch Integration löst, also
 = \int dx \, \sqrt{g(x) - 1})
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antaris
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| antaris Verfasst am: 24. Jun 2024 22:53 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Du musst einfach zwei Linienintegrale berechnen |
In der wenigen Zeit die ich habe, stelle mich zu blöd an das in Geogebra hinzukriegen. Es fehlen mir auch eher mehr, als wenig Grundlagen bzw. sind die Kenntnisse zusätzlich verblasst.
Folgendes einfaches Beispiel.
https://www.geogebra.org/3d/jaqqq9vf
Klar ist mir die Funktion f(x) und die parametrisierte Kurve c insofern, dass ich beide in Geogebra definieren kann und dass sie den gleichen Weg beschreiben. Die Ableitung c' ist eine vektorielle Größe und beschreibt den Tangentialvektor (Steigung) entlang der Punkte auf der Kurve.
Die Komponenten der Kurve müssen unter den Bruchstrich und jeweils quadriert werden. x = 1^2, y = sin^2(t)
Nun habe ich auch eine Lösung des Integrals. Mit a und b können Start-/Endwert eingestellt werden. Ist es denn richtig?
In dem Beispiel schien mir die Parametrisierung naheliegend aber so richtig erklären kann ich mir nicht, wie man von Funktionen auf die Komponenten kommt. Geht das auch andersherum? |
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