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Nachricht |
Thor
Anmeldungsdatum: 14.01.2008
Beiträge: 90
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 Thor Verfasst am: 27. Mai 2008 00:35 Titel: Spirale auf Paraboloid |
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Hi zusammen,
hab mir grad den Kopf an dieser Aufgabe zerbrochen:
Es soll eine Spirale betrachtet werden, die auf einem Paraboloid gewickelt ist. Die Steigung  der Spirallinie soll zu jedem Zeitpunkt konstant sein. Die Höhe z eines Paraboloids steigt quadratisch mit dem Radius r  bei  ). Ein Massenpunkt gleitet reibungsfrei im homogenen Gravitationsfeld die Spirale entlang.
a) Wählen Sie geeignete Koordinaten und stellen Sie den Ortsvektor entsprechend der gewählten Parametrisierung dar.
b) Stellen Sie nun die Lagrange-Funktion auf
Ich hab mir ein Zylinderkoordinatensystem gewählt und darin den Ortsvektor beschrieben:
der Radius ist auf jeden Fall von der Zeit abhängig
)
kann ich nicht sogar sagen: =t) Es müsste vielleicht noch eine Konstante vor, aber dadurch das es sich um eine Spirale "auf einem Paraboloid" handelt, müsste das gelten.
=r(t)cos(\omega t))
=r(t)sin(\omega t))
z(t) wie in der Aufgabenstellung.
Mein großes Problem ist nun dieses Alpha. Wie hab ich das zu verstehen? Ist es die Tangentensteigung in jedem Punkt? Wenn ja, wie soll ich dies als Zwangsbedingung formulieren??
Warum wird die Aussage gemacht das es sich in einem homogenen Gravitationsfeld befindet? Verstehe ich nicht  |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 27. Mai 2008 16:46 Titel: Re: Spirale auf Paraboloid |
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| Thor hat Folgendes geschrieben: |
kann ich nicht sogar sagen: Es müsste vielleicht noch eine Konstante vor, aber dadurch das es sich um eine Spirale "auf einem Paraboloid" handelt, müsste das gelten.
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Wie kommst du zu dieser Vermutung? Ich sehe das nicht direkt, und ich wäre überrascht, wenn dieser Zusammenhang zwischen r und t wirklich einfach nur ein linearer wäre. Wie der Zusammenhang zwischen r und t am Ende wirklich aussieht (und die Zeitabhängigkeit all der anderen Variablen), wird wohl erst ganz am Ende der Rechnung herauskommen.
| Zitat: |
Mein großes Problem ist nun dieses Alpha. Wie hab ich das zu verstehen? Ist es die Tangentensteigung in jedem Punkt?
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Tipp: Mach dir da unbedingt eine Skizze, um dir das klarzumachen. Ich welche Richtung zeigt in deinem Koordinatensystem die Höhe dieses Steigungsdreieckes? Und entlang welcher Koordinate deines Koordinatensystems erstreckt sich der Weg der Länge dieses Steigungsdreieckes?
| Zitat: |
Wenn ja, wie soll ich dies als Zwangsbedingung formulieren??
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Tipp: Überleg mal welche Koordinaten für die Position des Teilchens auf dieser Spiralbahn durch die konkret formulierten Bedingungen (gerne als Gleichungen aufschreiben) wie verknüpft sind.
| Zitat: |
Warum wird die Aussage gemacht das es sich in einem homogenen Gravitationsfeld befindet? |
Na, das ergibt eine Kraft auf das Teilchen der Masse m, das sich auf der Spiralbahn bewegt. Die muss man natürlich berücksichtigen, wenn man herausfinden möchte, wie sich das Teilchen auf dieser Bahn bewegen wird. |
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Thor
Anmeldungsdatum: 14.01.2008
Beiträge: 90
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| Thor Verfasst am: 29. Mai 2008 09:30 Titel: |
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danke für deine ausführliche antwort markus.
ich hab mir nun folgendes überlegt:
meine steigung alpha kann ich so ausdrücken:
somit hab ich zwei zwangsbedingungen und eine unabhängige koordinate r:  und 
meine potenzielle energie ist ja einfach:
die kinetische energie macht mir aber noch zu schaffen.
 aber wie komme ich nun an mein r-punkt-quadrat? ich hab mir gedacht ich drück es in kartesischen koordinaten aus:
)
)
bin mir aber unsicher... |
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noob
Gast
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| noob Verfasst am: 29. Mai 2008 09:57 Titel: |
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| Zitat: | | Latex binary nicht gefunden |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 29. Mai 2008 11:46 Titel: |
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| Thor hat Folgendes geschrieben: |
meine steigung alpha kann ich so ausdrücken:
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Wenn du mit deinen  s unendlich kleine Schritte  meinen solltest, dann bin ich damit einverstanden.
Hingegen kann
| Zitat: |
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nicht stimmen, denn das r ist ja nicht konstant, sondern ist eine Funktion, die von z abhängt. Das kannst du beim stillschweigenden Integrieren deiner differentiellen Ausdrücke nicht einfach ignorieren.
------------------
| Zitat: |
aber wie komme ich nun an mein r-punkt-quadrat? ich hab mir gedacht ich drück es in kartesischen koordinaten aus:
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Einverstanden, in kartesischen Koordinaten ausdrücken und das dann in Zylinderkoordinaten einsetzen und nach der Zeit ableiten ist der Weg, den ich hier auch gehen würde. Bevor man da allerdings dann schon eine konkrete Beziehung zwischen phi und r einsetzt, muss man sich erst noch um das oben genannte kümmern, um Folgefehler zu vermeiden. |
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Thor
Anmeldungsdatum: 14.01.2008
Beiträge: 90
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| Thor Verfasst am: 29. Mai 2008 20:57 Titel: |
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warum ich die deltas bei meiner steigung nicht weglassen darf, weiß ich jetzt, traurig das ich es nicht sofort gesehen hab.
nun hab ich die differentziale sortiert und dann integriert.
nun kann ich Phi und z als funktion von r. ich bin mir bei meiner integration aber nicht so sicher....
zur kin. energie:
da phi und r von t abhängen muss ich beide ableiten.
wenn das alles ok ist, kann ich t bestimmen.... |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 30. Mai 2008 11:12 Titel: |
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| Thor hat Folgendes geschrieben: |
nun hab ich die differentziale sortiert und dann integriert.
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Einverstanden, die sogenannte Separation der Variablen ist hier eine erfolgversprechende Methode, um diese DGL zu lösen.
| Zitat: |
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Einverstanden.
| Zitat: |
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Wo hast du das r in dieser Gleichung her? Magst du nochmal genau nachrechnen?
| Zitat: |
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Hoppla, da hast du einiges vergessen. Magst du mal ganz gemütlich Schritt für Schritt
* in einer Nebenrechnung die linke Seite integrieren (welche Integrationskonstante ergibt das?)
* in einer weiteren Nebenrechnung die rechte Seite integrieren (achte dabei auf die richtige Stammfunktion, deine Vorfaktoren wie das alpha; und welche Integrationskonstante ergibt die Integration auf der rechten Seite?)
| Zitat: |
nun kann ich Phi und z als funktion von r.
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Ist das Zwischenergebnis, das du so bekommst, nicht vielmehr ein Zusammanhang zwischen phi und z ?
| Zitat: |
zur kin. energie:
da phi und r von t abhängen muss ich beide ableiten.
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Einverstanden 
| Zitat: |
wenn das alles ok ist, kann ich t bestimmen.... |
Meinst du da vielleicht T statt t ? Also dass du damit nun einen Ausdruck für die kinetische Energie T bestimmen kannst? |
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Thor
Anmeldungsdatum: 14.01.2008
Beiträge: 90
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| Thor Verfasst am: 30. Mai 2008 18:08 Titel: |
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nach integrieren
und mein c ist dann mein Phi-Null.
mein t ist mein kin energie, also T.
nun kann ich ja endlich loslegen und die bewegungsgleichung berechnen  |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 31. Mai 2008 17:20 Titel: |
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Einverstanden, damit kannst du schon mal weitermachen.
Solltest du im weiteren Verlauf der Aufgabe noch einmal die genauere Bedeutung und Aufschlüsselung der Integrationskonstante benötigen, müsstest du noch die verbliebenen Flüchtigkeitsfehler in deinen Aussagen und Gleichungen für das  korrigieren. |
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