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Zombiephilosoph
Gast
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 Zombiephilosoph Verfasst am: 25. Apr 2024 21:43 Titel: |
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| Mister_X hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Aber jeder Schluß A|- B ist gültig gdw. A -> B eine Tautologie ist. |
Das meine ich eigentlich zu verstehen. Mir ging es darum, dass im Matheboard behauptet wurde, dass sich Schlussschema auch ableiten lassen, wenn keine Tautologien vorliegen. Das hätte mich jetzt auch interessiert. |
Aber es kann doch nicht beides stimmen! Ihr habt im Matheboard sowieso aneinander vorbeigeredet.
| Mister_X hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: | | Aus jeder falschen Prämisse folgt eine falsche Aussage, weil p->p eine Tautologie ist. Also kann man mit korrekten Schlüssen allen auch keine Wahrheit berechnen. Trotzdem ist ein korrekter Schluß keine Tautologie. |
Folgt sicher eine falsche Aussage? Ich hätte jetzt eher gedacht, eine beliebige, da aus falschem ja auch richtiges folgen kann. |
Ja es folgt sicher eine falsche Aussage, nämlich die Aussage p selber. Es kann auch eine richtige Aussage folgen. Aber es folgt nur dann jede beliebige Aussage wenn die Voraussetzungen widersprüchlich sind. Sonst gibt`s immer Aussagen die nicht folgen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 25. Apr 2024 22:00 Titel: |
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| Zombiephilosoph hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Für natürliche Zahlen x,y mit x • y = 0 folgt, dass x = 0 oder y = 0. |
Warum führst Du hier jetzt Deine Privatterminologie ein? Was Du da hinschreibst ist keine logische Folgerung, weder Aussagenlogisch noch Prädikatenlogisch. Es gibt keine logischen Folgerungen, die nur für natürliche Zahlen gelten. |
Es ist aber für natürliche Zahlen eine zutreffende Folgerung, für andere Zahlensysteme dagegen evtl. Oder wie würdest die das bezeichnen? 🙃
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 25. Apr 2024 22:14, insgesamt einmal bearbeitet |
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Mister_X
Gast
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| Mister_X Verfasst am: 25. Apr 2024 22:11 Titel: |
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| Zitat: | | Aber es kann doch nicht beides stimmen! Ihr habt im Matheboard sowieso aneinander vorbeigeredet. |
Bin mir da nicht ganz sicher, denn ich bekam ja diese Antwort:
| Zitat: |
Außerdem gibt es je nach gewählter Logik, d.h. je nachdem, wie man denken möchte, auch logische Schlußformen, die nicht aus einer Tautologie hergeleitet wurden oder hergeleitet werden können. |
| Zitat: | | Ja es folgt sicher eine falsche Aussage, nämlich die Aussage p selber. Es kann auch eine richtige Aussage folgen. Aber es folgt nur dann jede beliebige Aussage wenn die Voraussetzungen widersprüchlich sind. Sonst gibt`s immer Aussagen die nicht folgen. |
Hast du zufällig einen Link für eine Seite, bei der das gut erklärt wird? Bei denen, wo ich nachschaue, bekomme ich immer nur die Wahrheitstabellen für zb die Tautologie des Modus Tollens, aber damit begehe ich ja einen Fehler, da ja Schluß und Tautologie nicht das gleiche sind. |
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Mister_X
Gast
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| Mister_X Verfasst am: 26. Apr 2024 07:56 Titel: |
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scilogs.spektrum.de/die-natur-der-naturwissenschaft/tautologien-und-schlussregeln/
Hier habe ich nochmal nachgelesen. Da ist eigentlich gut beschrieben, was ich damit meine, wenn ich sage, dass aus falschen Prämissen beliebiges folgt. Nämlich einfach, dass zb beim Modus Ponens die Gesamtprämisse falsch ist, kann einmal auf die zu schließende Aussage B wahr sein und in einem anderen Fall falsch sein.
Deshalb denke ich nicht, dass aus falschen Prämissen automatisch eine falsche Aussage folgt, das hängt vom entsprechenden Fall ab (siehe Wahrheitswertetabelle). |
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Zombiephilosoph
Gast
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| Zombiephilosoph Verfasst am: 26. Apr 2024 08:10 Titel: |
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| Mister_X hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: | | Aber es kann doch nicht beides stimmen! Ihr habt im Matheboard sowieso aneinander vorbeigeredet. |
Bin mir da nicht ganz sicher, denn ich bekam ja diese Antwort:
| Zitat: |
Außerdem gibt es je nach gewählter Logik, d.h. je nachdem, wie man denken möchte, auch logische Schlußformen, die nicht aus einer Tautologie hergeleitet wurden oder hergeleitet werden können. |
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Ja, wenn man anders denken möchte, aber nicht genau definiert wie, dann kann man alles behaupten. In der gewöhnlichen Logik geht das aber so. Man definiert z.B. die semantische Folgerungsbeziehung.  (B folgt aus A) wenn in jeder Zeile der Wahrheitstabelle für die atomaren Aussagen in A und B folgendes gilt: B ist wahr oder A ist falsch. Mach Dir ganz klar was das bedeutet. Wir haben wirklich jede Zeile der Wahrheitstabelle gecheckt. Genau deshalb ist die Folgerungsbeziehung zwischen A und B unabhängig von den Wahrheitswerten. Dann definiert man eine Reihe rein schematischer Schlussregeln, die zumindest korrekt sind, d.h. wenn  (wenn B aus A formal deduzierbar ist), dann gilt auch . Dann kann man beweisen, dass zu jeder Schlussregel eine Tautologie gehört. Das ist nur in solchen Kalkülen anders, die eine inkorrekte Schlussregel benutzen. Solche Kalküle sind sicher für irgendwas nützlich, aber die stellen jetzt nicht unbedingt dar, was die meisten Menschen mit dem Wort "Logik" verbinden, würde ich sagen.
| Mister_X hat Folgendes geschrieben: |
| Zitat: | | Ja es folgt sicher eine falsche Aussage, nämlich die Aussage p selber. Es kann auch eine richtige Aussage folgen. Aber es folgt nur dann jede beliebige Aussage wenn die Voraussetzungen widersprüchlich sind. Sonst gibt`s immer Aussagen die nicht folgen. |
Hast du zufällig einen Link für eine Seite, bei der das gut erklärt wird? |
Ich hab vor kurzem diese Site hier gefunden logicmatters.net/ Da gibt es auch einen study guide. Vielleicht findest Du da ja nützliche Information.
| Mister_X hat Folgendes geschrieben: |
Bei denen, wo ich nachschaue, bekomme ich immer nur die Wahrheitstabellen für zb die Tautologie des Modus Tollens, aber damit begehe ich ja einen Fehler, da ja Schluß und Tautologie nicht das gleiche sind. |
Natürlich kannst Du die Gültigkeit eines Schlusses anhand einer Wahrheitstabelle überprüfen. Du kannst ja auch so prüfen ob eine Aussage eine Tautologie ist.
Schreib` Dir die Wahrheitstabelle für die Folge von Aussagen A,B, C |- K hin. Dann suche alle die Zeilen mit A=true, B = true, C = true. (Wenn es keine solche Zeilen gibt, sind A, B, C widersprüchlich und der Schluss ist so gesehen gültig). Dann checke ob in jeder dieser Zeilen auch K = true. Dann ist der Schluss gültig. Und offensichtlich ist A ⋀ B ⋀ C -> K dann eine Tautologie. Beispiel Modus tollens
A->B, A |- B
und sagen wir A und B sind atomare Aussagen. Keine Ahnung wie das jetzt mit der Formatierung klappt mal sehen. Wahrheitstabelle:
| Code: |
A -> B , A
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 1 1
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Nur in der letzten Zeile sind alle Prämissen wahr. Und in der Zeile ist auch B wahr, also ist der Schluss korrekt. Nun betrachte
(A->B) ⋀ A -> B
In der Zeile wo (A->B) ⋀ A wahr ist, ist auch B wahr und damit die ganze Aussage. In allen anderen Fällen ist (A->B) ⋀ A falsch und damit wieder die ganze Aussage wahr, also ist (A->B) ⋀ A->B immer wahr und somit eine Tautologie. |
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Zombiephilosoph
Gast
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| Zombiephilosoph Verfasst am: 26. Apr 2024 08:12 Titel: |
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| Zombiephilosoph hat Folgendes geschrieben: | Beispiel Modus tollens
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Äh, sorry, ich mein` modus ponens. |
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Zombiephilosoph
Gast
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| Zombiephilosoph Verfasst am: 26. Apr 2024 08:23 Titel: |
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| Mister_X hat Folgendes geschrieben: |
Deshalb denke ich nicht, dass aus falschen Prämissen automatisch eine falsche Aussage folgt, das hängt vom entsprechenden Fall ab (siehe Wahrheitswertetabelle). |
Doch, das ist aber so. p->p ist eine Tautologie. Also ist p |- p ein gültiger Schluss. Wenn p falsch ist, folgt also eine falsche Aussage aus diesem Schluss. Ganz automatisch. Es folgen auch richtige Aussagen, nämlich "p oder nicht p". Es können sogar richtige und nicht-tautologische Aussagen folgen. Z.B. Aus "Der Himmel ist grün und Das Gras ist grün" folgt "Das Gras ist grün" also eine richtige Aussage, obwohl der Prämisse eine falsche Konjunktion ist.
Aber es folgt in keinem der Fälle jede beliebige Aussage, es sei denn Du benutzt widersprüchliche Prämissen. |
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Mister_X
Gast
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| Mister_X Verfasst am: 26. Apr 2024 09:22 Titel: |
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Erstmal vielen lieben Dank für deine Mühe! Das weiß ich zu schätzen.
Wäre p->p nicht ziemlich zirkulär? Aber das würde ja eigentlich erstmal nur bedeuten, dass aus einer falschen Aussage die gleiche falsche Aussage folgt. Oder verstehe ich das falsch?
Mir geht es zum Beispiel um den folgenden Fall: ich möchte mittels Modus Ponens eine Aussage B beweisen.
Nun kann zb der Fall eintreten, dass Aussage A falsch ist und Aussage B wahr. Es kann aber auch der Fall eintreten, daß Aussage A wahr, B aber falsch ist.
Das meinte ich mit beliebig, war vielleicht zu unpräzise formuliert. |
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Zombiephilosoph
Gast
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| Zombiephilosoph Verfasst am: 26. Apr 2024 09:37 Titel: |
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| Mister_X hat Folgendes geschrieben: | Erstmal vielen lieben Dank für deine Mühe! Das weiß ich zu schätzen.
Wäre p->p nicht ziemlich zirkulär? Aber das würde ja eigentlich erstmal nur bedeuten, dass aus einer falschen Aussage die gleiche falsche Aussage folgt. Oder verstehe ich das falsch? |
p->p ist tautologisch, nicht zirkulär. Und ja, mit der zugehörigen Schlussregel folgerst Du nur die Prämisse selber. Trotzdem zeigt das, dass immer mindestens eine falsche Aussage aus einer falschen Prämisse folgt. Ein anderes Beispiel ist "Der Himmel ist grün und das Gras ist grün". Daraus folgt sowohl die wahre Aussage "Das Gras ist grün" als auch die falsche Aussage "Der Himmel ist grün". Aber beides sind nicht dieselbe Aussage wie die Konjunktion "Der Himmel ist grün und das Gras ist grün."
| Mister_X hat Folgendes geschrieben: |
Mir geht es zum Beispiel um den folgenden Fall: ich möchte mittels Modus Ponens eine Aussage B beweisen.
Nun kann zb der Fall eintreten, dass Aussage A falsch ist und Aussage B wahr. Es kann aber auch der Fall eintreten, daß Aussage A wahr, B aber falsch ist. |
Du meinst aus einer falschen Prämisse kann sowohl eine wahre also auch eine falsche Aussage folgen. Das stimmt. Es kann aber nicht jede beliebige Aussage folgen, es sei denn die Prämisse ist nicht nur falsch, sondern sogar widersprüchlich. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 26. Apr 2024 09:55 Titel: |
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Kannst du "Es kann aber nicht jede beliebige Aussage folgen, es sei denn die Prämisse ist nicht nur falsch, sondern sogar widersprüchlich" erklären?
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Zombiephilosoph
Gast
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| Zombiephilosoph Verfasst am: 26. Apr 2024 10:18 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Kannst du "Es kann aber nicht jede beliebige Aussage folgen, es sei denn die Prämisse ist nicht nur falsch, sondern sogar widersprüchlich" erklären? |
Wenn aus den Prämissen A, B, ....... jede beliebige Aussage folgt, dann folgen auch die beiden Aussagen p und ~p. Also sind A, B, ...... widersprüchlich. Wenn sie nicht widersprüchlich sind, kann also mindestens eine Aussage nicht folgen.
Die Umkehrung gilt auch, denn in keiner Zeile der Wahrheitstabelle sind alle Prämissen wahr, damit ist A, B, ....... |= p für jede Aussage p immer erfüllt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 26. Apr 2024 10:26 Titel: |
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| Zombiephilosoph hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Kannst du "Es kann aber nicht jede beliebige Aussage folgen, es sei denn die Prämisse ist nicht nur falsch, sondern sogar widersprüchlich" erklären? |
Wenn aus den Prämissen A, B, ....... jede beliebige Aussage folgt, dann folgen auch die beiden Aussagen p und ~p. Also sind A, B, ...... widersprüchlich. Wenn sie nicht widersprüchlich sind, kann also mindestens eine Aussage nicht folgen.
Die Umkehrung gilt auch, denn in keiner Zeile der Wahrheitstabelle sind alle Prämissen wahr, damit ist A, B, ....... |= p für jede Aussage p immer erfüllt. |
Danke, aber das meinte ich nicht.
Was ist denn der Unterschied zwischen "mindestens eine Prämisse in <A, B, ....... |= p> ist falsch" und "die Prämissen (also mindestens zwei) in <A, B, ....... |= p> sind widersprüchlich".
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Zombiephilosoph
Gast
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| Zombiephilosoph Verfasst am: 26. Apr 2024 10:32 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Zombiephilosoph hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Kannst du "Es kann aber nicht jede beliebige Aussage folgen, es sei denn die Prämisse ist nicht nur falsch, sondern sogar widersprüchlich" erklären? |
Wenn aus den Prämissen A, B, ....... jede beliebige Aussage folgt, dann folgen auch die beiden Aussagen p und ~p. Also sind A, B, ...... widersprüchlich. Wenn sie nicht widersprüchlich sind, kann also mindestens eine Aussage nicht folgen.
Die Umkehrung gilt auch, denn in keiner Zeile der Wahrheitstabelle sind alle Prämissen wahr, damit ist A, B, ....... |= p für jede Aussage p immer erfüllt. |
Danke, aber das meinte ich nicht. |
Hast Du nicht gerade gefragt was ich meinte? Das meinte ich.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Was ist denn der Unterschied zwischen "mindestens eine Prämisse in <A, B, ....... |= p> ist falsch" und "die Prämissen (also mindestens zwei) in <A, B, ....... |= p> sind widersprüchlich". |
Widersprüchlich bedeutet nicht erfüllbar. Also in keiner Zeile der Wahrheitstabelle sind alle Aussagen wahr. Eine falsche Aussage kann aber trotzdem zusammen mit allen anderen Prämissen erfüllbar sein. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 26. Apr 2024 10:58 Titel: |
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Dann verstehe ich wirklich nicht, was du meinst. Kannst du zu den beiden Fällen "falsch" und "widersprüchlich" jeweils ein Beispiel nennen?
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Zombiephilosoph
Gast
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| Zombiephilosoph Verfasst am: 26. Apr 2024 11:03 Titel: |
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Falsch aber erfüllbar (nicht widersprüchlich): "Der Himmel ist grün und das Gras ist grün." Daraus folgen zwar falsche, aber nicht jede beliebige Aussage.
Widersprüchlich, unerfüllbar: "Das Gras ist grün und das Gras ist nicht grün". Daraus folgt jede Aussage. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 26. Apr 2024 11:29 Titel: |
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Ok.
Und was meinst du dann mit "Eine falsche Aussage kann aber trotzdem zusammen mit allen anderen Prämissen erfüllbar sein."
Die Aussage A = "Der Himmel ist grün" ist falsch. Schaut man nur die Wahrheitstabelle an, so könnte man A natürlich den Wahrheitswert "wahr" zuweisen, ohne auf die Bedeutung der Aussage zu schauen; mit dieser Belegung wäre eine Voraussetzung, die A enthält, tatsächlich erfüllt.
Genau das funktioniert bei einer Voraussetzung (A, B) mit B=~A nicht. |
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Zombiephilosoph
Gast
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| Zombiephilosoph Verfasst am: 26. Apr 2024 11:41 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Und was meinst du dann mit "Eine falsche Aussage kann aber trotzdem zusammen mit allen anderen Prämissen erfüllbar sein." |
Ich meine, dass es eine andere Belegung gibt (andere Zeile in der Wahrheitstabelle), in der die falsche Aussage wahr wird und alle anderen Prämissen auch wahr sind. Bei widersprüchlichen Voraussetzungen gibt es genau so eine Belegung nicht. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 26. Apr 2024 12:29 Titel: |
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Ich bin mir immer noch nicht sicher, ob ich dich verstehen
In einer Wahrheitstabelle bzw. in einer Belegung kann eine Prämisse A wahr sein. Aber die spezifische Aussage "Der Himmel ist grün" ist einfach falsch. Sobald ich also in der Wahrheitstabelle und dem Schluss A mit "Der Himmel ist grün" assoziiere, kommt für diesen Fall des Himmels möglicherweise Quatsch heraus, obwohl ich eine aussagenlogisch korrekte Schlussform anwende.
Mich interessiert immer noch, mein obiges Beispiel "x • y = 0" und die Schlussfolgerung "x = 0 oder y = 0", wozu du meintest
| Zitat: | | Es gibt keine [Aussagenlogisch oder Prädikatenlogisch] gültigen Schlüsse, die nur aufgrund spezieller Wahrheitsbelegungen gültig sind ... Was Du da hinschreibst ist keine logische Folgerung, weder Aussagenlogisch noch Prädikatenlogisch. |
Stattgegeben.
Aber die Schlussfolgerung "aus x • y = 0 folgt, dass x = 0 oder y = 0" ist nun mal für natürliche Zahlen korrekt.
Es ging ursprünglich um
| Zitat: | | Wenn alle logischen Schlußformen Tautologien wären, dann könnten wir die Wahrheit immer berechnen. Das können wir aber nicht, wir müssen denken. |
Mich interessiert speziell das "Wenn alle logischen Schlußformen Tautologien wären". Ich wollte dazu ein Gegenbeispiel nennen, das einen korrekten (zutreffenden ... nennen es, wie du möchtest) Schluss darstellt, jedoch keinen aussagenlogisch gültigen Schluss.
Oder hast du aklternativ eine Beispiel für aussagenlogische Schlußformen, die keine Tautologien sind? |
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Zombiephilosoph
Gast
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| Zombiephilosoph Verfasst am: 26. Apr 2024 12:47 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Aber die Schlussfolgerung "aus x • y = 0 folgt, dass x = 0 oder y = 0" ist nun mal für natürliche Zahlen korrekt. |
"(x)(y) x*y = 0 -> (x = 0 oder y=0)" ist in den natürlichen Zahlen wahr. Es ist aber kein Schluss, weder ein korrekter noch inkorrekter. Du verwechselst wahre Aussagen innerhalb eines Modells mit korrekten Schlüssen. Ein Schluss ist korrekt wenn in jedem Modell wo die Prämissen wahr sind auch die Konklusion wahr ist. Deine anderen Zahlensysteme zeigen also gerade, dass dies kein Schluss ist.
| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Es ging ursprünglich um
| Zitat: | | Wenn alle logischen Schlußformen Tautologien wären, dann könnten wir die Wahrheit immer berechnen. Das können wir aber nicht, wir müssen denken. |
Mich interessiert speziell das "Wenn alle logischen Schlußformen Tautologien wären". Ich wollte dazu ein Gegenbeispiel nennen, das einen korrekten (zutreffenden ... nennen es, wie du möchtest) Schluss darstellt, jedoch keinen aussagenlogisch gültigen Schluss.
Oder hast du aklternativ eine Beispiel für aussagenlogische Schlußformen, die keine Tautologien sind? |
Das ist wie ihr philosophischen Leute sagt ein Kategorienfehler. Keine Schlussregel ist eine Tautologie. Ich habe das hier schon öfters erklärt und auch was der Zusammenhang zwischen Schlussregeln und Tautologien ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 26. Apr 2024 13:14 Titel: |
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| Zombiephilosoph hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Aber die Schlussfolgerung "aus x • y = 0 folgt, dass x = 0 oder y = 0" ist nun mal für natürliche Zahlen korrekt. |
"(x)(y) x*y = 0 -> (x = 0 oder y=0)" ist in den natürlichen Zahlen wahr. Es ist aber kein Schluss, weder ein korrekter noch inkorrekter. Du verwechselst wahre Aussagen innerhalb eines Modells mit korrekten Schlüssen. Ein Schluss ist korrekt wenn in jedem Modell wo die Prämissen wahr sind auch die Konklusion wahr ist. Deine anderen Zahlensysteme zeigen also gerade, dass dies kein Schluss ist. |
Ich verwechsle da gar nichts; deswegen versuche ich ja, das sprachlich zu trennen.
| Zombiephilosoph hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Es ging ursprünglich um
| Zitat: | | Wenn alle logischen Schlußformen Tautologien wären, dann könnten wir die Wahrheit immer berechnen. Das können wir aber nicht, wir müssen denken. |
Mich interessiert speziell das "Wenn alle logischen Schlußformen Tautologien wären". Ich wollte dazu ein Gegenbeispiel nennen, das einen korrekten (zutreffenden ... nennen es, wie du möchtest) Schluss darstellt, jedoch keinen aussagenlogisch gültigen Schluss.
Oder hast du aklternativ eine Beispiel für aussagenlogische Schlußformen, die keine Tautologien sind? |
Das ist wie ihr philosophischen Leute sagt ein Kategorienfehler. Keine Schlussregel ist eine Tautologie. Ich habe das hier schon öfters erklärt und auch was der Zusammenhang zwischen Schlussregeln und Tautologien ist. |
Dann sei so nett und zitiere dich selbst.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Zombiephilosoph
Gast
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| Zombiephilosoph Verfasst am: 26. Apr 2024 13:19 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Zombiephilosoph hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: |
Aber die Schlussfolgerung "aus x • y = 0 folgt, dass x = 0 oder y = 0" ist nun mal für natürliche Zahlen korrekt. |
"(x)(y) x*y = 0 -> (x = 0 oder y=0)" ist in den natürlichen Zahlen wahr. Es ist aber kein Schluss, weder ein korrekter noch inkorrekter. Du verwechselst wahre Aussagen innerhalb eines Modells mit korrekten Schlüssen. Ein Schluss ist korrekt wenn in jedem Modell wo die Prämissen wahr sind auch die Konklusion wahr ist. Deine anderen Zahlensysteme zeigen also gerade, dass dies kein Schluss ist. |
Ich verwechsle da gar nichts; deswegen versuche ich ja, das sprachlich zu trennen. |
Das ist schon gut getrennt, Du musst dafür keine neuen Begriffe einführen, besonders wenn die Gefahr besteht, dass man sie mit anderen Begriffen verwechselt. Was Du als Schluss bezeichnest, ist kein Schluss sondern vermutlich einfach eine Aussage. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 26. Apr 2024 15:20 Titel: |
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Wenn du darauf Wert legst, bitte.
Mich interessiert immer noch, mein obiges Beispiel "x • y = 0" und die damit in Zusammenhang stehende, für natürliche Zahlen x,y korrekte Aussage "dann ist x = 0 oder y = 0".
Es ging ursprünglich um
| Zitat: | | Wenn alle logischen Schlußformen Tautologien wären, dann könnten wir die Wahrheit immer berechnen. Das können wir aber nicht, wir müssen denken. |
Also erkläre doch bitte, oder zitiere dich selbst, in wie weit Schlussformen keine Tautologie sind; oder kommentiere gerne dieses Zitat in Summe. |
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Mister_X
Gast
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| Mister_X Verfasst am: 26. Apr 2024 17:44 Titel: |
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So, erstmal vielen Dank für die Klärung. Dann lag ich ja gar nicht so verkehrt, ich hatte mich teilweise hier zu dämlich ausgedrückt.
Aber nochmal kurz zum Thema Wahrheit berechnen: was spricht dem denn entgegen, wenn die Prämissen wahr sind? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 26. Apr 2024 18:24 Titel: |
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In die Richtung zielen ja auch meine Fragen.
Dabei geht es mir nicht um die vollständige Berechnung bzw. Ableitung aller Wahrheiten (siehe Gödel), jedoch um die Berechnung bzw. Ableitung gewisser Wahrheiten.
Wie weiter oben gesagt, würden Intuitionisten als ein Kriterium der Wahrheit anerkennen, was logisch konsistent und konstruktiv bewiesen wurde (also nicht unter Anwendung des Satzes des ausgeschlossenen Dritten, nicht mittels Auswahlaxiom, sondern tatsächlich explizit).
Beispiel Primkörper mit endlich vielen Elementen
Damit kann man diverse Aussagen für alle Elemente explizit herleiten (zu Primelementen, Polynomen ...), unter Verwendung formaler logischer Schlüsse, und unter Verwendung von konkreten Berechnungen. Das wäre für mich eine "Berechnung von Wahrheiten".
Aber evtl. interpretiere ich das Zitat auch falsch. |
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Zombiephilosoph
Gast
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| Zombiephilosoph Verfasst am: 26. Apr 2024 18:31 Titel: |
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| Mister_X hat Folgendes geschrieben: |
Aber nochmal kurz zum Thema Wahrheit berechnen: was spricht dem denn entgegen, wenn die Prämissen wahr sind? |
Du kannst mit einem vollständigen Kalkül von Schlussregeln alle Folgerungen aus Deinen Axiomen von einem Computer aufzählen lassen. Das sind aber nicht unbedingt alle Wahrheiten, selbst wenn alle Axiome, die Du benutzt alle wahr sind. Die Arithmetik, also die wahren Aussagen über die natürlichen Zahlen kannst Du so bspw nicht aufzählen. |
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Mister_X
Gast
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| Mister_X Verfasst am: 27. Apr 2024 00:00 Titel: |
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Okay, und warum? Wegen der Unvollständigkeit nach Gödel? |
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hfghgffgh
Gast
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| hfghgffgh Verfasst am: 27. Apr 2024 00:25 Titel: |
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Mathematik ist doch eine Erfindung der Menschen, Logik ist etwas philsophisches. Was diskutiert ihr hier eigentlich? |
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Zombiephilosoph
Gast
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| Zombiephilosoph Verfasst am: 27. Apr 2024 09:42 Titel: |
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| Mister_X hat Folgendes geschrieben: | | Okay, und warum? Wegen der Unvollständigkeit nach Gödel? |
Ich würde nicht sagen *wegen* dem Unvollständigkeitssatz von Gödel. Es gibt zumindest mal Methoden zu zeigen, dass die Arithmetik nicht aufzählbar ist, die ohne Gödels Satz auskommen. Kleene zeigt bspw direkt, dass die Arithmetik unentscheidbar ist, also es gibt kein Programm, dass zu jedem Satz ausrechnet ob er wahr ist oder falsch. Daraus folgt dann auch gleich dass es nicht mal ein Programm gibt, dass alle wahren Sätze auflistet. Ansonsten würde man einfach warten bis entweder p oder ~p aufgelistet wird und dann hätte man auch entschieden ob p wahr ist.
Man kann auch benutzen, dass nichtmal die Menge der lösbaren Diophantischen Gleichungen entscheidbar ist (siehe MRDP-Theorem und Hilbert`s 10. Problem. Dazu steht auch ein bisschen was im Buch von Franzen). Die lösbaren Gleichungen sind nämlich mit Sicherheit aufzählbar. Wenn die unlösbaren es auch wären, wären die lösbaren aber wieder entscheidbar. Also sind nicht alle Sätze die behaupten, dass eine bestimmte Gleichung keine Lösung hat aufzählbar.
Wenn man das ein bisschen weiter verfolgt, kann man Gödels ersten Satz damit beweisen. Denn die Theoreme der Form "Die Diophantische Gl. D=0 hat keine Lösung" in einem formalen System S sind aufzählbar und müssen alle wahr sein, wenn S konsistent ist. Sie sind also eine echte Teilmenge der wahren Aussagen dieser Form. Wenn also S keine falschen Aussagen der Form "Die Diophantische Gl. D=0 ist lösbar" beweist, gibt es eine unentscheidbare Aussage der Form "Die Diophantische Gleichung D=0 hat keine Lösung." |
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Mister_X
Gast
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| Mister_X Verfasst am: 28. Apr 2024 10:46 Titel: |
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Vielen Dank, interessant! Da muss ich mich in einer ruhigen Stunde nochmal reinlesen, vielleicht besorge ich mir auch das von dir genannte Buch.
Eine noch ganz andere Frage mal an dieser Stelle: bei der Recherche nach den hier besprochenen Aussagenlogik Themen habe ich eine Bemerkung gelesen, die mich nachdenklich gemacht hat.
Dort wurde behauptet, die Zahl 1 sei eigentlich die einzige wirkliche Zahl in der Mathematik, alle anderen Zahlen könnte man mittels der 1 konstruieren.
Ist das wirklich so? Bei natürlichen Zahlen sicher; dort reicht es immer die 1 zu addieren.
Aber wie sieht das bei rationalen oder gar reellen Zahlen aus? Angenommen, ich hätte sämtliche Rechenoperationen wie Multiplikation, Division, Addition usw zur Verfügung. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 28. Apr 2024 11:08 Titel: |
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Aus der Eins konstruierst du alle natürlichen und ganzen Zahlen.
Aus den ganzen Zahlen konstruierst du rationale Zahlen mittels Brüchen.
Aus diesen wiederum konstruierst du reellen Zahlen als "Vervollständigung" der rationalen Zahlen. Grob gesprochen: Man betrachtet eine Folge rationaler Zahlen als Näherung an die Quadratwurzel von zwei, von der wir wissen, dass sie keine rationale Zahl sein kann. Zwar wird der Abstand benachbarter Folgenglieder immer kleiner und konvergiert gegen null – man spricht von einer sogenannten Cauchy-Folge – allerdings liegt damit kein Grenzwert innerhalb der rationalen Zahlen vor; diese sind als metrischer Raum nicht vollständig. Die reellen Zahlen erhält man – wiederum grob gesprochen – indem man zu den rationalen Zahlen die Grenzwerte aller Cauchy-Folgen zunimmt.
Alternative Konstruktionsmethoden sind die Intervallschachtelung und die Dedekindschen Schnitte.
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Intervallschachtelung
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Dedekindscher_Schnitt
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Mister_X
Gast
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| Mister_X Verfasst am: 28. Apr 2024 11:21 Titel: |
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Das klingt alles schlüssig. Dann ist die Eins ja so betrachtet wirklich die Mutter aller anderen Zahlen. Wenn man das so sagen kann:) |
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Quantumdot
Gast
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| Quantumdot Verfasst am: 28. Apr 2024 11:32 Titel: |
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| Mister_X hat Folgendes geschrieben: | | Das klingt alles schlüssig. Dann ist die Eins ja so betrachtet wirklich die Mutter aller anderen Zahlen. Wenn man das so sagen kann:) |
Also ich bevorzuge es mit der 0 zu beginnen und die 0 wird einfach als leere Menge definiert, wie bspw bei der von Neumann-Konstruktion üblich.
Die Zahl n entspricht der Menge, die alle Zahlen von 0 bis n-1 enthält. So kann man rekursiv alle natürlichen Zahlen definieren. Die ganzen Zahlen sind dann Tupel aus natürlichen Zahlen (mit einer gewissen Äquivalenzrelation) usw. |
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Zombiephilosoph
Gast
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| Zombiephilosoph Verfasst am: 28. Apr 2024 11:35 Titel: |
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| Mister_X hat Folgendes geschrieben: | | Das klingt alles schlüssig. Dann ist die Eins ja so betrachtet wirklich die Mutter aller anderen Zahlen. Wenn man das so sagen kann:) |
Wenn schon, dann die Null. Jede andere natürliche Zahl ist Nachfolger der Null oder Nachfolger des Nachfolgers der Null usw. Dass 1 oder 0 die "einzig wirkliche Zahl" ist, ist keine mathematisch oder logisch fundierte Aussage. Sie fallen eher in die Kategorie von "Meine Lieblingszahl ist 7." Denk` über sowas nicht zu lange nach. Da gibt es wichtigeres mMn bei dem ganzen Themenkomplex. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 28. Apr 2024 11:42 Titel: |
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| Quantumdot hat Folgendes geschrieben: | .. und die 0 wird einfach als leere Menge definiert, wie bspw bei der von Neumann-Konstruktion üblich.
Die Zahl n entspricht der Menge, die alle Zahlen von 0 bis n-1 enthält. So kann man rekursiv alle natürlichen Zahlen definieren. Die ganzen Zahlen sind dann Tupel aus natürlichen Zahlen (mit einer gewissen Äquivalenzrelation) usw. |
Ja, klar, danke.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18144
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| TomS Verfasst am: 28. Apr 2024 11:47 Titel: |
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Bzgl. der Konstruktion ist es wichtig, zu verstehen, welche Idee dahinter steckt.
In meinen Beispiel ist es die Idee eines vollständigen metrischen Raumes, so dass alle Cauchy-Folgen in diesem Raum konvergieren.
Bei den komplexen Zahlen ist es die Idee, dass die Lösungsmengen algebraischer Gleichungen sozusagen immer maximal sind; also jede quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, jedes Polynom n-ten Grades hat n Nullstellen.
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