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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 477
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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 antaris Verfasst am: 29. Sep 2023 19:38 Titel: Die Invarianz des Linienelements |
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Das Linienelement ds hat in den RT's eine zentrale Bedeutung. Bisher hatte ich das so in dem Maße nicht erkannt aber eigentlich sind die ganzen Beschreibungen bezüglich flacher und gekrümmter Raumzeit und die dazugehörigen visuellen Anschauungen (z.B. Kugel auf Laken, Trichter usw.) eher hinderlich, um das Prinzip zu verstehen.
Ich habe einige Fragen dazu bzw. ich frage mich, ob ich das soweit richtig verstanden habe
Aber eins nach dem anderen.
Das Linienelement ist namensgebend für das "speziell und allgemein" der RT's?
In der SRT gilt die Betrachtung von ds ausschließlich zwischen Punkten mit infinitesimalen Abstand zueinander. Nur in dieser Sicht ist die SRT überhaupt erst gültig? Das Linienienelement ist in dieser Betrachtung immer der Abstand zwischen 2 Ereignisse ohne Betrachtung der Gravitation und mit unbeschleunigter Relativgeschwindigkeit zueinander oder in der ART die Tangente auf der Geodäte, die durch die zusammengeschobenen beiden Punkte der Sekante entsteht? Die Tangente entspricht der Steigung am Tangentialpunkt, an der die eigentlich gekrümmte Geodäte als flach erscheint?
Das allgemein bezieht sich wiederum auf Punkte, die einen nicht-infinitesimalen Abstand zueinander haben oder auf der Geodäte weiter als 2 Punkte voneinander entfernt sind? Die jeweilige Metrik (z.B. Schwarzschild) gibt in den Gleichungen die Bahnen auf den Geodäten vor? Die ART ist somit nur dann gültig, wenn ein Abstand größer 2 benachbarter Punkte in der Raumzeit betrachtet wird, wobei die SRT den speziellen Grenzfall zwischen diesen 2 benachbarten Punkte abdeckt?
Dreht sich der Lichtkegel, dessen Ursprung der Tangentialpunkt auf der Geodäte ist, entsprechend der vorgegbenen Krümmung der Metrik? Wird so aus vielen einzelnen linearen Kurven (Geraden) eine nicht-lineare Kurve (Geodäte)?
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DrIntelligent
Gast
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| DrIntelligent Verfasst am: 29. Sep 2023 20:46 Titel: |
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ja
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
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Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 01. Okt 2023 00:31 Titel: |
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| DrIntelligent hat Folgendes geschrieben: | | ja |
| antaris hat Folgendes geschrieben: | | Wird so aus vielen einzelnen linearen Kurven (Geraden) eine nicht-lineare Kurve (Geodäte)? |
Ok, wird die Geodäte nur dadurch differenzierbar, dass diese Abstände zwischen den benachbarten Punkten auf der Geodäte infintesimal klein sind, die Kurve also nirgendswo "Ecken" hat?
Bezüglich der SRT und dem Minkowski-Diagramm habe ich versucht Relativgeschwindigkeiten konstruktiv darzustellen, siehe Anhang. Stimmt das soweit, wie ich das gezeichnet habe? Ich habe nur die Zeitdilatation betrachtete. Die Hyperbel lässt sich ja Äquivalent auf die x-Achse anwenden und so die Längenkontraktion ermitteln.
Das Abstandsquadrat s^2 ist in dieser Betrachtung invariant und stellt die Grundlage für das differentielle Linienelement dar?
Hier ein Graph, in dem die Zeit- und Längenkontraktion durch die Schnittpunkte der beiden Geraden mit der jeweiligen Hyperbel. Am Regler v_rel kann die Relativgeschwindigkeit eingestellt werden.
https://www.desmos.com/calculator/evvx6ntjhf?lang=de
| Beschreibung: |
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DrIntelligent
Gast
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| DrIntelligent Verfasst am: 01. Okt 2023 03:41 Titel: |
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ja alles ist ja
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 477
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| antaris Verfasst am: 01. Okt 2023 21:53 Titel: |
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Das Abstandsquadrat s^2 wird aber erst in der vierdimensionalen Betrachtung, also mit den (3) Raumkoordinaten und der Zeitkoordinate invariant, so wie die Raumkoordinaten für sich allein (nur) in der klassischen Physik invariante Abstände haben? Räumliche und zeitliche Abstände im klassischen 3D Raum sind im 4D Raum immer Kontraktionen unterworfen?
Das Linienelement ds "erbt" die Invarianz aus dem Konzept des Abstandsquadrats (und somit alle daraus abgeleiteten Größen, die nur von ds abhängen)?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18080
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| TomS Verfasst am: 02. Okt 2023 18:26 Titel: |
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Am besten versteht man zunächst mal die Invarianz im 3-dim. flachen Raum:
unter Rotationen
Die Länge einer infinitesimalen Strecke ist invariant unter Rotationen dieser Strecke, d.h.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 477
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 02. Okt 2023 22:18 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Am besten versteht man zunächst mal die Invarianz im 3-dim. flachen Raum:
unter Rotationen
Die Länge einer infinitesimalen Strecke ist invariant unter Rotationen dieser Strecke, d.h.
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Ich bin leider noch nicht so vertraut mit den Schreibweisen aber bin da auch dabei das zu lernen.
Mir ist eigentlich klar was mit dem Summenzeichen gemeint ist, dennoch ist mir nicht ganz klar, wie die ungekürzte Schreibweise wäre.
Der Buchstabe i steht in dem Fall für die Potenzen 1 bis 3 aber warum dx^i *dx^i in der ersten Gleichung?
Könntest du das einmal ungekürzt schreiben?
In der Gleichung zur Rotation gibt es wieder hoch und tiefgestellte Indexe hat, was ich nun wieder gar nicht verstehe. Der Strich über dem x bedeutet "im Mittel"?
Letztendlich ist in der newtonschen Physik der Raum in allen Größenskalen flach. Das ist natürlich nicht richtig aber zur Veranschaulichung reicht es sich einen endlichen Abstand von 2 Objekte im "alltäglichen" flachen Raum vorzustellen? Es spielt keine Rolle aus welchen Winkel, wie verdreht oder aus welcher Entfernung der Abstand betrachtet wird, denn am Abstand dieser 2 Objekte ändert sich dadurch nichts?
In der obigen Zeichnung bzw. im Graph werden aber 2 Ereignisse betrachtet, die nur eine Relativgeschwindigkeit zueinander haben oder geht es dabei um einen "normierten" Abstand von 1, der sich entsprechend Lorentztrafo auf der Hyperbel verlängert?
Ich habe soweit verstanden, wie man die Steigung einer Kurve punktförmig ableitet und somit ein dx bestimmen kann (zumindest habe ich das in Übungsaufgaben hinbekommen). Ich verstehe aber noch nicht, wie man ein dx bestimmt, wenn zwei unabhängige Ereignisse betrachtet werden. Oder steht dx in deinen beiden Gleichungen rein symbolisch für einen infinitesimalen Abstand (egal welchen)?
Sorry für meine dümmlichen Fragen aber ich will es wirklich verstehen (vielleicht hilft das andere ja ebenso).
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Aruna_Gast
Gast
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| Aruna_Gast Verfasst am: 05. Okt 2023 08:02 Titel: |
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| antaris hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Am besten versteht man zunächst mal die Invarianz im 3-dim. flachen Raum:
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Ich bin leider noch nicht so vertraut mit den Schreibweisen aber bin da auch dabei das zu lernen.
Mir ist eigentlich klar was mit dem Summenzeichen gemeint ist, dennoch ist mir nicht ganz klar, wie die ungekürzte Schreibweise wäre.
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Der Ausdruck, der hinter dem Summenzeichen steht, wird mehrmals mit den möglichen Werten von i (also 1, 2, 3) hingeschrieben mit einem "+" dazwischen.
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 477
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 05. Okt 2023 19:38 Titel: |
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| Aruna_Gast hat Folgendes geschrieben: | | antaris hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | Am besten versteht man zunächst mal die Invarianz im 3-dim. flachen Raum:
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Ich bin leider noch nicht so vertraut mit den Schreibweisen aber bin da auch dabei das zu lernen.
Mir ist eigentlich klar was mit dem Summenzeichen gemeint ist, dennoch ist mir nicht ganz klar, wie die ungekürzte Schreibweise wäre.
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Der Ausdruck, der hinter dem Summenzeichen steht, wird mehrmals mit den möglichen Werten von i (also 1, 2, 3) hingeschrieben mit einem "+" dazwischen. |
Also ist i ein Index und hat nix mit potenzieren zu tun. Das ist in der ersten Formel also der infinitesimale Abstand ds der 3 Raumdimensionen, ohne die Zeitdimension.
Wenn man nun verstehen will, wie die Natur wirklich funktioniert bzw. warum sie funktionert und man sich von den absoluten Grundlagen von unten nach oben durcharbeitet um eine minimale Ontologie zu finden, dann muss man an dieser Stelle doch schon schwer ins grübeln kommen oder?
Schließlich gilt die Invarianz des Raumes (ohne die Zeit) ja nur auf den allerkleinsten Skalen oder eben in Näherung und bei v_rel << c mit der newtonschen Mechanik arbeiten, welche für "alltägliche Anwendungen" auch immer noch sehr gut funktioniert.
Es ist ja offensichtlich ein sehr interessanter Umstand, dass diese Betrachtung der Himmelsmechanik im Prinzip aber als überholt angesehen werden muss.
In den kleinsten Abstanden tritt an dessen Stelle die SRT, welche nur für Inertialsysteme, also nur für unbeschleunigte Bezugssysteme aber dafür nur an jedem infinitesimalen Abstand in der 4D-Raumzeit gilt. Für die Betrachtung aller Bezugssysteme, also unbeschleunigte (Inertialsysteme) und beschleunigte Bezugssysteme muss die ART herhalten.
Das Grundlegende Prinzip dahinter ist die Verallgemeinerung über das Linienelement. Das alles ist unglaublich genial. Ich war ja schon immer Einstein "Fan" aber das Prinzip dahinter verstanden zu haben macht es nochmal beeindruckender. Ich kann mir kaum vorstellen, dass diese Theorie falsch sein kann, da all die Gesetzmäßigkeiten der relativistischen Theorien so perfekt ineinander greifen und eine große zusammenhängende Theorie darstellen. Ich kann nun verstehen warum es so schwierig ist die RT's zu erweitern oder gar zu falsifizieren. Ich bin nun noch mehr von deren Richtigkeit überzeugt aber ich bin mir auch ziemlich sicher, dass das Ende der Fahnenstange noch nicht erreicht ist, die RT's also noch erweiterbar sind. Ich denke ebenso, dass die Ansätze für eine Änderung genau in den o.g. absoluten Grundlagen liegen. Was ist eigentlich vierdimensional? Wie kann man sich das vorstellen?
Als Veranschaulichung gibt Wikipedia ein wenig her und ich kann das auch halbwegs nachvollziehen wie z.B. aus einem Würfel ein Tesserakt wird.
| Zitat: | Dimension 4
Wiederum ist eine Richtung erforderlich, die nicht im Raum (aus Dimension 3) liegt. Dazu zeigen wir kugelförmig in alle Richtungen, die wir uns vorstellen können und schließen alle diese Richtungen aus. Zurück bleiben Richtungen, die wir uns mit unserem auf die Erfassung von drei Dimensionen ausgerichteten Verstand nicht (mehr) vorstellen können. Im einfachsten Fall steht diese senkrecht auf allen Richtungen, die wir uns vorstellen können. Erweitern wir den Raum in diese Richtung, haben wir einen 4-dimensionalen Hyperraum beschrieben. Hierfür wird die W-Achse eines Koordinatensystems eingeführt mit der Ausdehnung nach ana und kata, Begriffe geprägt von Charles Howard Hinton. |
https://de.wikipedia.org/wiki/4D
Dennoch leben wir ja wahrscheinlich nicht in einem Tesserakt und ich frage mich ob es uns vielleicht nicht nur unmöglich ist sich diese Vierdimensionalität in ihrer Gesamtheit vorzustellen, sondern ob es vielleicht auch unmöglich ist diese Gesamtheit messtechnisch zu erfassen und zu untersuchen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18080
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| TomS Verfasst am: 05. Okt 2023 19:48 Titel: |
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Es ist schwer, wenn du nie beim Thema bleibst.
Ich wollte auch nicht auf die allgemeine Invarianz eines 3-dim Linienelementes in der SRT hinaus.
Es ist ganz einfach: wenn du eine kurze räumliche Strecke im Raum rotierst, bleibt ihre Länge invariant. Das gilt auch in der SRT. Ok?
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antaris
Anmeldungsdatum: 12.12.2022
Beiträge: 477
Wohnort: In einem chaotischen Universum
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| antaris Verfasst am: 05. Okt 2023 23:24 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Es ist schwer, wenn du nie beim Thema bleibst. |
Ich bin sozusagen ziellos auf der Suche nach Antworten auf die Fragen in meinen Kopf und stelle selber fest, dass ich in den Themen vor und zurück springe und ich vielleicht besser eins nach dem anderen abhandeln und begreifen sollte. Das macht es für mich selbst auch nicht wirklich einfach.
Die Ganzen Thematiken hängen andererseits aber zumindest m.E. alle miteinander zusammen bzw. haben Überschneidungen.
Die Invarianz der Eigenlänge und der Eigenzeit war auch schon im Ontologie Thread Thema und im Grunde auch beim schwarzen Körper/SL Thread.
Du hattest ja auf die Wichtigkeit der Invarianten Größen hingewiesen und ich habe seit dem versucht das zu verstehen. Das ist mir noch lange nicht vollständig gelungen aber ich denke es ist für mich ein Fortschritt diese Grundlagen halbwegs verstanden zu haben.
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Ich wollte auch nicht auf die allgemeine Invarianz eines 3-dim Linienelementes in der SRT hinaus.
Es ist ganz einfach: wenn du eine kurze räumliche Strecke im Raum rotierst, bleibt ihre Länge invariant. Das gilt auch in der SRT. Ok? |
Ja da gibts nichts gegen einzuwenden. Bei der Ableitung der Steigung geht es aber darum, diese an den kürzesten Abständen auf der Kurve zu berechnen. Das ist der Grund warum sich dem unendlich kleinen Abstand angenähert wird. Nur dieser infinitesimale Abstand kann in der Theorie als flache Raumzeit angesehen werden, zumindest wenn man es ganz genau nimmt.
Im Minkowskidiagramm kann abgelesen werden, wie die Abstände von ct' und x' "zwischen den Ereignissen" genau so variieren, dass s^2 bzw. ds^2 genau 1 ergibt. In der einzelnen Betrachtung von t und x(, y, z) sind die Abstände also nicht invariant, denn sie dehnen sich oder kontrahieren messbar.
Die Invarianz bzw. die gesamte Betrachtung beruht auf die Abstände der Ereignisse in der Raumzeit, wobei an jeden Punkt eines einzelnen Ereignisses Invarianz herrscht. Die Raumzeit verändert sich nur im Bereich zwischen den Ereignissen, so müsste doch vermehrt über die Physik der "leeren Raumzeit", also über das Vakuum nachgedacht werden.
Diese Krümmungen der Abstände können zwar real z.B. durch rot- oder blauverschiebung des Lichts nachgewiesen werden aber hervorgerufen wird die Krümmung nicht-lokal, also am Ort an dem die Ursache die Krümmung des Lichts hervorruft und nicht dort wo die Messung der Krümmung stattfindet.
Eine lokale Vermessung der Raumzeit bzw. der infinitesimalen Abstände, egal an welchen Punkt auf einer gekrümmten Verbindung zweier Ereignisse, ergibt an jeden einzelnen dieser Punkte immer wieder ein und die selbe flache Minkowski Geometrie?
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