Invarianz Levi-Civita-Symbol

Thomas · Administrator Anmeldungsdatum: 20.02.2004 Beiträge: 701

Ich will zeigen, dass der Levi-Civita-Tensor

invariant unter Drehungen ist.

Meine Ansätze waren, dass man die Determinante einer 3x3 Matrix mit Hilfe des Levi-Civita-Tensors schreiben kann:

und dass die Determinante der Drehmatrix R 1 ist:

Jetzt weiß ich allerdings nicht, wie ich weiter vorgehen soll. Hat jemand einen Tipp für mich?

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Da würde ich am liebsten erst mal versuchen, den Weg über die Anschauung gehen:

Der Levi-Civita-Tensor ist ja darstellbar als das Spatprodukt dreier Einheitsvektoren, die senkrecht aufeinander stehen.

, vgl. z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita-Symbol

Wenn ich diese drei Einheitsvektoren mit Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand aufspannen kann, dann ist der Levi-Civita-Tensor 1, bei der linken Hand -1.

Dann sehe ich am unmittelbarsten, dass der Levi-Civita-Tensor bei Drehungen seinen Wert behält (denn ich kann ja meine Hand entsprechend mitdrehen).

Und ich sehe übrigens auch, dass er sein Vorzeichen bei einer Spiegelung an einer Ebene wechselt (zum Beispiel bei einer Spiegelung, die einen der drei Vektoren in sein negatives überführt, oder bei einer Spiegelung, die zwei der drei Vektoren miteinander vertauscht), weil ich danach die andere Hand nehmen muss, um seine drei Einheitsvektoren in der richtigen Reihenfolge "Daumen, Zeigefinger, Mittelfinger" darzustellen.

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

Dann fängt der Thomas jetzt an Hände zu malen um seinen Beweis darzulegen =P

Du hast natürlich recht, dass es anschaulich ist, aber das ist leider Gottes nicht das, was man als einen Beweis annehmen würde.

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich denke, Thomas wird diese Beweisidee verwenden, indem er eine Drehmatrix auf die drei Einheitsvektoren anwendet, die das Spatprodukt bilden und zeigt, dass das Spatprodukt der gedrehten Vektoren denselben Wert hat wie das Spatprodukt der drei Einheitsvektoren vor der Drehung.

Thomas · Administrator Anmeldungsdatum: 20.02.2004 Beiträge: 701

Danke, das werde ich mal versuchen. Thumbs up!

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

aaaah, klar, nicht weit genug gedacht, sry -.- Hammer

mit den Euler-Winkeln sollte das ja dann ganz einfach werden, oder?

Thomas · Administrator Anmeldungsdatum: 20.02.2004 Beiträge: 701

Hat mit den Eulerwinkeln super geklappt Thumbs up!