Frage zu krummlinigen orthogonalen Koordinatensystem

pfeifhns · Anmeldungsdatum: 24.12.2021 Beiträge: 6

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe die folgende Frage zu krummlinigen orthogonalen Koordinatensystemen und möchte dies am Beispiel für Zylinderkoordinaten in

tun:

warum sind Zylinderkoordinaten orthogonal?

Meine Ideen:
Ich gehe von dem Funktionssystem

aus.

Die Einheitsvektoren berechnen sich zu

Wenn ich davon das euklidische Skalarprodukt nehme, dann kommt da nicht 0 raus. Damit sind sie nicht orthogonal zueinander.

Wenn ich aber die Einheitsvektoren normiere, dann ergibt sich :

und die sind orthogonal, also deren Skalarprodukt ist 0.

Und dies ist der Punkt, den ich nicht verstehe:

unterscheidet sich doch nur in der Länge von

, ebenso

. Warum ist dann aber das Skalarprodukt von

und

dann nicht 0??