(Für mich) unerwarteter mathematischer Zusammenhang

Reinhard Y · Anmeldungsdatum: 04.02.2023 Beiträge: 1

Meine Frage:
Meine laienhafte Beschäftigung mit mathemat. Gegebenheiten ließ mich auf einen für mich überraschenden Zusammenhang stoßen, nämlich daß die Funktion:

ein Maximum ausgerechnet bei der Euler'schen Zahl "e" (=2,71...) hat.
Die nette Ableitung (implizit):

hat bei "e" eine Nullstelle.

Meine Ideen:
Kann man dafür eine ausreichend einfache Erklärung geben?

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Was für eine Erklärung erwartest du?

Die Funktion

ist Null, wenn der Zähler des Bruchs Null ist, also für ln(x) = 1 bzw. x = e.

Viele Grüße,
Nils

ReinhardY · Anmeldungsdatum: 09.02.2011 Beiträge: 34 Wohnort: Jülich

Das ist mir schon klar; so bin ich ja erst drauf gekommen.
Aber wie ist sozusagen die "philosophische" Erklärung für den Zusammenhang zwischen dieser einfachen Wurzelformel und der doch sehr speziellen Zahl e?
Lässt sich die Formel, die sonst zu e führt, eventuell in diese Wurzelform überführen?

Viele Grüße
Reinhard

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Der Zusammenhang zwischem dem Wurzelausdruck und der e-Funktion ergibt sich aus folgender Identität:

Offensichtlich ist dieser Ausdruck maximal, wenn

maximal ist. Und das ist der Fall für x = e.

Ich befürchte, mehr Philosphie steckt da nicht drin.

viele Grüße,
Nils

ReinhardY · Anmeldungsdatum: 09.02.2011 Beiträge: 34 Wohnort: Jülich

Ebenso interessant wie ernüchternd Haue / Kloppe / Schläge

Für einen Laien wie mich bleibt es dennoch irgendwie magisch.
Warum nicht

oder 42 (!) ?
Kennt wer eine Reihenentwicklung für

?

Viele Grüße
Reinhard

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

ReinhardY · Anmeldungsdatum: 09.02.2011 Beiträge: 34 Wohnort: Jülich

Ja, sehr hübsch!
In meinem "Netz: Formeln der Mathematik " finde ich keine andere, so elegante, auch weil nicht gebrochene Reihe.
Noch eine letzte Frage zum Thema:
wenn man den Reihenausdruck oben zugrunde legt, warum kann man die rechte Seite, also die Reihe nicht so differenzieren wie den doch gleichwertigen Wurzelausdruck?

Viele Grüße
Reinhard

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

ReinhardY · Anmeldungsdatum: 09.02.2011 Beiträge: 34 Wohnort: Jülich

Vielen Dank,
das liegt dann außerhalb meines Horizontes.

Viele Grüße
Reinhard

Qubit · Anmeldungsdatum: 17.10.2019 Beiträge: 829

Als Ergänzung zu Nils..

Verständlich kann man es vielleicht dadurch machen, indem man allgemeiner die zugehörige Differentialgleichung betrachtet.

Hier:

Allgemeine Differentialgleichung dazu:

Allgemeine Lösung dazu:

Betrachten wir nun den Fall (wie hier) c=f(1)=1, dann gilt:

Das Maximum von f(x) ist also dort, wo log(f(x)) sein Maximum hat, hier gilt:

Damit also f(e) ein Maximum ist, muss auch log(f(e)) ein Maximum sein.
Und das ist tatsächlich für x=e gegeben, log(f(e))=1/e ist der Maximalwert.

ReinhardY · Anmeldungsdatum: 09.02.2011 Beiträge: 34 Wohnort: Jülich

Hallo Qubit,

das sind Formulierungen, die mir wohl damals in der Oberprima (1970) "dadurch" gegangen sein müssen.Trotzdem danke für den Versuch einer Erhellung.

Schönen Wochenstart Rock

Reinhard