Lorentztransformationen zwischen drei Systemen

Mispel · Anmeldungsdatum: 20.09.2021 Beiträge: 17

Meine Frage:
Ein Raumschiff fliegt mit

= c/3 im Bezugssystem unserer Galaxie S auf einen im galaktischen Bezugssystem S stillstehenden Kometen zu. Die Besatzung misst den Abstand d' = 1 Lichttag. Dann schießen sie eine Hochgeschwindigkeitsharpune (

) mit v' = c/2 ab.

a) Beim Messen des Abstandes b' schickt die Besatzung einen Laserpuls zum Kometen und misst die Verzögerung mit der der reflektierte Strahl gemessen wird. Welche Geschwindigkeit hat der Laserpuls auf dem Hinweg?
b) Wie ist der Abstand d' im galaktischen Bezugssystem (S)?
c) Wie schnell erscheint die Harpune im Bezugssystem des Kometen?
d) Nun soll in der Harpune ein Zeitzünder für den Einschlag programmiert werden, auf wie lange muss die Besatzung z' einstellen?

Meine Ideen:
a) Ein Laserpuls im perfekten Vakuum sollte die Geschwindigkeit c haben.
b) Ich hätte dafür einfach die Formel für Längenkontraktion genommen und

gerechnet.

c) Hier bin ich etwas durcheinandergekommen: Ich denke, man soll nun die Geschwindigkeit v', die der Komet laut der Besatzung im Bezugssystem S' hat, ins Bezugssystem S transformieren. In meiner Vorlesung hatten wir die Formel

für den Fall, dass sich zu t=0 S und S' an einem Ort aufhielten und sich S' relativ zu S mit

bewegt, wobei ich diese nun irgendwie nach v umstellen müsste, was mir nicht gelingt.

Ansonsten könnte man doch noch über

an das Ergebnis kommen: Ich habe also die Lorentztransformation für

mit x = d nach t umgestellt

und das dann in

eingesetzt.

Also sollte mein

sein, was zumindest von den Einheiten her passen sollte...

Für d) hätte ich nun v' = d'/t' nach t' = z' umgestellt, wobei dann

herauskommt. Irgendwie erscheint mir das aber zu einfach und wahrscheinlich müsste man hierbei noch die Relativbewegung vom Kometen zum Schiff berücksichtigen, ich wüsste gerade aber nicht wirklich, wie man das anstellen soll.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

a) und b) sollten richtig sein.

Zu c): Ja, mit der relativistischen Addition der Geschwindigkeiten wie hier angegeben. So, wie ich den Aufgabentext verstehe, zeigen vs und v' in die gleiche Richtung und haben das gleiche Vorzeichen, somit sollte v>c/2 sein.

Zu d): Für einen Beobachter im Raumschiff beträgt der Abstand zum Kometen beim Abschuss der Harpune d'=1 Lichttag. Die Harpune benötigt für diesen Beobachter also t'=2d bis zum Kometen.
Eine Uhr in der Harpune misst eine kürzere Dauer, denn für den Beobachter im Rauschiff tritt eine Zeitdilatation auf.

Mispel · Anmeldungsdatum: 20.09.2021 Beiträge: 17

Danke dir für die Antwort!
Mit der Formel kriege ich für

, was nun auch größer als c/2 ist. Die Rechnung ergibt so auch Sinn, aber warum geht der Weg über die Lorentztransformationen nicht? Immerhin wäre man doch mit v = d/t nur in einem Bezugssystem und das t wurde über die Transformation, also relativistisch gerechnet, bestimmt. Müsste nicht beides zum selben Wert führen?

Rechne ich mit dieser Geschwindigkeit weiter, bekomme ich über t' = d'/v' dann nur noch 120960s raus, was nicht mehr wie die Rechnung vorher 2d, sondern nurnoch 1,4d wären.

Wenn ich das richtig verstanden habe, müsste man jetzt noch berücksichtigen, dass die Harpune die Zeiten durch die Relativbewegung vom Schiff (S') und Harpune(S'') auch anders wahrnimmt. Hier müsste man also die Formel für Zeitdilatation benutzen. Da für die Harpune beide Ereignisse (Vom Schiff starten und im Kometen landen) an einem Ort stattfinden, wäre t'' die Eigenzeit und

. Für die Geschwindigkeit hätte ich nun v' = c/2 gewählt, da sich die Harpune mit dieser Geschwindigkeit vom Schiff aus gesehen und das Schiff sich mit dieser Geschwindigkeit von der Harpune aus gesehen wegbewegt.
Mache ich die ganze Rechnung nun mit den Werten, kriege ich:

, was auch wie erwartet kürzer wäre.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870