Störpotential - Lenz'scher Vektor

navix · Anmeldungsdatum: 21.10.2021 Beiträge: 63

Meine Frage:
Betrachten Sie das Keplerproblem

Eine Erhaltungsgröße ist der Lenz'sche Vektor

Die Gravitationskraft sei durch eine zusätzliche Zentralkraft gestört:

wobei

gelte.

Der Lenz'sche Vektor wird dadurch zeitabhängig.
Bestimmen Sie

und diskutieren Sie qualitativ den Effekt der Störung auf die Bewegung

Meine Ideen:
Mir ist nicht wirklich klar, wie ich das Störpotential in den Ausdruck für den Lenz'schen Vektor integrieren kann, wenn er doch oben nur mit dem Gravitationspotential definiert wurde.

Wie kann man das interpretieren? Gibt es eine allgemeinere Definition?

jmd · Anmeldungsdatum: 28.10.2012 Beiträge: 577

jmd · Anmeldungsdatum: 28.10.2012 Beiträge: 577

Mittlerweile glaube ich,dass das rauskommt

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18058

In der kanonischen Mechanik mit nicht explizit zeitabhängiger Hamiltonfunktion H gilt für eine nicht explizit zeitabhängige, ansonsten beliebige Größe A

Nun ist für die ungestörte Hamiltonfunktion und den Lenz-Runge-Vektor A

d.h. unter Einfluss der Störung h gilt

A besteht aus zwei Termen

wobei der zweite Term rein r-abhängig ist und daher mit der ebenfalls rein r-abhängigen Störung h

folgt.

Es bleibt also

Für die Poisson-Klammern gilt

Da die Störgröße rotationssymmetrisch ist, gilt

und es bleibt

mit

also

und somit für den Lenz-Runge-Vektor A

Die Funktion g(r) folgt aus h(r) bzw. dem gegebenen f(r), L ist weiterhin erhalten.

(kurze Skizze am Handy, ohne Gewähr; ist so m.E. am kürzesten, da man viele lästige Terme vermeidet)