Kräftefreier asymmetrischer Kreisel

philis · Gast

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass für den kräftefreien asymmetrischen Kreisel mit Hauptträgheitsmomenten I1 <I2 < I3 die Rotation um die Hauptachse des kleinsten und des größten Trägheitsmoments stabil ist,
die Rotation um die Achse des mittleren Trägheitsmoments jedoch instabil ist.
Wie sieht die Stabilitätsbetrachtung für einen symmetrischen Kreisel, I1 = I2 =/ I3, aus?

Meine Ideen:
zur Zeit t = 0 die Rotationsachse w ein wenig von der Hauptträgheitsachse j abweicht, d.h. |w_k (t = 0)=w_j(t = 0)| ? 1 für
k =/ j. Die j-Achse ist genau dann eine stabile Drehachse, wenn die Abweichung von w von der j-Achse im Laufe der Zeit klein bleibt, wenn also zur Zeit t noch gilt |w_k (t)=w_(t)| ? 1 für k =/ j.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5878

Du kannst von den Eulerschen Gleichungen ausgehen. Annahme: der Kreisel drehe sich um die 3. Hauptachse und es komme zu einer kleinen Auslenkung der Drehachse. Leite die 1. Eulersche Gleichung nach der Zeit ab und setze die 2. Eulersche Gleichung ein. Es ergibt sich eine einfache Differentialgleichung. Je nach Grössenverhältnissen der Hauptträgheitsmomente nimmt

exponentiell zu oder schwingt harmonisch (d.h., die Abweichung der Drehachse bleibt beschränkt). Im Fall

wird es bei einer Drehung um die Hauptachsen 1 der 2 und dann folgender kleiner Auslenkung der Drehachse komplizierter, das müsste ich nochmals genauer anschauen (der rücktreibende Term in der Differentialgleichung wird dann gleich null).