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Rotation um die z-Achse, Noether
 
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Julia123456



Anmeldungsdatum: 30.11.2021
Beiträge: 1

Beitrag Julia123456 Verfasst am: 30. Nov 2021 21:54    Titel: Rotation um die z-Achse, Noether Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hey, ich möchte zunächst eine Transformationsvorschrift für die Rotation um die z-Achse aufstellen.
Unzwar habe ich da folgende Wahl getroffen:

ri->ri`=Rz*ri
cos(a)*x-sin(a)*y
Rz soll hier die Rotationsmatrix darstellen. Ich komme dann auf: sin(a)*x+cos(a)*y
z

Im nächsten Schritt soll ich zeigen, dass die Lagrange Funktion Invariant gegenüber einer Drehung um die z-Achse ist.
Mit L=T- V
und T=1/2*m*(x`^2+y`^2+z`^2)-V(x^2+y^2,z).



Meine Ideen:
Mein Problem sind nun die Ableitungen der einzelnen Komponenten meines ri`. Das ` soll hierbei für die zeitliche Ableitung stehen.
Ich gehe davon aus, dass sowohl x, y als auch z zeitunabhängig sind, da sie ja die ursprünglichen Koordinatenachsen darstellen. Erhalte ich folglich die nachfolgende Ableitung:

-x*sin(a)-y*cos(a)
x*cos(a)-y*sin(a)
z`

Setze ich dies in die Lagrangefunktion ein erhalte ich jedoch:

L=m/2( x^2+y^2+z´^2)-V(x^2+y^2,z)

Ich vermute hier einen Fehler bei der Ableitung von ri`. Oder reicht es zu sagen, dass alle Winkel rausfallen und die Lagrangefunktion deshalb Invariant unter der Drehung ist? Vielen Dank für jede Hilfe!
gast_free



Anmeldungsdatum: 15.07.2021
Beiträge: 115

Beitrag gast_free Verfasst am: 01. Dez 2021 14:42    Titel: Antworten mit Zitat

Rotation um die z-Achse:

Koordinatensystem


Koordinatensystem


Drehtransformation:












Lagrangefunktion in bei V=0:



Lagrangefunktion in bei V=0:



Koordinatentransformation:



Somit:
Julia1345
Gast





Beitrag Julia1345 Verfasst am: 01. Dez 2021 18:07    Titel: Antworten mit Zitat

Hey, danke für deine Antwort, ich frage mich jedoch noch wie genau du von dem aufgestellten R‘(a) auf dein R‘(a)=cos(a)*cos(da)-sin(a)*sin(da) kommst. Also wo kommt der Sinus auf einmal her?
gast_free



Anmeldungsdatum: 15.07.2021
Beiträge: 115

Beitrag gast_free Verfasst am: 01. Dez 2021 20:16    Titel: Antworten mit Zitat

Julia1345 hat Folgendes geschrieben:
Hey, danke für deine Antwort, ich frage mich jedoch noch wie genau du von dem aufgestellten R‘(a) auf dein R‘(a)=cos(a)*cos(da)-sin(a)*sin(da) kommst. Also wo kommt der Sinus auf einmal her?


Additionstheorem aus der Trigonometrie:


Herleitung und Beweis:






Die beiden bekanntesten Additionstheoreme:

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