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Schiefer Wurf auf schiefe Ebene
 
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vtxt1103



Anmeldungsdatum: 14.11.2021
Beiträge: 302

Beitrag vtxt1103 Verfasst am: 23. Nov 2021 21:18    Titel: Schiefer Wurf auf schiefe Ebene Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo Liebe Community, ich bräuchte hilfe bei folgender Aufgabe ich bedanke mich schonmal im Voraus

Die Aufgabe : Ein Massenpunkt wird vom Fuß einer
schiefen Ebene mit Neigungswinkel α
auf eben diese geworfen (siehe Skizze im anhang).

Wie muss der Wurfwinkel θ relativ zur
schiefen Ebene gewählt werden, damit
die Flugweite des Massenpunktes auf
der schiefen Ebene maximal wird? Die
Anfangsgeschwindigkeit ist V0.

Ich bedanke mich schonmal für eure antworten smile






Meine Ideen:
Meine Ideen:
Uns wurde ein Hinweis gegeben, mit dem ich allerdings nichts anfangen kann,


Hinweis: Berechne zunächst die Flugzeit tf . Hierbei ist die Relation
sin(θ1 - θ2) = sin(θ1) cos(θ2) - cos(θ1) sin(θ2) nützlich. Bestimme danach die ¨
Flugweite und maximiere diese. Benutze dazu die Relation 2 cos(θ1) sin(θ2)
= sin(θ1 + θ2) - sin(θ1 - θ2)



schiefe ebene wurf.PNG
 Beschreibung:
 Dateigröße:  6.52 KB
 Angeschaut:  2521 mal

schiefe ebene wurf.PNG


Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 24. Nov 2021 08:43    Titel: Antworten mit Zitat

Eigentlich würde es kürzer gehen, wenn man ohne den Weg über die Flugzeit von der Wurfparabel ausginge und dort setzen würde.

Aber gut, mit dem Hinweis. Setze in die Gleichung für y(t)



ein. Nun solltest Du (nach Multiplikation der Gleichung mit ) sehen, wie Du den 1. Hinweis zu den trigonometrischen Beziehungen verwenden kannst.

Dann die Gleichung für x(t) aufstellen und die Flugzeit einsetzen. Jetzt kann die 2. trigonometrische Beziehung verwendet werden. Die Flugweite zu maximieren ist gleichbedeutend damit, die x-Koordinate beim Auftreffen auf die schiefe Ebene, also x(Flugzeit), zu maximieren.

Der Weg über die Flugzeit hat den Vorteil, dass einfacher nach dem gesuchten Winkel aufgelöst werden kann und Schwierigkeiten aufgrund der Periodizität des Tangens nicht auftreten.
gast_free



Anmeldungsdatum: 15.07.2021
Beiträge: 195

Beitrag gast_free Verfasst am: 24. Nov 2021 10:58    Titel: Antworten mit Zitat

G E L O E S C H T -- W E G E N -- S C H W A C H S I N N !

Zuletzt bearbeitet von gast_free am 24. Nov 2021 14:06, insgesamt einmal bearbeitet
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 24. Nov 2021 11:28    Titel: Antworten mit Zitat

gast_free hat Folgendes geschrieben:


usw.

Ich bezweifle nicht, dass Du die Aufgabe lösen kannst. Aber weshalb lässt Du den Fragesteller es nicht einmal selbst versuchen?
Irgendwo hast Du Dich wahrscheinlich auch verrechnet, denn es ergibt sich eine schöne, einfache Lösung. Die letzte Gleichung kann nicht richtig sein (für den einfachen Fall alpha=0 müsste sich bekanntermassen theta=45° ergeben).
vtxt1103



Anmeldungsdatum: 14.11.2021
Beiträge: 302

Beitrag vtxt1103 Verfasst am: 24. Nov 2021 13:35    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:
Eigentlich würde es kürzer gehen, wenn man ohne den Weg über die Flugzeit von der Wurfparabel ausginge und dort setzen würde.

Aber gut, mit dem Hinweis. Setze in die Gleichung für y(t)



ein. Nun solltest Du (nach Multiplikation der Gleichung mit ) sehen, wie Du den 1. Hinweis zu den trigonometrischen Beziehungen verwenden kannst.

Dann die Gleichung für x(t) aufstellen und die Flugzeit einsetzen. Jetzt kann die 2. trigonometrische Beziehung verwendet werden. Die Flugweite zu maximieren ist gleichbedeutend damit, die x-Koordinate beim Auftreffen auf die schiefe Ebene, also x(Flugzeit), zu maximieren.

Der Weg über die Flugzeit hat den Vorteil, dass einfacher nach dem gesuchten Winkel aufgelöst werden kann und Schwierigkeiten aufgrund der Periodizität des Tangens nicht auftreten.


Sorry, ich bekomme es gerade überhaupt nicht hin, bin wahrscheinlich nur zu unfähig dafür.
Ich komme überhaupt nicht weiter nach dem einsetzten in (yt)
Kannst du mir vielleicht einmal Zeigen wie du es machen würdest? Dann kann ich es vielleicht besser verstehen. Falls dann zu enigen Schritten fragen sind, würde ich wieder auf dich zurück kommen
gast_free



Anmeldungsdatum: 15.07.2021
Beiträge: 195

Beitrag gast_free Verfasst am: 24. Nov 2021 14:04    Titel: Antworten mit Zitat

Du hast Recht. Dein Prüfargument ist absolut überzeugend. Da ich im Augenblick leider keine Zeit habe den Fehler zu finden nehme ich meinen Unsinn hier raus. Vielen Dank.
Mathefix



Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5860
Wohnort: jwd

Beitrag Mathefix Verfasst am: 24. Nov 2021 15:07    Titel: Antworten mit Zitat

Folgende Überlegung:

Die Masse wird, bezogen auf die x_Achse, mit dem Winkel gamma = alpha+Theta geworfen. y_p(x) = ...
Die schiefe Ebene hat die Geradengleichung y_g (x)= tan(alpha) * x

Durch Gleichsetzen erhält man den Abstand x_T des Auftreffpunkts auf der schiefen Ebene. Dieser ist zu maximieren.






















Falls ich mich nicht verrechnet habe.
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 24. Nov 2021 20:56    Titel: Antworten mit Zitat

@gast_free: Ich meinte nicht, dass die Rechnung Unsinn gewesen sei, und vor allem meine ich es nicht böse, wenn ich etwas rummeckere - wie immer, auch wenn es vielleicht mal so aussieht.

@vtxt1103: Du kannst Dir die Rechnung von Mathefix anschauen. Oder wenn Du die Hinweise zur Aufgabe befolgen und zuerst die Flugdauer bestimmen möchtest:
Für die Flugparabel gelten die Gleichungen




Für die schiefe Ebene gilt



Nun die 1. Gleichung in die 3. Gleichung einsetzen und das wiederum in die 2. Gleichung. Dann erhält man nach etwas Umformen



Jetzt die Gleichung mit multiplizieren und die 1. angegebene trigonometrische Beziehung verwenden. Für die Flugdauer sollte sich ergeben



Das wiederum in die Gleichung für x(t) einsetzen und die 2. trigonometrische Beziehung verwenden. Der gesuchte Winkel ist gleich der Nullstelle von .
Qubit



Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 824

Beitrag Qubit Verfasst am: 25. Nov 2021 02:05    Titel: Antworten mit Zitat

Mathefix hat Folgendes geschrieben:



Falls ich mich nicht verrechnet habe.


Die Formel liefert negative Winkel. Da ist wohl etwas mit der Umkehrfunktion schief gelaufen bei Beachtung der Hauptwerte.
Sollte sein:



Qubit



Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 824

Beitrag Qubit Verfasst am: 25. Nov 2021 03:25    Titel: Antworten mit Zitat

Mal ein alternativer Ansatz. Ich starte mit Newton:



Jetzt kann man in das Koordinatensystem der schiefen Ebene transformieren, indem man die Kraft um dreht:



Da die Kraft konservativ ist, ist die Bedingung für Erreichen der Ebene:





Aus bekommt man die Wegkomponente (nach Integration):



und setzt T für die Wurfweite ein:



Für den extremalen Winkel die Ableitung nach :





((
Die Koordinaten im ursprünglichen System bekommt man wiederum durch eine Drehung der Basis:


))
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5836

Beitrag Myon Verfasst am: 25. Nov 2021 08:24    Titel: Antworten mit Zitat

Zum Problem mit dem arctangens: Man muss die Mehrdeutigkeit berücksichtigen. Wegen tan(x)=tan(x+pi)

ist für jedes ganzzahlige n



eine Lösung. Hier muss n so gewählt werden, dass im Intervall liegt.

Man kann noch verwenden, dass wegen



gilt



und erhält das Ergebnis in schönerer Form

.

Löst man die Aufgabe unter Verwendung der Hinweise, treten die Probleme mit dem Tangens nicht auf, man erhält die Gleichung .
Qubit



Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 824

Beitrag Qubit Verfasst am: 25. Nov 2021 13:34    Titel: Antworten mit Zitat

Myon hat Folgendes geschrieben:

und erhält das Ergebnis in schönerer Form

.


Danke, Myon, für den Hinweis. Es lohnt sich immer zu schauen, wie man noch mit Additionstheoremen vereinfachen kann smile





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