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vtxt1103
Anmeldungsdatum: 14.11.2021 Beiträge: 302
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5836
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Myon Verfasst am: 24. Nov 2021 08:43 Titel: |
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Eigentlich würde es kürzer gehen, wenn man ohne den Weg über die Flugzeit von der Wurfparabel ausginge und dort setzen würde.
Aber gut, mit dem Hinweis. Setze in die Gleichung für y(t)
ein. Nun solltest Du (nach Multiplikation der Gleichung mit ) sehen, wie Du den 1. Hinweis zu den trigonometrischen Beziehungen verwenden kannst.
Dann die Gleichung für x(t) aufstellen und die Flugzeit einsetzen. Jetzt kann die 2. trigonometrische Beziehung verwendet werden. Die Flugweite zu maximieren ist gleichbedeutend damit, die x-Koordinate beim Auftreffen auf die schiefe Ebene, also x(Flugzeit), zu maximieren.
Der Weg über die Flugzeit hat den Vorteil, dass einfacher nach dem gesuchten Winkel aufgelöst werden kann und Schwierigkeiten aufgrund der Periodizität des Tangens nicht auftreten.
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gast_free
Anmeldungsdatum: 15.07.2021 Beiträge: 195
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gast_free Verfasst am: 24. Nov 2021 10:58 Titel: |
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G E L O E S C H T -- W E G E N -- S C H W A C H S I N N !
Zuletzt bearbeitet von gast_free am 24. Nov 2021 14:06, insgesamt einmal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5836
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Myon Verfasst am: 24. Nov 2021 11:28 Titel: |
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gast_free hat Folgendes geschrieben: |
usw. |
Ich bezweifle nicht, dass Du die Aufgabe lösen kannst. Aber weshalb lässt Du den Fragesteller es nicht einmal selbst versuchen?
Irgendwo hast Du Dich wahrscheinlich auch verrechnet, denn es ergibt sich eine schöne, einfache Lösung. Die letzte Gleichung kann nicht richtig sein (für den einfachen Fall alpha=0 müsste sich bekanntermassen theta=45° ergeben).
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vtxt1103
Anmeldungsdatum: 14.11.2021 Beiträge: 302
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vtxt1103 Verfasst am: 24. Nov 2021 13:35 Titel: |
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Myon hat Folgendes geschrieben: | Eigentlich würde es kürzer gehen, wenn man ohne den Weg über die Flugzeit von der Wurfparabel ausginge und dort setzen würde.
Aber gut, mit dem Hinweis. Setze in die Gleichung für y(t)
ein. Nun solltest Du (nach Multiplikation der Gleichung mit ) sehen, wie Du den 1. Hinweis zu den trigonometrischen Beziehungen verwenden kannst.
Dann die Gleichung für x(t) aufstellen und die Flugzeit einsetzen. Jetzt kann die 2. trigonometrische Beziehung verwendet werden. Die Flugweite zu maximieren ist gleichbedeutend damit, die x-Koordinate beim Auftreffen auf die schiefe Ebene, also x(Flugzeit), zu maximieren.
Der Weg über die Flugzeit hat den Vorteil, dass einfacher nach dem gesuchten Winkel aufgelöst werden kann und Schwierigkeiten aufgrund der Periodizität des Tangens nicht auftreten. |
Sorry, ich bekomme es gerade überhaupt nicht hin, bin wahrscheinlich nur zu unfähig dafür.
Ich komme überhaupt nicht weiter nach dem einsetzten in (yt)
Kannst du mir vielleicht einmal Zeigen wie du es machen würdest? Dann kann ich es vielleicht besser verstehen. Falls dann zu enigen Schritten fragen sind, würde ich wieder auf dich zurück kommen
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gast_free
Anmeldungsdatum: 15.07.2021 Beiträge: 195
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gast_free Verfasst am: 24. Nov 2021 14:04 Titel: |
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Du hast Recht. Dein Prüfargument ist absolut überzeugend. Da ich im Augenblick leider keine Zeit habe den Fehler zu finden nehme ich meinen Unsinn hier raus. Vielen Dank.
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5860 Wohnort: jwd
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Mathefix Verfasst am: 24. Nov 2021 15:07 Titel: |
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Folgende Überlegung:
Die Masse wird, bezogen auf die x_Achse, mit dem Winkel gamma = alpha+Theta geworfen. y_p(x) = ...
Die schiefe Ebene hat die Geradengleichung y_g (x)= tan(alpha) * x
Durch Gleichsetzen erhält man den Abstand x_T des Auftreffpunkts auf der schiefen Ebene. Dieser ist zu maximieren.
Falls ich mich nicht verrechnet habe.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5836
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Myon Verfasst am: 24. Nov 2021 20:56 Titel: |
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@gast_free: Ich meinte nicht, dass die Rechnung Unsinn gewesen sei, und vor allem meine ich es nicht böse, wenn ich etwas rummeckere - wie immer, auch wenn es vielleicht mal so aussieht.
@vtxt1103: Du kannst Dir die Rechnung von Mathefix anschauen. Oder wenn Du die Hinweise zur Aufgabe befolgen und zuerst die Flugdauer bestimmen möchtest:
Für die Flugparabel gelten die Gleichungen
Für die schiefe Ebene gilt
Nun die 1. Gleichung in die 3. Gleichung einsetzen und das wiederum in die 2. Gleichung. Dann erhält man nach etwas Umformen
Jetzt die Gleichung mit multiplizieren und die 1. angegebene trigonometrische Beziehung verwenden. Für die Flugdauer sollte sich ergeben
Das wiederum in die Gleichung für x(t) einsetzen und die 2. trigonometrische Beziehung verwenden. Der gesuchte Winkel ist gleich der Nullstelle von .
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019 Beiträge: 824
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Qubit Verfasst am: 25. Nov 2021 02:05 Titel: |
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Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Falls ich mich nicht verrechnet habe. |
Die Formel liefert negative Winkel. Da ist wohl etwas mit der Umkehrfunktion schief gelaufen bei Beachtung der Hauptwerte.
Sollte sein:
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019 Beiträge: 824
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Qubit Verfasst am: 25. Nov 2021 03:25 Titel: |
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Mal ein alternativer Ansatz. Ich starte mit Newton:
Jetzt kann man in das Koordinatensystem der schiefen Ebene transformieren, indem man die Kraft um dreht:
Da die Kraft konservativ ist, ist die Bedingung für Erreichen der Ebene:
Aus bekommt man die Wegkomponente (nach Integration):
und setzt T für die Wurfweite ein:
Für den extremalen Winkel die Ableitung nach :
((
Die Koordinaten im ursprünglichen System bekommt man wiederum durch eine Drehung der Basis:
))
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5836
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Myon Verfasst am: 25. Nov 2021 08:24 Titel: |
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Zum Problem mit dem arctangens: Man muss die Mehrdeutigkeit berücksichtigen. Wegen tan(x)=tan(x+pi)
ist für jedes ganzzahlige n
eine Lösung. Hier muss n so gewählt werden, dass im Intervall liegt.
Man kann noch verwenden, dass wegen
gilt
und erhält das Ergebnis in schönerer Form
.
Löst man die Aufgabe unter Verwendung der Hinweise, treten die Probleme mit dem Tangens nicht auf, man erhält die Gleichung .
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019 Beiträge: 824
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Qubit Verfasst am: 25. Nov 2021 13:34 Titel: |
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Myon hat Folgendes geschrieben: |
und erhält das Ergebnis in schönerer Form
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Danke, Myon, für den Hinweis. Es lohnt sich immer zu schauen, wie man noch mit Additionstheoremen vereinfachen kann
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