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Folgt aus O²=I, dass O unitär ist?
 
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schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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Beitrag schnudl Verfasst am: 25. Okt 2021 14:02    Titel: Folgt aus O²=I, dass O unitär ist? Antworten mit Zitat

Ich bin mit Operatoren im Hilbertraum mittlerweile etwas außer Übung...Angenommen ich habe einen Operator O, mit



Dann hat dieser als Eigenwerte nur ±1, denn für die zugehörigen Eigenwerte und Eigenvektoren gilt ja



Ich kann daher in der Basis dieser Eigenvektoren diagonal schreiben






Dann ist O somit gleichzeitig hermitesch?

Also aus



folgt



und deshalb ist O auch unitär



Kann ich das allgemein so behaupten oder habe ich da was übersehen? Es wäre ja banal, aber ich habe da meine Zweifel...

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Murmel aus dem All
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Beitrag Murmel aus dem All Verfasst am: 25. Okt 2021 18:16    Titel: Antworten mit Zitat

Nur, wenn diagonalisierbar ist, was aber nicht der Fall zu sein braucht.
Gegenbeispiel:
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 25. Okt 2021 19:17    Titel: Antworten mit Zitat

Murmel aus dem All hat Folgendes geschrieben:
Nur, wenn diagonalisierbar ist, was aber nicht der Fall zu sein braucht.
Gegenbeispiel:

Ich sehe schon, dass da was nicht stimmt.
Nur wo ist der Fehler im allgemeinen Ansatz?
Diese Matrix hat ja Eigenwerte +1, -1

Aber ist denn diese Matrix nicht diagonalisierbar?



und



grübelnd

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Murmel aus dem All
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Beitrag Murmel aus dem All Verfasst am: 25. Okt 2021 20:03    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, ich meinte nicht diagonalisierbar, sondern normal.
D.h. der Spektralsatz gilt nicht.
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 25. Okt 2021 20:20    Titel: Antworten mit Zitat

Der Fehler liegt dann scheinbar in der Annahme, dass die Eigenvektoren i.A. ein Orthonormalsystem bilden - in deiner Matrix ist das nämlich nicht der Fall.
Falsch ist also die Annahme



Kann man das so sagen?

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schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 25. Okt 2021 21:34    Titel: Antworten mit Zitat

Ich wollte die Frage eigentlich allgemein formulieren, aber jetzt muss ich, glaube ich, sagen, worum es mir geht:

Ich wollte verstehen, wie der Simon'sche Algorithmus funktioniert. Ich beziehe mich hier auf genau diesen Text.

Hier werden zwei n-weite Qubit Register verwendet. Die orthogonalen Basiszustände in der z-Basis sind dabei



wobei x und y die Zustände binär beschreibt. Für n=3 ist z.B.



Eine Abbildungsvorschrift von diesem Hilbertraum in diesen Hilbertraum ist definiert durch:



Beispielsweise könnte sein:

Code:
f(0) = 3
f(1) = 2
f(2) = 4
f(3) = 7
f(4) = 7
f(6) = 4
f(7) = 2
f(8) = 3


Die Operation ist das bitweise XOR.

Nun müssen alle Operationen in einem Quantencomputer aber aus Realisierungsgründen (Zustände können sich nur entsprechend einer norm-erhaltenden Zeitentwicklung ändern) unitär sein. Ich verstehe zwar, wie der Algorithmus funktioniert, sehe aber nicht so ganz, warum die obige Abbildung unitär ist.

Ich hätte es so gezeigt:

Die Abbildung mit U bezeichnet kann man schreiben



Dann ist der adjungierte Ausdruck



sodaß die Norm erhalten bleibt:



Wenn die Norm in einer Basis (wie hier) erhalten bleibt, muss sie meiner Meinung nach auch in einer beliebigen Basis erhalten bleiben - U ist somit tatsächlich unitär. Die Eigenschaft "unitär" kann ja nicht von der Wahl der Basis abhängen (ich kann ja immer den Einheitsoperator hineinschieben).

Angeblich ist diese Betrachtung aber falsch...

Der richtige und elegante Weg wäre, zunächst festzuhalten, dass die zwei-fache Anwendung von U wegen



den Einheitsoperator ergibt:



deshalb sind die Eigenwerte einmal ziemlich sicher ±1.

Weiters soll daraus geschlossen werden (und da sind wir bei meiner ursprünglichen Frage), dass U hermitesch sein müsse und deshalb folgt



Jetzt wurde hier aber gesagt, dass dies nicht notwendigerweise der Fall sein muss. Ich müsste daher zunächst prüfen, ob die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten othogonal sind, d.h. ein Orthonormalsystem aufspannen. Wie kann ich das aber zeigen?

Und warum ist meine obere Betrachtung falsch? Ich sehe nicht, wo hier der Wurm begraben liegen könnte...sicher habe ich mich wieder einmal völlig verrannt... grübelnd

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TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17900

Beitrag TomS Verfasst am: 25. Okt 2021 23:32    Titel: Antworten mit Zitat

Was genau willst du zeigen?

schnudl hat Folgendes geschrieben:
Folgt aus O²=I, dass O unitär ist?

oder
schnudl hat Folgendes geschrieben:
.. und deshalb folgt

ist?



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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Murmel aus dem All
Gast





Beitrag Murmel aus dem All Verfasst am: 26. Okt 2021 10:01    Titel: Antworten mit Zitat

schnudl hat Folgendes geschrieben:
Falsch ist also die Annahme



Kann man das so sagen?


Ja
Murmel aus dem All
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Beitrag Murmel aus dem All Verfasst am: 26. Okt 2021 10:43    Titel: Antworten mit Zitat

schnudl hat Folgendes geschrieben:
Der richtige und elegante Weg wäre, zunächst festzuhalten, dass die zwei-fache Anwendung von U wegen



den Einheitsoperator ergibt


Ne, das spielt hier doch gar keine Rolle. Es reicht, das U die Basiselemente permutiert.

Sei eine orthonormale Basis des Hilbertraumes .
Wenn invertierbar ist,
dann ist unitär.


für alle
für alle
für alle
für alle

Die letzte Zeile ist aber wahr, weil invertierbar ist.
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 27. Okt 2021 11:34    Titel: Antworten mit Zitat

Murmel aus dem All hat Folgendes geschrieben:
Es reicht, das U die Basiselemente permutiert.


Jetzt ist mir der kleine Fehler bei meiner eigenen Argumentation klar geworden: Wenn die Norm der Basisvektoren durch einen Operator erhalten bleibt, dann folgt nicht automatisch, dass auch die Norm eines beliebigen Vektors erhalten bleibt. Dass dies dennoch in meinem Besipiel der Fall ist, müsste man daher noch extra zeigen. Das ist aber trivial, denn zwei verschiedene Basisvektoren werden hier auf zwei verschiedene Basisvektoren abgebildet, die wieder zueinender orthogonal liegen. Dadurch bleibt die Norm eines beliebigen Vektors erhalten:







Diese Permutation der Basisvektoren (bzw. die Ein-Eindeutigkeit der Abbildung) habe ich übersehen und das ist der springende Punkt damit U unitär ist.

Danke, du hast mir die Augen geöffnet Thumbs up!

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Zuletzt bearbeitet von schnudl am 27. Okt 2021 11:46, insgesamt einmal bearbeitet
schnudl
Moderator


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Beiträge: 6979
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Beitrag schnudl Verfasst am: 27. Okt 2021 11:42    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Was genau willst du zeigen?


Die i.A. nicht zutreffende Argumentation von jemand anderem war:

Aus

folgen Eigenwerte ±1. Es wurde dann falsch argumentiert dass daraus folgt . Wäre das der Fall, so wäre



und U somit unitär. Der zweite Schritt ist aber falsch, denn die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten müssen nicht orthogonal zueinander stehen. Genau das war mein Problem...eigentlich trivial, aber ich bin darauf leider reingefallen und nun ist es geklärt.

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Zuletzt bearbeitet von schnudl am 27. Okt 2021 15:22, insgesamt einmal bearbeitet
Qubit



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Beiträge: 824

Beitrag Qubit Verfasst am: 27. Okt 2021 14:37    Titel: Antworten mit Zitat

schnudl hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Was genau willst du zeigen?


Die i.A. nicht zutreffende Argumentation von jemand anderem war:

Aus

folgen Eigenwerte ±1. Es wurde dann falsch argumentiert dass daraus folgt . Wäre das der Fall, so wäre



und U somit unitär. Der zweite Schritt ist aber falsch, denn die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten müssen nicht orthogonal zueinander stehen. Genau das war mein Problem...eigentlich trivial, aber ich bin darauf leider reingefallen und nun ist es geklärt.



bedeutet Idempotenz der Matrix U, und die Eigenwerte sind dann 0 der 1.
((




))


bedeutet Hermitizität der Matrix (Symmetrie über R).
Gegenbeispiel für ein idempotentes U über R:



bedeutet Unitarität von U, d.h.


Ist dann U insbesondere hermitesch, dann ist

und
schnudl
Moderator


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Beiträge: 6979
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Beitrag schnudl Verfasst am: 27. Okt 2021 15:24    Titel: Antworten mit Zitat

Qubit hat Folgendes geschrieben:



Sorry - ich meinte

Tippfehler ... Ich hab das oben korigiert. Ganz oben stimmt es.

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schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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Beitrag schnudl Verfasst am: 27. Okt 2021 16:12    Titel: Antworten mit Zitat

Die Frage ist übrigens beantwortet. Es ging ja daraum, was an meiner Argumentationskette falsch war:


Zitat:
Ich hätte es so gezeigt:

Die Abbildung mit U bezeichnet kann man schreiben



Dann ist der adjungierte Ausdruck



sodaß die Norm erhalten bleibt:



Wenn die Norm in einer Basis (wie hier) erhalten bleibt, muss sie meiner Meinung nach auch in einer beliebigen Basis erhalten bleiben - U ist somit tatsächlich unitär. Die Eigenschaft "unitär" kann ja nicht von der Wahl der Basis abhängen (ich kann ja immer den Einheitsoperator hineinschieben)


Ich bin einem gedanklichen Fehler aufgesessen: Es ist für eine unitäre Transformation U nicht hinreichend zu zeigen, dass die Norm der Basisvektoren invariant bezüglich U ist. Man muss dies für allgemeine Vektoren zeigen. Letzteres habe ich aber nicht gemacht und deshalb war meine Argumentation Unsinn. Man kann aber leicht zeigen, dass es im speziell betrachteten Fall auch allgemein stimmt, nur fehlte das eben...

Zu einer weiteren Konfusion führte ein Kommentar in einem Forum, welches ebenfalls nicht ganz richtig war und auf das ich mich bezog.

Die Frage ist übrigens auch hier beantwortet. Scheinbar hat das vor mir auch schon jemand nicht auf Anhieb verstanden.

Um weitere unnötige Verwirrungen zu vermeiden, schließe ich das mal.

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