De-Broglie Geschwindigkeit der Elektronen

Ursula-H · Anmeldungsdatum: 20.09.2021 Beiträge: 1

Meine Frage:
Bei der Elektronenbeugungsröhre kann ich mit der de-Broglie-Beziehung (oder auch über die Beschleunigunsspannung) die Elektronengeschwindigkeit bestimmen.

Kann diese Geschwindigkeit in sinnvoller Weise als Ausbreitungsgeschwindigkeit einer "Elektronen-Welle" interpretiert werden, so dass man mit dieser Geschwindigkeit nach der Formel c=lamda*f eine Frequenz des Elektrons berechnet?

Oder mache ich da einen großen Fehler?
Gibt es gar zwei verschiedene Geschwindigkeiten? Eine "Teilchen-Geschwindigkeit" des Elektrons und eine "Wellenausbreitungsgeschwindigkeit" des Elektrons?

Meine Ideen:
Oder mache ich da einen großen Fehler?
Gibt es gar zwei verschiedene Geschwindigkeiten? Eine "Teilchen-Geschwindigkeit" des Elektrons und eine "Wellenausbreitungsgeschwindigkeit" des Elektrons?

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Ja, es gibt hier tatsächlich zwei Geschwindigkeiten. Das erschließt sich aber leider nicht so ganz unmittelbar. Ich probier's mal:

Für elektromagnetische Wellen haben wir

Man verwendet in der Physik statt der Wellenlänge eher die Wellenzahl

Das ergibt bei elektromagnetischen Wellen für ein bestimmtes k auch ein bestimmtes ω:

Der Zusammenhang zwischen k und ω ist also linear. Man sagt auch, dass solche Wellen keine Dispersion haben. Ein Wellenpaket, das sich aus vielen verschiedenen k's zusammensetzt bleibt in der Form erhalten und "verrinnt" nicht mit der Zeit. So wird ordentliche Nachrichtenübertragung über elektromagnetische Wellen erst ermöglicht.

Bei Materiewellen haben wir nicht so einen linearen Zusammenhang:

Es gilt ja

Wenn wir nicht-relativistisch rechnen ist

und daraus folgt

Der Zusammenhang zwischen Wellenzahl und Frequenz ist daher nicht mehr linear, sondern quadratisch. Die lineare Beziehung zwischen Frequenz und Wellenzahl ist bei Wellen eher eine Ausnahme. Wo dies nicht der Fall ist, wie hier bei Materiewellen, aber auch beispielsweise bei Gitterschwingungen in Festkörpern, spricht man von Dispersion: Ein anfangs räumlich scharf begrenztes Wellenpaket, das aus mehreren Frequenzen zusammengesetzt ist, verliert während der zeitlichen Ausbreitung seine Form, denn es verbreitert sich und wird räumlich verschmiert.

Mann kann jedoch zeigen, dass sich das Zentrum dieses Pakets näherungsweise mit der sog. Gruppengeschwindigkeit ausbreitet; diese ist definiert als

Wegen der Beziehungen zwischen E und p wird das für Materiewellen zu

Nun ist aber klassisch

und

Daher folgt:

Ein räumlich begrenztes Teilchen mit der Geschwindigkeit v wird also durch ein Wellenpaket beschrieben, dessen Zentrum sich ebenfalls mit der Geschwindigkeit v bewegt; so muss es ja auch sein, wenn man der Wellenfunktion die Rolle einer Aufenthaltswahrscheinlichekit zuordnen möchte.

Die andere Geschwindigkeit ist die Phasengeschwindigkeit; diese ist definiert durch

Das ist die Geschwindigkeit, mit der sich eine einzelne harmonische Welle ausbreitet. Da die Phasengeschwindigkeit von der Wellenzahl abhängt, kommt es eben zur Dispersion. Soweit ich weiß, macht diese Geschwindigkeit für sich genommen aber physikalisch gesehen nicht so viel Sinn. Man erhält auch unterschiedliche Ergebnisse, je nachdem ob man die relativistische Ruheenergie in die Energie mit einbezieht oder nicht. Letztendlich ist dieser Unterschied aber nur ein Phasenfaktor, der physikalisch nicht beobachtbar sein sollte (bin mir da aber nicht so sicher - ist nur geraten...vielleicht kann das jemand anderer besser erklären.)

Bei ebenen elektromagnetischen Wellen ist die Gruppengeschwindigkeit gleich der Phasengeschwindigkeit. In einem Hohlleiter ist das aber übrigens nicht mehr der Fall und man hat auch hier Dispersion. Dispersion hat man übrigens auch in optischen Medien, wo die verschiedenen Wellenlängen sich mit leicht unterschiedlicher Geschwindigkeit ausbreiten und so zu einer chromatischen Fehlabbildung (Spektralaufspaltung) führen.