Elektron in Elektronenkanone - Relativität?

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

Hi
wir haben die aufgabe bekommen, dass in einer elektronenkanone eine spannung von 23kv ist
gefragt ist welche geschwindigkeit das elektron bekommt und nach welcher zeit es den abstand von der anode zum leuchtschirm durchquert hat. der abstand beträgt 40 cm
als ich das mit den herkömmlichen formeln aus der schule rechnete bekam ich für die geschwinidgkeit v=8,988*10^7 m/s raus
ist nun schon sehr nah an lichtgeschwindigkeit, deshalb dachte ich mir, dass diese formeln einen nicht mehr vernachlässigbaren fehler liefern müssen. deshalb rechnete ich mit den formeln der relativität eine geschwindigkeit von v=6,218*10^7 m/s
das ergibt eine differenz von 27700000m/s
ich finde dieser fehler ist schon sehr groß und nicht vernachlässigbar
ich finde, wenn man noch nicht relativitätstheorie hatte sollten die aufgabensteller, wenigstens nur niedrige spannungen angeben bei denen der aspekt der relativität vernachlässigbar ist.
das ist doch vortäuschung falscher tatsachen.
für die zeit, die es braucht um den abstand d zu durchqueren habe ich folgendes ungetüm an formel ermittelt

für t erhielt ich dann einen wert von t=9,8*10^-8 s
mit den klassischen formeln komme ich auf t=8,9*10^-9 s

ob jetzt diese formel richtig ist kann ich nicht sagen, weil ich, dass sehr schnell und durcheinander gerechnet hab. gut möglich dass sich ein flüchstigkeitsfehler eingeschlichen hat. da kamen auch so blöde integrale bei raus.
ich möchte erstmal wissen, ob meine formel für die zeit hinkommt und dann versteh ich nicht warum man soetwas ohne relativistische kenntnisse rechnet

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Also ich bekomme mit meiner relativistischen Rechnung immer noch v=8,71*10^7 m/s raus

.

Gruß
Marco

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

hmm dann hab ich mich vielleicht verrechnet
ich werd es morgen nochmal in ruhe nachrechnen und mich nochmal melden

Edit:
ich hab die richtig formel hergeleitet, aber muss es wohl falsch im taschenrechner eingegeben haben. jetzt erhalte ich jedenfalls v=
8,7*10^7m/s

aber trotzdem ein unterschied von 2880000m/s

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ja, bei diesen hohen Geschwindigkeiten macht natürlich ein relativ kleiner Geschwindigkeitsunterschied gleich eine große absolute Zahl aus. Ich würde, je nach Anwendung, hier wahrscheinlich auch eher relativistisch rechnen.
Aber als Tip für Dich: Die Ruhemasse eines Elektrons ist ja 511keV. Wenn die kinetische Energie (also die 23keV) in die Nähe dieser Ruheenergie kommt, dann sollte man anfangen relativistisch zu rechnen.
Das hängt aber immer von der nötigen Genauigkeit ab. Das ist dann leider Ansichtssache... Aber auf jeden Fall bringt der Vergleich schon mal einen ersten Eindruck, wie "relativistisch" ein Teilchen wird. Meistens muß man dann, so wie hier, noch gar nichts rechnen, um das abschätzen zu können.

Gruß
Marco

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

ok danke für deine hilfe
deinen tipp werd ich mir merken
ich finde, dass man hier schon mit der relativität rechnen sollte.
die differenz ist zwar relativ wenig, aber die geschwindigkeit ist trotzdem unvorstellbar hoch

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Da sitz ich nun, und komm einfach nicht auf die Gleichung von schüler *grummel*

Da die Beschleunigung ja von der Masse abhängt, beiß ich mich ständig in den (Katzen-)Schwanz, und komme nur auf eine DGL, deren Integral mein TI nicht zu lösen vermag:

(ich versuche, die Masse als Ruhemasse plus (die pro Weg gewonnene kin. Energie)/c^2 auszudrücken, mit F=Eq)

Bei

dreh ich mich auch nur im Kreis, weil ich

nicht kenne.

Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo Kater!

Das macht man einfach über die Energieerhaltung. Aus der Aufgabe weißt Du, dass die kinetische Energie 23keV sein muß und die Ruheenergie des Elektrons ist 511keV.
Die Geschwindigkeit rechnet man normalerweise aus, indem man den Impuls durch die Gesamtenergie teilt (in natürlichen Einheiten natürlich...) und den Impuls bekommst Du aus:

also hast Du:

#Edit: das Quadrat im Nenner ist falsch, sorry
und

Dann hast Du zumindest die Geschwindigkeit recht einfach und schnell ausgerechnet. Der Rest ist dann ja nur noch eine gleichfürmige Bewegung.

Gruß
Marco

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

ich muss noch was meinerseits an der aufgabe korrigieren und zwar ist in der aufgabe die zeit gesucht, in der das elektron das feld durchquert und nicht von der anode zum leuchtschrim, denn das wäre ja eine gleichförmige bewegung, da es nach der anode ja feldfrei ist.
aber es soll noc im feld sein und das feld hat die länge 0,4m
in einer anderen teilaufgabe ist nämlich irgendeine zeit von der anode zum leuchtschirm gesucht. da hab ich mich wohl verguckt

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

@Marco: In der letzten LaTeX-Zeile fehlt ein c². (edit: sieht irgendwie insgesamt komsich aus; was ist E? Wurzel E-m ist doch nicht p grübelnd

) Aber ich meine die Beschleunigungsphase, daher trotdem Danke, auch wenn ich deins, glaub ich, weiß.
edit2: ich verstehs doch nicht, aber mein Instinkt sagt mir, dass ich das im Mom nicht verstehen muss... Klein Beta ist Geschwindigkeit^-1, oder? Die letzte Gleichung ist irgendwie komisch. Also falsch. Ich raffs nicht... Warum ist E=E² (zweite Gleichung)? Das ist doch auch falsch... Gemeine Verwirrungsattacke. Merk ich mir...

@Schüler: Ja und wie kommst du nun auf die Gleichung? Sieht sehr interessant aus, weil ich sowas noch nicht hatte. Na ja, DGLs hatte ich auch noch nicht, deshalb könnte sie ja auch falsch sein, aber vllt ist sie einfach nur nicht algebraisch lösbar, und trotzdem richtig.
Was sagt ihr dazu?

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

also die energie impuls beziehung heißt ja normalerweise
E²=(m_0c²)²+(pc)²
man stellt es aber oft so dar, dass c=1 ist. dann ist
E²=(m_0)²+p²
und auch E=(m_0)²+Ekin
ich benutz diese darstellung weniger, weil ich sonst durcheinander komm
ich hab es mal in einem buch gesehen.
und das E² im nenner ist wohl ein tippfehler. denn das sollte schon E heißen

ich bin übrigens bei meiner langen formel zur berechnung der zeit
davon ausgegangen, dass die ableitung des impulses zur zeit gleich Kraft ist
im prinzip hab ich die formel F=m*a auf große geschwindigkeiten verallgemeinert und das mit der elektrischen feldkraft gleichgesetzt.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Danke! Das Quadrat im Nenner war falsch! Ich hab's oben korrigiert.

Ja, genau... Das ist alles in natürlichen Einheiten, in denen c = ħ = 1 ist und deshalb angenehmer Weise die ganzen c aus den Gleichungen raus fliegen.
Beta ist dann v/c. Wenn Du also alles in die Gleichungen einsetzt bekommst Du die Betas raus, die ich oben erwähnt habe und kannst diese einfach mit c multiplizieren, um auf die Geschwindigkeit in m/s zu kommen.

Ja, wenn die Beschleunigungsphase gemeint ist, wird das schon recht schwierig! Ich komme da auf eine ziemlich doofe Differenzialgleichung:

Also Beschleunigung ist gleich F durch die relativistische Masse.
Naja, mal sehen, vielleicht geht es auch einfacher. Ich denke, dass man das etwas mit der "Rapidität" etschärfen könnte. Aber da bin ich auch kein Speziallist...

Aber mich wundert jetzt um so mehr, dass Du so einen doch recht großen Unterschied bei der Zeit rausbekommen hast. Bei der Beschleunigung ist das Elektron ja sicher noch die meiste Zeit in einem nicht relativistischen Bereich. Der Unterschied bei der Endgeschwindigkeit ist also als Extrem zu sehen, was über die gesamte Strecke deutlich geringer sein sollte. Nach meiner ersten Abschätzung sollte da ein nur wirklich geringer Unterschied bei der Zeit raus kommen. Ich denke, das sollte sich im Bereich von Prozent oder sogar Promille abspielen... Naja, ich muß das erstmal irgendwie rechnen.

Gruß
Marco

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

so doof ist diese DGL nun auch wieder nicht. da gibt es schlimmere
man kann sie doch einfach auf folgende form bringen

jetzt muss man nur noch beidseitig integrieren. die größte schwierigkeit liegt dann wohl darin die stammfunktion des linken terms zu finden

das problem ist nur, dass diese DGL nach meiner ansicht nicht stimmt, weil du hast einfach die masse durch die relativistische masse ersetzt.
wenn du die masse in F=m*a einfach durch die relativistische masse ersetzt rechnest du doch aus welche kraft du benötigst, um einen körper der masse m auf die geschwindigkeit v zu beschleunigen, wobei du annimmst, dass der körper während der gesamten beschleunigungsphase konstant die masse hat, welche er am ende der beschleunigungsphase hat

also wenn du z.B 2kg masse hast und beschleunigst sie auf eine gescheindigkeit, so dass aus den 2 kg 2,3kg werden und du die kraft aus F=2,3*a berechnest, hast du doch die kraft berechnet, welche du benötigst wenn der körper die ganze zeit über 2,3kg wiegen würde.
ich hoffe du hast verstanden was ich meine. ich stecke nämlich gerade in erklärungsschwierigkeiten
jedenfalls muss man es doch wie folgt anpacken

nimmt man jetzt die masse als konstant an so wird dm/dt 0. es verschwindet der erste term und man erhält die nwetonsche grundgleichung F=m*a. die masse ist aber geschwindigkeitsabhängig. deshalb wie folgt

als nächstes muss man m(v)=m0/WURZEL(1-(v/c)²) nach v diffferenzieren und dies mit der elektrischen feldkraft gleichsetzen. die anfallende DGL muss man lösen.
und was das mit meinem wert für die zeit angeht, so glaub ich auch, dass der falsch ist. entweder hab ich mich beim auflösen der DGL verrechnet oder ich hab mich wiedermal beim eingeben in den Taschenrechner vertippt, was mir sehr oft passiert

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ja, stimmt... die ist separabel!

Nein, von einer konstanten Masse bin ich nicht ausgegangen, sondern von einer von v abhängigen. Sonst kommt man ja nicht auf den Gamma-Faktor und bräuchte keine großartige DGL lösen. Ich muß mir das aber trotzdem nochmal genauer anschauen. Kann trotzdem sein, dass da was nicht stimmt.

Gruß
Marco

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

das meinte ich damit, dass ich erklärungsschwierigkeiten hab

ich weiß, dass du nicht von einer konstanten masse ausgegangen bist
nur setzt du die relativistische masse einfach in die newtonsche grundgleichung ein so wäre es als ob die masse während der gesamten beschleunigungsphase auf die geschwindigkeit v
konstant m_0/WURZEL(1-(v/c)²) betragen würde
schau es dir nochmal genau an.
die resultierende DGL ist nämlich, dann im gegensatz zu der separablen DGL ein ganzes stück komplizierter glaub ich.

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Aha, das bedeutet 'natürliche Einheiten'. Na gut, ich errinere mich daran, das in der letzten maßstäbe was dazu stand, aber so richtig gewusst hab ichs nicht. Danke.

Zum vorletzten Schritt von Schüler's (-übrigens, willst du den nicht mal ändern? smile

) Methode:

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

du müsstest meine oben genannte gleichung für die zeit einfach nach v umformen. dann hast du es
das ist ja ein Geschwindigkeits zeit gesetz.
diese brauchte ich ja für die zeit
um die geschwindigkeit zu bekommen hab ich ein einfacheres geschwindigkeits-spannungs gesetz hergeleitet und kam damit auf realistische werte, beim ersten mal hab ich nur irgendwas falsches im taschenrechner eingegeben.

ob allerdings oben genannte gleichung richtig ist kann ich nicht sagen, weil ich neige dazu bei längeren rechnungen alles kreuz und quer auf einen zettel zu schmieren. wenn der zettel voll ist und ich noch eine lücke frei hab schmier dort auch noch einen teil der rechnung dazu oder ich schreib einmal einen rechenschritt streich den einen teil durch den ich anschließend rüber hole und daneben schreibe. dann ist es wohl kein wunder, dass ich die übersicht verliere und sich ein fehler einschleichen würde. der grund warum ich das mache ist faulheit. ich hab keine lust wenn ich bequem im sessel liege einen neuen zettel zu holen. ich schreib das meistens auf druckerpapier und da ich neben faulheit auch an vergesslichkeit leide, vergess ich immer mehrere zettel aus dem büro zu holen, aber meine lebensgeschichte interessiert hier eh niemanden.

du kannst ja mal versuchen die DGL zu lösen

und was soll ich ändern mein Pseudonym?
neben faulheit und vergesslichkeit bin ich auch sehr unkreativ und zum zeitpunkt der anmeldung fiel mir spontan kein besseres pseudonym ein. ich würde es aber gerne ändern wollen falls es ginge.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Schüler · Anmeldungsdatum: 05.05.2006 Beiträge: 175

ich erhalte damit t=2,25*10^-8 s

das was du gemacht hast geht natürlich. ich hab nur zu kompliziert gedacht
vergiss es einfach was ich gesagt habe, wobei allerdings beides auf das gleiche hinauslaufen müsste

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Also, ich hab's jetzt auch mal eingetippt, aber irgendwie vertippe ich mich die ganze Zeit... Ich habe jetzt :
T=1,02*10^-8 s
raus. grübelnd

Kann es sein, dass Du vergessen hast, das ganze noch mit d=0,4m zu multiplizieren?

Keine Ahnung, ich muß das ganze noch ein paar mal in meinen Rechner tippen, glaube ich.
Allerdings wäre meine Zahl deutlich näher an Deinem klassischen Ergebnis mit T=0,89*10^-8 s. Obwohl mir die Abweichung immer noch zu groß vorkommt, wenn ich ehrlich bin. Aber könnte schon hinkommen.

Gruß
Marco

Edit: Jetzt hab ich 8,6*10^-9 s raus! Hammer

Mal sehen, was ich beim nächsten Eintippen raus bekomme. Da wäre die Zeit ja geringer, als bei Deiner klassischen Rechnung! Oh mann...

nochmal Edit: So, jetzt hab ich 9,0*10^-9 s raus. Ich denke, das stimmt jetzt wirklich. Der Unterschied macht also tatsächlich etwas mehr als 1 Prozent aus.

schon wieder Edit: nochmal anders gerechnet bekomme ich jetzt 8,987*10^-9 s raus. Das kann aber an den anderen Konstanten liegen und müßte dem oben entsprechen. Der Unterschied zwischen klassischer und relativistischer Rechnung bleibt also bei 1%

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Wisst ihr was mir dabei Kopfschmerzen bereitet? Ich komme beim besten Willen nicht auf das Integral von Marco:

Da steht

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ja, ich glaube, die mittlere Formel ist falsch. Also mal ganze einfach: relativistisch gilt ja auch noch:

und der relativistische Impuls ist:

Das heißt:

Das mittelere Gebilde war falsch, weil ich da tatsächlich nicht den Gamma-Faktor abgeleitet hatte, sondern mit a nur die Geschwindigkeit. Irgendwie war ich da wohl nicht so ganz fit...
Der Rest geht dann ganz normal weiter. Links läßt sich leicht nach der Zeit integrieren, weil die Kraft ja konstant sein soll und rechts steht ja schon die Ableitung nach der Zeit da. Allerdings ist es da ja quasi eine Subtitution mit v(t) statt t, so dass ich die Grenzen des Integral dann so anpassen muß, dass ich von 0 bis zur Endgeschwindigkeit integriere, also von 0 bis v(T), genau so wie ich links von 0 bis T integriere.

Uiuiui... Das war ein schwere Geburt! Es gibt Tage, da sollte man besser etwas anderes machen, als Physik!

Gruß
Marco

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Mmh, kann ich immernoch nicht so ganz nachvollziehen.

Wir hatten ja schon, dass zur Lösung der DGL folgendes gemacht werden muss:

Da ich das Integral nicht wirklich auf die Reihe bekomme, halte ich mich mal an das Ergebnis vom TI:

.

Hieraus könnte man v zu

ermitteln, also bei t=0 ist auch v=0.

Umgestellt nach T ergibt sich

, mit eingesetzten Werten komme ich auf T=8,7319*10^-9 s.

Die klassische Rechnung ergibt 8,89*10^-9s. Also mir Massenzunahme schneller als ohne (Rundungsfehler/ Konstantenfehler ausgeschlossen, hab sogar die Geschwindigkeit nochmal genau über Energieansatz ausgerechnet)? Komisch...

edit: Ach so, die Integrationskonstante hab ich weggelassen, weil ich vermute, dass sie für eine Anfangsgeschwindigkeit steht

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5785 Wohnort: Heidelberg

Hallo Kater!

Ja, irgendwie ist da immernoch der Wurm drin. Die letzte Rechnung von mir ist richtig, denke ich. Allerdings sehe ich selbst noch nicht, was genau an der vorher falsch ist.
Eigentlich macht man da ja eine Substitution, indem man zwar beide Seiten über t integriert, aber auf der einen Seite dann t mit v(t) ersetzt. Ich danke, dass da was schief gelaufen ist.

Ich muß mir das mal bei Gelegenheit genauer und in Ruhe anschauen.

Gruß
Marco

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Ist zwar zum Mäusemelken dass das nicht gleich funktioniert, aber so wichtig ist mir das jetzt auch wieder nicht.

Wie meinst du das, bei der DGL seien beide Seiten über t zu integrieren? Ich hab das Lösen von DGLs 1. Ordng. auf die Art gelernt, dass man die Variablen trennt, und daher zwei unterschiedliche Integranden hat. Zwar autodidaktisch und auch nicht zum Umfallen, aber falsch düfte das eigentlich nicht sein. Zumal der Taschenrechner dasselbe ausgibt.

Ulkigerweise kann der TI für Schüler's DGL keine Lösung ausgeben, mit zwei der auftretenden Integrale kommt er nicht klar.

However, war mal eine interessante Rechnung, die mir zeigt, dass sich nicht nur mein Physiklehrer verrechnen kann Augenzwinkern