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Nachricht |
Wellenlord
Gast
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 Wellenlord Verfasst am: 31. März 2021 15:31 Titel: Prinzip von Fermat |
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Meine Frage:
Hallo,
woher weiß eine Welle, dass sie den kürzesten Weg nehmen muss (Prinzip von Fermat)?
Meine Ideen:
Wie kann man das physikalisch erklären? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18006
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| TomS Verfasst am: 31. März 2021 19:24 Titel: |
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Das Fermatsche Prinzip ist ein typisches Beispiel dafür, wie ein globales Prinzip zu einer lokalen mathematischen Formulierung führt.
Das Fermatsche Prinzip folgt als Spezialfall aus der Maxwellschen Theorie zur Ausbreitung elektromagnetischen Wellen. Die lokalen Maxwellschen Gleichungen, die mittels linearer Differentialgleichung beschreiben, wie sich eine Welle in einer infinitesimalen Umgebung ausbreitet, folgen ebenfalls aus einem globalen Prinzip, dem sogenannten Prinzip der kleinsten Wirkung. Dieses Prinzip kann zur Definition aller bekannten physikalischen Theorien verwendet werden - klassische Mechanik, Elektromagnetismus ... allgemeine Relativitätstheorie ... Quantenmechanik und Quantenfeldtheorien wie QED und QCD.
Das Prinzip besagt, dass die Lösungen einer Theorie so beschaffen sind, dass sie das jeweilige Wirkungsintegral - eine globale Größe - minimieren. Daraus folgen dann die lokalen Differentialgleichung der jeweiligen Theorie.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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gast_4711
Gast
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| gast_4711 Verfasst am: 01. Apr 2021 09:54 Titel: Re: Prinzip von Fermat |
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| Wellenlord hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Hallo,
woher weiß eine Welle, dass sie den kürzesten Weg nehmen muss (Prinzip von Fermat)?
Meine Ideen:
Wie kann man das physikalisch erklären? |
Ohne auf die moderne Physik einzugehen kann man auch die Herkunft näher beleuchten. Es gab eine Phase in den Naturwissenschaften, die sog. theleologischen Prinzipien folgte. Danach laufen alle Prozesse in der Natur zielgerichtet ab. Sie sind dem Willen eines Schöpfers unterworfen. Hierzu gehörte auch die Ansicht, dass die Naturgesetze intelligent und ästhetisch schön formuliert sein müssen. Die genannten Minimalprinzipien gehören hierzu. Aus ihnen sollte so etwas wie ein Gottesbeweis formuliert werden. Diese Vorgehensweise hat eine Zeit lang die Physik beflügelt, dann aber eher gebremst. Schließlich wurden diese Betrachtungsweisen fallen gelassen.
Zunächst wurde nur festgestellt das einige dieser Prinzipien Naturvorgännge korrekt beschreiben. Wenn wir beim Brechungsgesetz bleiben, welches ja von der Strahlenoptik ausging war dies das Prinzip der Laufzeitminimierung. Als Wellenoptische Betrachtungen hinzu kamen konnte man das Brechungsgesetz auch ohne dieses Prinzip ableiten. Bei der Theorie von Huygens wurde die Überlagerung von Elementarwellen berechnet. Man kam so auch zu den Beugungs- und Brechnungsgesetzen. Später kam die Theorie des Elektromagnetismus von Maxwell hinzu. So zeigt es sich, wie sich die Naturwissenschaften von diesen Theleologischen Prinzipien emanzipieren konnteN.
Noch heute krankt die theoretische Physik an dem Glauben, das Naturgestze schön und ästhetisch sein müssten. Das war bei der Quantenmechanik ein Problem. Ich erinnere an das Einstein Zitat: "Gott würfelt nich". Vielleicht ist dies auch einfach menschlich? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18006
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| TomS Verfasst am: 01. Apr 2021 12:19 Titel: Re: Prinzip von Fermat |
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| gast_4711 hat Folgendes geschrieben: | | Noch heute krankt die theoretische Physik an dem Glauben, das Naturgestze schön und ästhetisch sein müssten. Das war bei der Quantenmechanik ein Problem. |
Verstehe ich nicht.
Ob diese übergeordneten Prinzipien nun schön sind oder nicht, sie liefern funktionierende Theorien.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5040
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| DrStupid Verfasst am: 01. Apr 2021 14:02 Titel: Re: Prinzip von Fermat |
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| gast_4711 hat Folgendes geschrieben: | | Noch heute krankt die theoretische Physik an dem Glauben, das Naturgestze schön und ästhetisch sein müssten. |
Ob sie daran "krankt", hängt davon ab, wie man "schön" und "ästhetisch" definiert. |
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semoi
Anmeldungsdatum: 20.12.2011
Beiträge: 82
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| semoi Verfasst am: 04. Apr 2021 19:01 Titel: |
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Zwar ist TomS Antwort korrekt, nur leider ist sie (a) für die meisten unverständlich und (b) wird ein (nicht verstandenes) Prinzip (=Fermat) durch ein abstrakteres (und somit vermutlich nicht verstandenes) Prinzip (=Wirkungsprinzip) erklärt. Dies ist nicht aufschlussreich.
Die Erklärung welche für mich sehr einleuchtend ist stammt von Feynman. Man kann sie sich hier anschauen: https://www.youtube.com/watch?v=SsMYBWpsQu0 Startet ab Zeitpunkt 28:30.
Zwar benutzt Feynman das Beispiel der reflektier an einem Spiegel, das Prinzip ist jedoch auf Snellius'sche Brechungsgesetz oder die Herleitung des Zermatschen Prinzips anwendbar. Das Grundprinzip ist, dass das Licht alle möglichen Wege von A nach B gleichzeitig nimmt und dass sich die Amplituden und Phasen aller Wege addieren. Das Resultat aus der Summe aller Wege ist in Feynmans Beispiel gerade das bekannte Spiegelgesetz (Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel). Es gibt also keine mystische Vorauswahl des Weges. |
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 294
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| Corbi Verfasst am: 05. Apr 2021 10:53 Titel: |
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Ich persönlich finde auch die Erklärung von Feynman am einfachsten, anschaulichsten und erstaunlichsten. Und kann auch das Buch "QED - Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie" von Feynman sehr empfehlen, in dem die populärwissenschaftlichen Vorträge von Feynman zu diesem Thema zusammengefasst sind.
@TomS was genau bedeutet es, dass das Wirkungsprinzip global und die Maxwell-Gleichungen lokal sind ?
Und wie genau folgt das Fermat'sche Prinzip aus den Maxwell-Gleichungen?
(kannst auch gerne einfach ne Quelle verlinken oder angeben, wenn du keine Lust hast das im Detail auszuführen)
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Die Natur beginnt eben nicht mit Elementen, so wie wir genötigt sind mit Elementen zu beginnen - Ernst Mach |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18006
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| TomS Verfasst am: 05. Apr 2021 12:02 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | @TomS was genau bedeutet es, dass das Wirkungsprinzip global und die Maxwell-Gleichungen lokal sind ? |
Das Wirkungsprinzip ist global, weil es Extrema des Wirkungsfunktionals über allen Feldkonfigurationen auf der gesamten Raumzeit selektiert:
Die Maxwell-Gleichungen sind dagegen lokal, weil sie die Bedingungen für diese Extrema mittels rein lokaler Differentialgleichungen
 = j(x))
kodieren.
D.h. das globale Prinzip wird vollständig durch lokale Gleichungen garantiert; es dient lediglich zur Ableitung derselben.
Es ist explizit möglich, ausgehend von einer (bis auf Constraints) beliebigen Feldkonfiguration A(x,0), E(x,0) die Zeitentwicklung A(x,t), E(x,t) mittels Lösung der rein lokalen Hamiltonschen Gleichungen zu bestimmen, wobei A(x,t), E(x,t) automatisch ein globales Extremum je Anfangsbedingung liefern, ohne dass dies vorab bekannt sein oder festgelegt werden muss.
(deswegen sind Feynmans Ausführungen nicht falsch, jedoch im Rahmen der klassischen Elektrodynamik identisch zu dem zuvor Gesagten; sie liefern in nullter Näherung lediglich dieses Wirkungsprinzip und damit die Maxwell-Gleichungen)
| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | Und wie genau folgt das Fermat'sche Prinzip aus den Maxwell-Gleichungen? |
Im Rahmen der geometrischen Optik entsprechen die erlaubten Lichtstrahlen den (lichtartigen) Normalen auf den Wellenfronten der Lösungen der Maxwell-Gleichungen.
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Corbi
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 294
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| Corbi Verfasst am: 05. Apr 2021 18:43 Titel: |
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@TomS was genau bedeutet es, dass eine Differentialgleichung lokal ist? Kann sie auch nicht lokal sein?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18006
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| TomS Verfasst am: 05. Apr 2021 20:10 Titel: |
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| Corbi hat Folgendes geschrieben: | | @TomS was genau bedeutet es, dass eine Differentialgleichung lokal ist? Kann sie auch nicht lokal sein? |
Es bedeutet, dass ausschließlich infinitesimal benachbarte Punkte bzw. Funktionswerte an diesen Punkten miteinander in Bezug gesetzt werden.
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