Zusammenhang zwischen Viererimpuls und Weltlinie

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2143

Meine Frage:
Hallo zusammen,

bekanntlich ist in der speziellen Relativitätstheorie der Vierimpuls eines freien Teilchens (egal ob m = 0 oder m > 0) stets parallel zur Weltlinie des Teilchens. Meine Frage ist nun, wie man diesen Zusammenhang aus allgemeinen Überlegungen, wie dem Relativitätsprinip und den Symmetrien der Raumzeit, begründen kann.

Meine Ideen:
Die Ansätze, die ich dazu kenne, gehen über das Prinzip der kleinsten Wirkung bzw. über die Lagrange-Funktion L eines freien Teilchens. Allerdings wird sich in allen Darstellungen, die ich dazu gefunden habe, relativ früh auf den Spezialfall eines massiven Teilchens festgelegt, was die Parametrisierung der Bahnkurve über die Eigenzeit des Teilchens erlaubt.

Ich suche sozusagen einen allgemeineren Ansatz, der sowohl für massive als auch masselose Teilchen funktioniert, etwa

L = L(dx/ds)

wobei x = (ct,r) der Ortsvierervektor ist und s irgendein geeigneter Bahnparameter.

Eventuell gibt es aber auch einfachere Überlegungen ohne den Lagrange-Formalismus, die zumindest plausibel machen, wieso der Viererimpuls parallel zur Weltlinie sein muss.

Viele Grüße,
Nils

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2143

Nachtrag:

Auf dieser Seite

https://de.wikipedia.org/wiki/Viererimpuls#Herleitung_der_Geschwindigkeitsabh%C3%A4ngigkeit_von_Energie_und_Impuls

wird unter der bloßen Annahme, dass der Viererimpuls eine additive Erhaltungsgröße ist, die nur von der Geschwindigkeit abhängt, unter Ausnutzungen von gewissen Symmetrien die Beziehung:

p = mu

hergeleitet, wobei u die Vierergeschwindkeit und m ein zunächst beliebiges Skalar ist.

Sowas in der Art habe ich mir vorgestellt. Nur eben allgemein für beliebige Teilchen, egal ob massiv oder masselos.

- Nils

Qubit · Anmeldungsdatum: 17.10.2019 Beiträge: 1116

Wie da ohne Invarianz einer Wirkung argumentiert werden sollte, weiss ich auch nicht. smile

Vielleicht ist aber die Forderung der Existenz eines "momentanen Ruhesystems" S' mit

äquivalent?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Die Herleitung in der Wikipedia gefällt mir; sie passt auch gut in den Kontext des anderen Threads.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2143

Vielen Dank für die Antworten und sorry für die späte Rückmeldung!!

Die Ansätze für die verallgemeinerte Lagrange-Funktion klingen sehr vielversprechend! Ich denke, damit kann ich was anfanfen.

Viele Grüße,
Nils

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21442

Gerne.