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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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 terminus Verfasst am: 21. Nov 2020 16:44 Titel: Rechenregeln: assoziativ u/o kommutativ zulässig? |
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Frage, ob hier die Rechenregeln assoziativ u/o kommutativ zulässig sind?
(nach Susskind et al, S.25)
Gegeben ist ein beliebiger Zustands-Vektor A, der bezüglich der Basisvektoren |u> und |d> dargestellt werden kann als
(1) |A> = U |u> + D |d>
U, D: Komponenten von |A> längs der orthonormalen Basis-Richtungen von |u> und |d>
Nun sollen die Komponenten von |A>, also U und D ausgerechnet werden.
Behauptet wird (ohne Beweis):
(2) U = <u|A>
(3) D = <d|A>
ich versuche das nun nachzurechnen, ohne Rechenregeln zu verletzen :
|A> = U|u> + D|d> // ⋅<u| von links
<=>
<u|A> = <u|U|u> + <u|D|d> // umstellen
<=>
<u|A> = U<u|u> + D<u|d> // <u|u>=1, <u|d>=0 weil orthonormal
<=>
<u|A> = U
damit wäre dann (2) gezeigt, analog für D in (3).
Ist das richtig gerechnet?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 21. Nov 2020 19:10 Titel: |
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Ja, das ist richtig. U und D würde ich aber eher nicht als Komponenten, sondern als Koordinaten oder Entwicklungskoeffiezienten von  bezüglich der Basis  bezeichnen. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 21. Nov 2020 19:14 Titel: |
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danke, dann habe ich ja doch ein wenig verstanden.
Die Nomenklatur mit "Komponenten" stammt hier natürlich wieder nicht von mir, sondern vom Autor Susskind ;-)
Was ist denn der Unterschied zwischen Komponenten und Entwicklungskoeffizienten (der Begriff kam hier noch nie vor)?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 21. Nov 2020 19:21 Titel: |
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Geschmacksache. Ich finde "Komponente" vollkommen normal in diesem Zusammenhang. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 21. Nov 2020 19:30 Titel: |
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supi!
noch eine Anschlussfrage zur Kommutativität von Bra/Kets:⋅
normalerweise gilt doch immer <u|⋅|v> != |v> ⋅ <u| ,
weil dann jeweils die konjugierten Komponenten vertauscht sind, oder täusche ich mich?
(?) 
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Zuletzt bearbeitet von terminus am 21. Nov 2020 22:16, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 21. Nov 2020 19:33 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: |
noch eine Anschlussfrage zur Kommutativität von Bra/Kets:⋅
normalerweise gilt doch immer <u|⋅|v> != |v> ⋅ <u| ,
weil dann jeweils die konjugierten Komponenten vertauscht sind, oder täusche ich mich? |
Ja tust Du. Der Multiplikaitonspunkt "⋅" hat auf der linken und rechten Seite der (falschen) Gleichung jeweils eine andere Bedeutung.
Links = Skalarprodukt
Rechts = Tensorprodukt |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 21. Nov 2020 19:39 Titel: |
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Tensorprodukt hatten wir hier noch nicht, aber wird das nicht durch einen anderen Operator gekennzeichnet (x oder x im Kreis)?
Was ich aber rechts meinte:
einen Bra von rechts an einen Ket multipliziert, als Skalarprodukt.
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Zuletzt bearbeitet von terminus am 21. Nov 2020 19:40, insgesamt einmal bearbeitet |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8576
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| jh8979 Verfasst am: 21. Nov 2020 19:40 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Tensorprodukt hatten wir hier noch nicht, aber wird das nicht durch einen anderen Operator gekennzeichnet (x oder x im Kreis)? |
Eigentlich schon, aber so würde ich Deine rechte Seite lesen... wenn das ein Skalarprodukt sein soll: das schreibt kein Physiker so. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 21. Nov 2020 19:43 Titel: |
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nein, es geht mir auch nur um Rechenregeln:
Die Frage ist, wenn man nach verschiedenen Rechnereien und Herauskürzen etc irgendwo stehen hat
|u> ⋅ <v| ,
ob man es dann vertauschen darf (kommutativ?) zu
<v| ⋅ |u>, denn das ist ja = <v|u>
edit,
haltstopp, ich glaube ich habe den Denkfehler gefunden:
<v| ist ja immer (quasi) ein Zeilenvektor und hat immer die konjugierten Komponenten, egal ob es links oder rechts im Produkt steht, analog |u> als Spaltenvektor immer nicht-konjugierte Komponenten, müsste daher dann doch kommutativ sein...
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18030
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| TomS Verfasst am: 21. Nov 2020 20:08 Titel: Re: Rechenregeln: assoziativ u/o kommutativ zulässig? |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | Gegeben ist ein beliebiger Zustands-Vektor |A>, der bezüglich der Basisvektoren |u> und |d> dargestellt werden kann als
|A> = U |u> + D |d>
U, D: Komponenten von |A> längs der orthonormalen Basis-Richtungen von |u> und |d>
Nun sollen die Komponenten von |A>, also U und D ausgerechnet werden.
Behauptet wird (ohne Beweis):
U = <u|A>
D = <d|A>
|A> = U|u> + D|d>
...
<u|A> = U
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Passt.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | ... ich glaube ich habe den Denkfehler gefunden:
<v| ist ja immer (quasi) ein Zeilenvektor und hat immer die konjugierten Komponenten ... |
Passt nicht.
Und deine eigene Rechnung sollte dich mit der Nase draufstoßen, was dein Denkfehler ist; der Zeilenvektor zu
bzgl. der o.g. Basis lautet
)
mit den Komponenten
Du hast die Komponenten als Zeilenvektor selbst ausgerechnet und solltest daher einsehen können, dass
 )
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 21. Nov 2020 20:41, insgesamt 5-mal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18030
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| TomS Verfasst am: 21. Nov 2020 20:28 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | Die Frage ist, wenn man nach ... irgendwo stehen hat
|u> ⋅ <v| ,
ob man es dann vertauschen darf zu
<v| ⋅ |u>, denn das ist ja = <v|u> |
Nein, das darf man nicht.
ist das Skalarprodukt (inner product) zweier Vektoren, also eine komplexe Zahl.
ist das dyadische Produkt (outer product); der Ausdruck ist ein Operator, der wieder auf Kets wirkt und diese auf Kets abbildet. Das kommt bei Susskind später.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 21. Nov 2020 22:04, insgesamt einmal bearbeitet |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 21. Nov 2020 22:04 Titel: Re: Rechenregeln: assoziativ u/o kommutativ zulässig? |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
| terminus hat Folgendes geschrieben: | ... ich glaube ich habe den Denkfehler gefunden:
<v| ist ja immer (quasi) ein Zeilenvektor und hat immer die konjugierten Komponenten ... |
Passt nicht.
Und deine eigene Rechnung sollte dich mit der Nase draufstoßen, was dein Denkfehler ist; der Zeilenvektor zu
bzgl. der o.g. Basis lautet
mit den Komponenten
Du hast die Komponenten als Zeilenvektor selbst ausgerechnet und solltest daher einsehen können, dass
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das verstehe ich jetzt nicht, da fehlen mir wohl noch ein paar Zwischenschritte und Erläuterungen ;)
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Zuletzt bearbeitet von terminus am 21. Nov 2020 22:10, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18030
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| TomS Verfasst am: 21. Nov 2020 22:05 Titel: |
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Das verstehe ich jetzt nicht. Es ist genau das, was du ausgerechnet hast.
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 21. Nov 2020 22:05 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | terminus hat Folgendes geschrieben: | Die Frage ist, wenn man nach ... irgendwo stehen hat
|u> ⋅ <v| ,
ob man es dann vertauschen darf zu
<v| ⋅ |u>, denn das ist ja = <v|u> |
Nein, das darf man nicht.
ist das Skalarprodukt (inner product) zweier Vektoren, also eine komplexe Zahl.
ist das dyadische Produkt (outer product); der Ausdruck ist ein Operator, der wieder auf Kets wirkt und diese auf Kets abbildet. Das kommt bei Susskind später. |
Gut, wenn es so definiert ist, dann ist es nicht kommutativ, das verstehe ich ;)
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 21. Nov 2020 22:07 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Das verstehe ich jetzt nicht. Es ist genau das, was du ausgerechnet hast. |
ich habe irgend wo was mit U* oder D* ausgerechnet? echt?
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18030
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| TomS Verfasst am: 21. Nov 2020 22:15 Titel: |
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(S. 19 u. 20)
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 21. Nov 2020 22:19 Titel: |
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das weiß ich schon, aber deine Rechnungen verstehe ich nicht, und daher auch nicht deine Schlussfolgerung.
Bei mir immerhin kamen noch keine U* oder D* vor, oder?
Ich kann leider aus den nackten Formeln nichts schließen, ich brauche immer viele Worte als anschauliche Erklärung ;)
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18030
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| TomS Verfasst am: 21. Nov 2020 22:29 Titel: |
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Also du hast du hast U und D selbst berechnet.
Auf S. 19 und 20 wird erklärt, wie man vom den Komponenten des Kets (des Vektors) zu denen des Bras (des dualen Vektors), was ich hier verwendet habe. Damit hast du letztlich auch diese Komponenten U* und D* berechnet.
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 21. Nov 2020 22:43 Titel: |
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ich glaube, wir reden wieder mal aneinander vorbei. ;)
Bei mir sehen die Vektoren
<v| und |u> immer gleich aus, auch immer zur selben Basis und mit konstanten Komponenten (beispielsweise v1*, v2*, u1, u2).
Die Frage ist, wie es definiert ist, wenn man sie multipliziert und man einerseits schreibt
<v| ⋅ |u>
(ist die Summe der komponentenweisen Produkte = Inneres Produkt oder Punktprodukt (LA) )
und andererseits
|u> ⋅ <v|
Letzteres könnte ja durchaus auch die Summe der komponentenweisen Produkte sein, genau wie zuvor, es sei denn, man definiert es anders.
Im ersten Falle wäre es dann kommutativ, im zweiten Falle nicht, und das scheint ja zuzutreffen, falls man das als outer product mit anderen Rechenregeln definiert.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18030
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| TomS Verfasst am: 21. Nov 2020 23:37 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | ich glaube, wir reden wieder mal aneinander vorbei. ;) |
Nein, ernsthaft, du hast das Konzept leider nicht verstanden.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Bei mir sehen die Vektoren <v| und |u> immer gleich aus, auch immer zur selben Basis und mit konstanten Komponenten (beispielsweise v1*, v2*, u1, u2). |
<v| und |u> sind unabhängig von der Wahl der Basis; die Basis ist sekundär (wenn ich von Nürnberg nach Berlin fahre, ist meine Reiseroute unabhängig von der Landkarte und den Koordinaten der Karte)
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Die Frage ist, wie es definiert ist ... |
Ja, das kann man sich fragen.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | ... und andererseits
|u> ⋅ <v|
Letzteres könnte ja durchaus auch die Summe der komponentenweisen Produkte sein, genau wie zuvor, es sei denn, man definiert es anders. |
Warum diskutierst du, wie es definiert sein könnte? Es ist mathematisch präzise definiert, und es sollte dir darum gehen, genau das zu verstehen.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Im ersten Falle wäre es dann kommutativ, im zweiten Falle nicht, und das scheint ja zuzutreffen, falls man das als outer product mit anderen Rechenregeln definiert. |
Es muss mit anderen Rechenregeln definiert sein, weil es etwas anderes bedeutet.
... morgen geht’s weiter ...
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18030
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| TomS Verfasst am: 22. Nov 2020 00:38 Titel: |
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1) Schauen wir uns zunächst folgende Definition an:
 = \langle f | x \rangle )
D.h. wir haben Funktionen f, die Vektoren |x> aus dem Vektorraum V auf komplexe Zahlen abbilden. Dann betrachten wir speziell Funktionen f, die durch Bras <f| definiert sind. Jeder Bra <f| definiert eine derartige Funktion, und statt einer reellen oder komplexen Zahl x steckt man einen Ket |x> in diese Funktion hinein.
Damit können wir Skalarprodukte, die aus Bra und Ket gebildet werden, als derartige Funktionen auffassen. (Und man kann zeigen, dass jede lineare Funktion von V nach C so dargestellt werden kann; man spricht eigtl. von linearen Funktionalen)
2) Nun betrachten wir
 = |g \rangle \langle f | x \rangle )
Wegen (1) können wir das schreiben als
 = |g \rangle \langle f | x \rangle = f(x) \, |g\rangle )
wobei wir noch ausnutzen, dass f(x) eine komplexe Zahl ist, deren Multiplikation mit dem Vektor |g> kommutativ ist.
D.h. wir sehen, dass
ein Operator ist, der Vektoren |x> aus V auf andere Vektoren abbildet.
Und genau deswegen ist Bra-Ket etwas anderes als Ket-Bra. Ersteres liefert eine komplexe Zahl, letzteres einen Operator. Normalerweise wird aus dem Kontext klar, ob ein einzelner Bra oder Ket betrachtet wird, oder ein Bra-Ket-Paar, oder ein Ket-Bra-Paar.
3) Bisher war dies alles Basis-frei. Man jedoch jeden Ket |x> sowie jeden linearen Operator A bzgl. einer an sich beliebigen Orthonormalbasis |n> entwickeln. Dies liefert
Die Komponenten liefern einen Spaltenvektor bzw. eine Matrix.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Nov 2020 09:57 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
| terminus hat Folgendes geschrieben: | ... und andererseits
|u> ⋅ <v|
Letzteres könnte ja durchaus auch die Summe der komponentenweisen Produkte sein, genau wie zuvor, es sei denn, man definiert es anders. |
Warum diskutierst du, wie es definiert sein könnte? Es ist mathematisch präzise definiert, und es sollte dir darum gehen, genau das zu verstehen.
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Mathematisch sind "Bras" ja einfach als stetige lineare Fuktionale über dem "Raum der Kets" definiert. Jedes Ket fungiert aber umgekehrt auch als stetiges anti-lineares Funktional auf den Bras vermöge der Definition
 = \langle \psi|\phi\rangle\qquad\text{(1)})
(extra Klammer auf der linken Seite zur Präszisierung). Diese Definition enstpricht genau der Beschreibung von terminus, soweit ich sie verstehe. Und sie ist in der Form m.E. auch üblich auf allgemeinen Banachräumen.
Aus rein didaktischer Sicht verstehe ich auch überhaupt nicht, warum gerade diese elementaren Darstellungen Bras und Kets als getrennte Objekte einführen. Das ist völlig überflüssig, wenn man ohnehin die Diskussion auf Hilberträume beschränkt. (Um so mehr, wenn die betrachteten Hilberträume auch noch endlichdimensional sind.) Aber wenn man sie einmal so eingeführt hat, kann man Definition (1) oben nicht einfach aus mathematischen Gründen verbieten. Wenn man sich das ganze sparen will, dann sollte man konsequenterweise auch nur einen Hilbertraum mit einer Sorte von Vektoren einführen. Es gibt dann nur Tensorprodukte und Hilbertraumprodukte. Und beide sind offensichtlich nicht kommutativ. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18030
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| TomS Verfasst am: 22. Nov 2020 10:04 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Aus rein didaktischer Sicht verstehe ich auch überhaupt nicht, warum gerade diese elementaren Darstellungen Bras und Kets als getrennte Objekte einführen. |
terminus - mit Background lineare Algebra und Geometrie auf Abiturniveau - hat sich das Büchlein von Susskind ausgesucht, und der verwendet nun mal die Dirac-Notation.
Ich finde es schon hilfreich, zwischen dem physikalischen System, dem mathematischen Objekt “Zustandsvektor” und dessen Komponenten zu unterscheiden, weniger mathematisch als vielmehr sprachlich.
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 22. Nov 2020 10:14 Titel: |
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edit, habs unten nochmal neu geschrieben...
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Zuletzt bearbeitet von terminus am 22. Nov 2020 10:57, insgesamt 16-mal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Nov 2020 10:23 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | index_razor hat Folgendes geschrieben: | | Aus rein didaktischer Sicht verstehe ich auch überhaupt nicht, warum gerade diese elementaren Darstellungen Bras und Kets als getrennte Objekte einführen. |
terminus - mit Background lineare Algebra und Geometrie auf Abiturniveau - hat sich das Büchlein von Susskind ausgesucht, und der verwendet nun mal die Dirac-Notation.
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Ich weiß. Als Konsequenz muß man dann aber eben damit leben, daß es mehrere verschiedene Arten der "Paarung" von Bras und Kets gibt, nicht nur Skalar- und Tensorprodukt, sondern auch alle möglichen Varianten induziert durch irgendwelche linearen oder anti-linearen Isomorphismen zwischen Bras und Kets. Dirac-Notation bedeutet ja auch nicht, daß ich Bras als unabhängige Objekte einführen muß. Ich benötige nur Kets (man kann dann auch "Zustandsvektor" sagen) und ein Produkt  zwischen Kets mit u.a. der Eigenschaft
Die Frage, ob hier irgendwas "kommutativ" ist, stellt sich dann gar nicht.
| Zitat: |
Ich finde es schon hilfreich, zwischen dem physikalischen System, dem mathematischen Objekt “Zustandsvektor” und dessen Komponenten zu unterscheiden, weniger mathematisch als vielmehr sprachlich. |
Was hat das mit der Unterscheidung zwischen dem physikalischen System und dem mathematischen Objekt zu tun? Es geht doch hier um eine rein mathematische Frage, nämlich die ob man einen Spaltenvektor (oder einen abstrakten "Ket") von links mit einem Zeilenvektor (oder abstrakten Bra) skalar multiplizieren kann und ob dabei dasselbe herauskommt, wie bei der Vertauschung der beiden Spalten- und Zeilenvektoren (Kets und Bras). Und es gibt tatsächlich eine basisunabhängige Möglichkeit genau das zu tun. Und soweit ich sehe, wird das auch in bestimmten Formulierungen der Theorie so gemacht.
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 22. Nov 2020 10:58, insgesamt einmal bearbeitet |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 22. Nov 2020 10:57 Titel: |
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@TomS: du musst dich mal von deinem hohen Uni-Niveau herunterdenken.
Alles, was du mit und in Form deiner Abbildungspfeile schreibst, ist mir bislang völlig unbekannt und war auch nie und nirgends Gegenstand meines Schulmathematik-Unterrichts und auch nicht der genannten Bücher, die ich lese.
Ich verstehe sie daher komplett NICHT. Das geht schon los mit
| Zitat: |
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Über was rede ich?
Ich rede oben über eine Verknüpfung mit dem Punkt ⋅ , normalerweise als Multiplikation bezeichnet, und das Ergebnis einer solchen Multiplikation heißt gemeinhin Produkt.
Was eine Multiplikation per ⋅ in den reellen Zahlen ist, lernt man auf dem Gymnasium, und sie ist kommutativ, das lernt man auch. Das Ergebnis ist wieder eine reelle Zahl.
Komplexe Zahlen hatten die wenigsten im Matheunterricht, und wenn, dann nur kurz angerissen.
Wer das Glück hatte, auf der Schule mit kompexen Zahlen zu rechnen, weiß aber, dass auch die Multiplikation per ⋅ mit 2 komplexen Zahlen kommutativ ist. Das Ergebnis ist wieder eine komplexe Zahl.
Die Tatsache, dass man Vektoren multiplizieren kann, wissen auch manche Schüler, auch hier gibt es die Mulitplikation per ⋅ , aber sogar in mehrfacher Weise, was oft suggestiv ist und verwirrend, aber niemals trivial.
Wenn man eine reelle Zahl mit einem Vektor aus reellen Zahlen per ⋅ multipliziert, ist das aber auch kommutativ, man multipliziert dann jeweils die Vektor-Komponenten (die ja auch nur Zahlen sind) mit der Zahl und schreibt das Ergebnis der Multiplikation an die betr. Stelle der alten Komponente, das Ergebnis ist dann also wieder ein Vektor.
Was ist nun eine Multiplikation mit ⋅ und 2 Vektoren?
Da lernt man, dass man hier 2 Spaltenvektoren nicht miteinander multiplizieren kann und auch nicht 2 Zeilenvektoren miteinander, sondern nur einen Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor, und auch nur dann, wenn sie gleich lang sind.
Dafür gibt es auch die Multiplikation mit ⋅ , man rechnet sie aus, indem man die Summe der Komponenten-Produkte bildet. Überraschenderweise ist das Ergebnis aber dann kein Vektor mehr, sondern nur noch eine Zahl (!).
Und, Vermutung: ist doch dann sicher auch kommutativ, oder etwa nicht?
(Aber selbst DIESE Frage werden die meisten gar nicht stellen, sondern schlicht als selbstverständlich annehmen!)
Aber Überraschung, jetzt, hier, weit entfernt von Schule und Schulzeit:
Nein, ist es nicht, obwohl es doch auch das Multiplikationssymbol ⋅ verwendet !?!
Und dann kommt gleich eine zweite Überraschung hinterher:
Es gibt ja DOCH auch eine Multiplikation eines Spaltenvektors mit einem Zeilenvektor, also vertauscht, die sieht zwar genauso aus, auch mit ⋅ , aber die funktioniert ganz anders - saperlott!
Und gleich die dritte: oft werden alle diese Dinge hinter- und aneinandergeklatscht, ohne jedes ⋅ dazwischen, und da soll sich nun noch jemand auskennen, was man wie rechnen soll und kann und muss und darf oder nicht und von links nach rechts oder rechts nach links der von innen nach außern oder von außen nach innen...?!
Auch von Beschreibungen von Funktionen mit den Pfeilen, so wie du sie oben schreibst, mit Mengen und unverständlichen eckigen und spitzen und runden Klammern, war nie in der Schulmathematik die Rede und auch nicht in den genannten Büchern, und sie sind mir so unverständlich, als ob du sumerische Keilschrift und chinesische Logogramme und Piktogramme samt ägyptischer Glyphen neben- und untereinandergeklatscht hättest. Auch völlig unklar was "stetige lineare Fuktionale" sind - noch nie gehört, was soll das sein?
Das ist das Niveau, auf dem wir uns befinden, und von all diesen (neuen) Dingen und Definitionen war bislang nie und nirgends die Rede, weder auf der Schule, noch im Buch von Holzner, noch im Buch von Susskind.
Wenn du also so etwas benutzt, dann bitte gerne, aber schreib dann auch nach jeder Zeile dazu, was welches Symbol und welches Zeichen bedeutet, und zwar alleine als auch in jeder paarweisen Verknüpfung.
PS, nur als Anmerkung:
Ich bin ja sogar in den Genuß gekommen, an der Uni "Mathematik für Naturwissenschaftler" zu belegen, aber selbst da war von all dem vorgenannten "Neuen" nie die Rede.
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Zuletzt bearbeitet von terminus am 22. Nov 2020 11:45, insgesamt einmal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Nov 2020 11:42 Titel: |
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terminus, es hindert dich niemand ein Skalarprodukt zwischen zwei gleichlangen Spaltenvektoren zu definieren. Das sieht einfach so aus
Für die Quantenmechanik von "Zwei-Zustandssystemen", wie einzelnen Qubits, ist das das einzige Produkt, das du benötigst. Es ist natürlich nicht kommutativ.
Man kann selbstverständlich dieses Produkt  auch als Produkt zwischen Zeilen- und Spaltenvektoren umschreiben. Und die Bücher, die du verwendest, tun genau das durch Einführung voneinander verschiedener Bra- und Ket-Vektoren. Es ist aber mathematisch sinnlos zu fragen, ob dieses Produkt dann "kommutativ" ist. Kommutativität ist eine Eigenschaft von Produkten zwischen "gleichartigen" Objekten, wie zwei reellen oder komplexen Zahlen. Zeilenvektoren und Spaltenvektoren sind aber verschiedenartige Objekte (strenggenommen aus verschiedenen Räumen). Wenn du definiert hast was "Zeilenvektor x Spaltenvektor" bedeutet, besagt das überhaupt nichts über "Spaltenvektor x Zeilenvektor". Dies ist eine völlig andere Operation und sie benötigt eine eigene Definition. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 22. Nov 2020 11:50 Titel: |
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ok, das habe ich jetzt verstanden.
Auch das Spaltenvektor-Produkt ist neu für mich, aber danke für den Hinweis, sicher wichtig für "später".
ich wollte aber nur das jetzige Niveau skizzieren, und deine Infos bezüglich Kommutativität sind auf jeden Fall interessant und wichtig, danke, aber sie kamen bislang auch noch nicht auf dem genannten "Niveau" vor.
Mit allem und jedem hier: man muss eben ganz klein und ganz weit unten anfangen, meine Fragen tun dies, und Antworten müssen das auch, um verständlich zu sein.
Fazit nach dem Exkurs:
Es macht einen Unterschied, ob ich ein Bra von links an ein Ket multipliziere oder von rechts, es ist nicht kommutativ, da muss man beim Herumrechnen aufpassen.
(edit,
ohne rechthaberisch sein zu wollen:
Auch das Skalarprodukt (Zahl mal Vektor) ist ja kommutativ, obwohl die beiden "Partner" nicht vom gleichen Typ sind. Es ist eben auf den 2. Blick nicht immer alles so einfach und klar, wie es zuerst scheint.)
Vielen Dank bis hierhin!
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Nov 2020 12:22 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: |
Fazit nach dem Exkurs:
Es macht einen Unterschied, ob ich ein Bra von links an ein Ket multipliziere oder von rechts, da muss man beim Herumrechnen aufpassen.
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Ja, das macht einen Unterschied. Übrigens, wenn du mit einem einzelnen Ket startest, z.B.  , diesen dann mit anderen Kets addierst oder mit Zahlen oder mit Bras mutliplizierst und dich jeweils immer streng an den Driac-Kalkül hältst, dann kann es niemals passieren, daß nach "Rechnereien und Herauskürzen" am Ende sowas dasteht wie  . Wenn doch, dann weißt du, daß du dich vermutlich irgendwo verrechnet hast. Das ist genau der Sinn von solchen Kalkülen, wie dem von Dirac. Sie sollen Rechnungen gewissermaßen automatisieren.
| Zitat: |
(edit,
ohne rechthaberisch sein zu wollen:
Auch das Skalarprodukt (Zahl mal Vektor) ist ja kommutativ, obwohl die beiden "Partner" nicht vom gleichen Typ sind. Es ist eben auf den 2. Blick nicht immer alles so einfach und klar, wie es zuerst scheint.)
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Das sind zwei verschiedene Produkte, nicht ein einziges kommutatives Produkt. Mathematiker sind in dieser Hinsicht sehr penibel. Auf den zweiten Blick gibt es natürlich einen Zusammenhang
}\times_1 \text{(Vektor)} = \text{(Vektor)}\times_2 \text{(Zahl)}.)
Falls du dich mit Programmiersprachen auskennst die Operatorüberladung unterstützen, wird dir bekannt vorkommen, daß man normalerweise beide Operationen definieren muß. (Und man definiert sie so, daß die obige Gleichung gilt.) Mathematik erfordert dasselbe Maß an Präzision. Mit etwas Erfahrung kann man dann allerdings das Maß an Pedanterie wieder reduzieren und unterscheidet nicht mehr explizit zwischen den beiden Operationen  und  . |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 22. Nov 2020 12:34 Titel: |
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schulmathematisch betrachtet, ist die "Pedanterie" aber noch sehr verhalten, ich habe aber ntl verstanden, worauf du hinaus willst.
Vielleicht macht es ja Sinn, um künftige Fragen von mir seitens fakultativ Antwortender schon initial einzuordnen, dass ich immer davor schreibe:
"Achtung, Schulniveau!" ?
;-)
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Nov 2020 14:02 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: |
Vielleicht macht es ja Sinn, um künftige Fragen von mir seitens fakultativ Antwortender schon initial einzuordnen, dass ich immer davor schreibe:
"Achtung, Schulniveau!" ?
;-) |
Das ist nicht nötig, ich habe das schon mitbekommen. Deswegen versuche ich so zu formulieren, daß man es auch auf Schulniveau verstehen kann. Verstehen mußt du es m.E. aber. Der Punkt war der: was wie ein Kommutativitätsgesetz der Multiplikation von Zahl und Vektor aussieht, ist in Wahrheit eine Identifikation von "Rechstmultiplikation" und "Linksmultiplikation". Die Fälle in denen so eine Identifikation sinnvoll oder möglich ist, sind eher die Ausnahme als die Regel, selbst wenn es sich um gleichartige Objekte handeln würde. Bei der Multiplikation von Zeilen- und Spaltenvektoren ist ebenfalls kein Kommutativitästgesetz am Werk. Man könnte natürlich auch hier Rechts- und Linksmultiplikation miteinander identifizieren, aber das ist weit weniger üblich.
Stattdessen definiert man
und
Die Frage nach der Komutativität kann man in der Form nicht stellen. Denn es handelt sich um zwei verschiedene Operationen, nicht um eine einzige. |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 22. Nov 2020 14:36 Titel: |
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danke nochmals, ich hatte das aber schon verstanden!
Nur basierend auf der Schulmathematik wäre ich niemals auf die Idee gekommen, dass es für
Spaltenv ⋅ Zeilenv
überhaupt eine andere Bedeutung geben könnte als für
Zeilenv. ⋅ Spaltenv.
Dass es die gibt, weiß ich aber ja jetzt 8-)
Es gibt aber gleich noch weitere Fragen s. nächster Topic.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18030
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| TomS Verfasst am: 22. Nov 2020 18:20 Titel: |
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@terminus - du wirst dich darauf einlassen müssen, dass einiges, was du in der Schule gelernt hast, nicht der Weisheit letzter Schluss ist.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | ... basierend auf der Schulmathematik wäre ich niemals auf die Idee gekommen, dass es für
Spaltenv ⋅ Zeilenv
überhaupt eine andere Bedeutung geben könnte als für
Zeilenv. ⋅ Spaltenv. |
Deswegen habe ich oben versucht, zu erklären, was diese Ausdrücke bedeuten.
| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Zitat: |
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Über was rede ich?
Ich rede oben über eine Verknüpfung mit dem Punkt ⋅ , normalerweise als Multiplikation bezeichnet, und das Ergebnis einer solchen Multiplikation heißt gemeinhin Produkt. |
Können wir dann einfach mal bei einem Thema bleiben und genau das
| Zitat: |
D.h. wir haben Funktionen f, die Vektoren |x> aus dem Vektorraum V auf komplexe Zahlen abbilden. Dann betrachten wir speziell Funktionen f, die durch Bras <f| definiert sind. Jeder Bra <f| definiert eine derartige Funktion, und statt einer reellen oder komplexen Zahl x steckt man einen Ket |x> in diese Funktion hinein.
Damit können wir Skalarprodukte, die aus Bra und Ket gebildet werden, als derartige Funktionen auffassen. (Und man kann zeigen, dass jede lineare Funktion von V nach C so dargestellt werden kann; man spricht eigtl. von linearen Funktionalen)
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endgültig klären?
Damit meine ich allen Fragen: die von mir genannte Abbildung, die Frage der nicht-Komutativität, die Frage der Basis ...
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 22. Nov 2020 18:46 Titel: |
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danke für dein Angebot, aber im Augenblick habe ich noch nicht die mathematischen Skills, um das zu verstehen, aber vielleicht kommt es ja bald noch beim Weiterlesen, je nach Stand des Textes.
Dass Schulmathe nicht reicht, ist mir aber ntl schon klar.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18030
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| TomS Verfasst am: 22. Nov 2020 19:00 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | danke für dein Angebot, aber im Augenblick habe ich noch nicht die mathematischen Skills, um das zu verstehen, aber vielleicht kommt es ja bald noch beim Weiterlesen, je nach Stand des Textes. |
Verstehst du meinen kurzen Text, den ich nochmal zitiert habe? Wenn nein, was verstehst du nicht?
Der Text besagt genau das, was in den beiden Formeln notiert ist. Und den musst du verstehen, sonst bringt Weiterlesen auch nichts. Also bleib doch zur Abwechslung mal so lange bei einem Thema - Kapitel 1 - bis du es wirklich verstanden hast. Und damit meine ich nicht nur mechanisches Rechnen, sondern die Bedeutung der Rechnung.
Und natürlich hast du die mathematischen Skills!
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
Beiträge: 555
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| terminus Verfasst am: 22. Nov 2020 19:11 Titel: |
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ich bin jetzt etwas überfordert, an 2 Fronten zu kämpfen.
Deine Formelschreibweise mit den Abbildungen/Funktionen kam ja bei Susskind (noch) nicht vor, daher würde ich es jetzt lieber erst mal zurückstellen.
Immerhin habe ich jetzt verstanden:
Es macht einen Unterschied, ob ich ein Bra von links an ein Ket multipliziere oder von rechts, es ist nicht kommutativ, da muss man beim Herumrechnen aufpassen.
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Zuletzt bearbeitet von terminus am 22. Nov 2020 19:14, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18030
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| TomS Verfasst am: 22. Nov 2020 19:14 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | ich bin jetzt etwas überfordert, an 2 Fronten zu kämpfen.
Deine Formelschreibweise mit den Abbildungen/Funktionen kam ja bei Susskind (noch) nicht vor, daher würde ich es jetzt lieber erst mal zurückstellen. |
Was habe ich geschrieben?
| TomS hat Folgendes geschrieben: | Verstehst du meinen kurzen Text, den ich nochmal zitiert habe? Wenn nein, was verstehst du nicht?
Und den [Text] musst du verstehen, sonst bringt Weiterlesen auch nichts. Also bleib doch zur Abwechslung mal so lange bei einem Thema - Kapitel 1 - bis du es wirklich verstanden hast. Und damit meine ich nicht nur mechanisches Rechnen, sondern die Bedeutung der Rechnung. |
Es geht um den Text!
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 22. Nov 2020 19:17, insgesamt einmal bearbeitet |
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terminus
Anmeldungsdatum: 17.10.2020
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| terminus Verfasst am: 22. Nov 2020 19:16 Titel: |
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Das Kapitel im Susskind habe ich glaube ich verstanden - wenn ich was doch nicht verstehen sollte, frage ich wieder.
(cross-post edited:)
Immerhin habe ich jetzt verstanden:
Es macht einen Unterschied, ob ich ein Bra von links an ein Ket multipliziere oder von rechts, es ist nicht kommutativ, da muss man beim Herumrechnen aufpassen.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
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| TomS Verfasst am: 22. Nov 2020 19:33 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Es macht einen Unterschied, ob ich ein Bra von links an ein Ket multipliziere oder von rechts, es ist nicht kommutativ, da muss man beim Herumrechnen aufpassen. |
Wenn du richtig rechnest, wird sich immer eine eindeutige und korrekte Reihenfolge ergeben.
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TomS
Moderator
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| TomS Verfasst am: 22. Nov 2020 19:35 Titel: |
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| terminus hat Folgendes geschrieben: | | Das Kapitel im Susskind habe ich glaube ich verstanden ... |
Lust auf Kontrollfragen?
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