RegistrierenRegistrieren   LoginLogin   FAQFAQ    SuchenSuchen   
Elektrisches Feld unter Coulombeichung
 
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Elektrik
Autor Nachricht
Perry Rhodan
Gast





Beitrag Perry Rhodan Verfasst am: 17. Okt 2020 19:04    Titel: Elektrisches Feld unter Coulombeichung Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Guten Tag.

Ich habe mir noch einmal die Lorenz- und die Coulombeichung genauer angeschaut und bin dabei auf etwas gestoßen, was ich nicht ganz verstehe:

Wenn man sich die Coulombeichung ohne Quellen anschaut, also unter anderem

gilt, so wird ja die erste Maxwellsche Gleichung zur Laplace-Gleichung

Nun steht in sämtlichen Texten, die mir zur Verfügung stehen, es folge daraus, dass

da nun

gelte. (Die Angabe von E oben ist im Gauß-Einheiten System, in SI-EInheiten wäre der Faktor mit 1 durch c stattdessen einfach 1)
Ich verstehe jedoch nicht, warum aus der Laplace Gleichung phi gleich 0 folgen sollte, das ist doch nur eine von vielen Lösungen.

Meine Ideen:
Mein Erklärungsversuch wäre gewesen, es damit zu begründen, dass aus der Laplace Gleichung folgt, dass

Und man somit diese Konstante in der Gleichung

gleich 0 setzen darf, da sie nicht zu den Feldern beiträgt, aber das ist doch Blödsinn, weil sich das elektrische Feld sehr wohl durch so eine Konstante ändert. Es muss also tatsächlich irgendwie phi gleich 0 oder konstant folgen, doch da ist mir nicht klar, wie.

Vielleicht kann mir das jemand aus diesem Forum verständlich machen.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17910

Beitrag TomS Verfasst am: 18. Okt 2020 09:44    Titel: Antworten mit Zitat

Zunächst hat die Poisson-Gleichung



die allgemeine Lösung



mit einer beliebigen harmonischen Funktion



Im quellenfreien Fall



gilt demnach



Betrachtest du nun eine Punktladung am Ort r = a



so folgt aus der o.g. Lösung der Poisson-Gleichung genau dann das Coulomb-Feld



wenn



Es liegt also nahe, diese harmonische Funktion zu Null setzen.

Im Falle komplizierter Randbedingungen ist dies nicht so einfach, aber im R^3 mit Ladungsdichten, die auf einen endlichen Bereich beschränkt sind, sowie unter Abwesenheit von Grenzflächen, die weitere Randbedingungen festlegen würden, ist die physikalisch sinnvolle Lösung.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 18. Okt 2020 09:51    Titel: Re: Elektrisches Feld unter Coulombeichung Antworten mit Zitat

Perry Rhodan hat Folgendes geschrieben:

Wenn man sich die Coulombeichung ohne Quellen anschaut, also unter anderem

gilt, so wird ja die erste Maxwellsche Gleichung zur Laplace-Gleichung

Nun steht in sämtlichen Texten, die mir zur Verfügung stehen, es folge daraus, dass

da nun

gelte. (Die Angabe von E oben ist im Gauß-Einheiten System, in SI-EInheiten wäre der Faktor mit 1 durch c stattdessen einfach 1)
Ich verstehe jedoch nicht, warum aus der Laplace Gleichung phi gleich 0 folgen sollte, das ist doch nur eine von vielen Lösungen.


So viele Lösungen gibt es da nicht. Für Dirichletsche Randbedingungen lautet die allgemeine Lösung der Poissongleichung



wenn sich außerhalb von V keine Ladungen befinden. Für und Randbedingungen im Unendlichen muß gelten [EDIT: nicht ganz, siehe unten]. Und damit folgt . (Für Neumannsche Randbedingungen ist das Argument etwas komplizierter, aber wenn ich das richtig sehe, ergibt sich, daß schneller abfallen muß als . Damit folgt im wesentlichen dieselbe Aussage über . Insbesondere muß ein konstanter Gradient verschwinden.)

EDIT: Nachdem ich nochmal die Potenzen nachgezählt habe, glaube ich, daß aus meinem Argument nur folgt. Das macht aber wohl nichts, denn diese Konstante kann weggeeicht werden ohne die Coulomb-Eichbedingung zu verletzen.
Perry Rhodan
Gast





Beitrag Perry Rhodan Verfasst am: 18. Okt 2020 15:39    Titel: Antworten mit Zitat

Aber wenn ich die Laplacegleichung mit einem separationsnsatz löse, erhalte ich doch unendlich viele Lösungen, die ungleich 0 sind, oder nicht?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 18. Okt 2020 15:52    Titel: Antworten mit Zitat

Aber du mußt ja trotzdem noch geeignete Randbedingungen angeben. Die führen m.E. mit dem obigen Argument über die Greenschen Identitäten auf Damit wird dann o.B.d.A. durch Umeichung .
Neue Frage »
Antworten »
    Foren-Übersicht -> Elektrik