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Verständisprobleme bei der Dirac-Notation
 
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kathi02



Anmeldungsdatum: 13.05.2020
Beiträge: 8

Beitrag kathi02 Verfasst am: 28. Mai 2020 10:15    Titel: Verständisprobleme bei der Dirac-Notation Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Guten Morgen :)

ich denke, dass ich ein kleines Verständnisproblem mit der Dirac-Notation habe und hoffe, dass ihr mir helfen könnt.

In meinem Buch (Griffiths) steht folgendes:
"... ein Zustand eines Systems in der Quantenmechanik wird durch einen Vektor dargestellt, der "draußen im
Hilbert-Raum" lebt, aber ausdrücken könne wir ihn mithilfe einer beliebigen Anzahl von unterschiedlichen Basen. Die Wellenfunktion ist der Koeffizient in einer Entwicklung von in der Basis der Ortseigenfunktionen:

(Hierbei steht für die Eigenfunktion von
\^{x} mit dem Eigenwert x steht)"


Erstmal dazu: verstehe ich das richtig, dass in einem sagen wir n-dimensionalen Raum "lebt" und die Basis dieses Raumes z.B. durch die Orts-Eigenfunktionen bzw. Impuls-Eigenfunktionen aufgespannt wird?
Zweitens: sehe ich richtig, dass quasi die Projektion des Zustands auf die Eigenfunktion
angibt?

Meine Ideen:
Ich dachte eigentlich, dass man den Zustand
in die Form

bringen kann ( sollen dabei noch nicht näher
definierte Basisvektoren sein) wobei diese Basisvektoren dann eben
z.B. durch die Funktionen dargestellt werden können.
Somit würde das Skalarprodukt in im Orts-Eigenfunktionen dann die Form
haben.


Da dieser Gedanke anscheinend jedoch falsch ist, hoffe ich, dass mir jemand von euch (am besten mit einem Beispiel) erklären könnte oder eine gute Literaturempfehlung. Bisher habe ich in Büchern leider nicht das gefunden, was mich zum besseren Verständis gebracht hätte.
Sorry für die lange Frage :/
Liebe Grüße
Kathi
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 1494

Beitrag index_razor Verfasst am: 28. Mai 2020 11:02    Titel: Re: Verständisprobleme bei der Dirac-Notation Antworten mit Zitat

kathi02 hat Folgendes geschrieben:

Erstmal dazu: verstehe ich das richtig, dass in einem sagen wir n-dimensionalen Raum "lebt" und die Basis dieses Raumes z.B. durch die Orts-Eigenfunktionen bzw. Impuls-Eigenfunktionen aufgespannt wird?


Ja, das hast du schon ganz richtig verstanden. Wenn Orts- und Impulsoperatoren im Spiel sind ist allerdings n = unendlich. Hinzu kommt noch, daß die "Eigenfunktionen" dieser Operatoren eigentlich keine Funktionen sind, also in diesem Sinne auch nicht den Hilbertraum "aufspannen", da sie ja selbst keine Elemente des Hilbertraums sind.

Trotzdem kann man der Gleichung



einen Sinn geben. Der Raum, aus dem die |x> stammen wird in Physikbüchern manchmal "rigged Hilbertspace" genannt. Es handelt sich um Distributionen über einem Teilraum des eigentlichen Hilbertraums. Daß man ihnen kein Element aus dem Hilbertraum selbst zuordnen kann, äußert sich normalerweise darin, daß ihre Norm unendlich ist, z.B. für die "Impulseigenfunktionen" gilt ja



Genauso offensichtlich ist das bei den "Ortseigenfunktionen",

Das |n> selbst in der obigen Gleichung ist also auch ein Element aus dem "rigged Hilbertspace", aber im Gegensatz zu |x> eines, dem man einen normalen Hilbertraumvektor zuordnen kann, sofern die "Koeffizientenfunktion" quadratintegrabel ist.

Zitat:

Zweitens: sehe ich richtig, dass quasi die Projektion des Zustands auf die Eigenfunktion
angibt?


Ja, auch das siehst du richtig, solange du im Hinterkopf behältst, daß "Eigenfunktion" hier eine eher saloppe Sprechweise für eine Distribution über einem Teilraum des Hilbertraums ist.

Zitat:

Meine Ideen:
Ich dachte eigentlich, dass man den Zustand
in die Form

bringen kann ( sollen dabei noch nicht näher
definierte Basisvektoren sein) wobei diese Basisvektoren dann eben
z.B. durch die Funktionen dargestellt werden können.
Somit würde das Skalarprodukt in im Orts-Eigenfunktionen dann die Form
haben.


Da dieser Gedanke anscheinend jedoch falsch ist, hoffe ich, dass mir jemand von euch (am besten mit einem Beispiel) erklären könnte oder eine gute Literaturempfehlung.


Also für mich klingt das gar nicht so falsch. Wo genau siehst du da einen Widerspruch?

Ein gutes Lehrbuch über Quantenmechanik ist m.E. Ballentine, "Quantum Mechanics: A Modern Development". Das enthält auch einige Kommentare zum rigged Hilbertspace. Ich weiß allerdings nicht ob es genau das ist, was du suchst. Die mathematischen Grundlagen werden da doch recht knapp abgehandelt, soweit ich mich erinnere.
kathi02



Anmeldungsdatum: 13.05.2020
Beiträge: 8

Beitrag kathi02 Verfasst am: 30. Mai 2020 09:50    Titel: Antworten mit Zitat

Das, was ich zu dem Auschnitt des Griffiths geschrieben habe, habe ich nicht wirklich verstanden. Ich habe nur versucht, bekanntes zu erkennen.

Zu meinem letzten Abschnitt:
Ich dachte, dass der Vektor eigentlich durch die Wellenfunktion dargestellt wird. Sprich das die
Wellenfunktionen eine bestimmte Basis bilden und nicht, dass die Wellenfunktion
lediglich der Koeffizient ist, der sich durch die Projektion des Zustands auf die Ortseigenfunktion ergibt.
Da liegt nämlich mein Problem. :/
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 12397

Beitrag TomS Verfasst am: 30. Mai 2020 10:03    Titel: Antworten mit Zitat

Die Wellenfunktionen sind aber die Komponenten.


Darstellung eines Vektors mittels Komponenten bzgl. einer Basis






Ermittlung der Komponenten durch Projektion auf die Basis






Für Wellenfunktionen einfach die Ersetzung








Eins




Skalarprodukt mittels Einschieben der Eins und Projektion auf Basis




Edit: für Operatoren funktioniert dies ebenfalls; letztlich immer geeignet die Eins einschieben.

_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
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