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Freud
Anmeldungsdatum: 16.05.2020
Beiträge: 1
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 Freud Verfasst am: 16. Mai 2020 16:24 Titel: Newton Gravitationsgesetz Herleitung |
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Meine Frage:
Hallo, ich hatte mich gefragt, wie Newton sein Gravitationsgesetz hergeleitet hat, speziell, ob er dazu Keplers 3. Gesetz verwendet hat. Ich habe mehrere Artikel zur Herleitung des Keplerschen Gesetzes aus dem von Newton, was mich aber verwirrt, hätte Newton seines mithilfe von Kepler hergeleitet. Es wäre super wenn jemand mir auch einen konkreten Artikel oder Buch vermerken könnte, wo eben jenes geklärt wird. Mich interessiert hier lediglich wie Newton es damals hergeleitet hat, dass man es auch aus der Relativitätstheorie herleiten kann ist mir bereits bewusst.
Vielen Dank für jede hilfreiche Antwort!
Meine Ideen:
Ich habe bereits diverse Herleitung mithilfe des Keplerschen Gesetzes gesehen... |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 16. Mai 2020 17:56 Titel: |
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Hallo,
also wie Newton jetzt genau vorgegangen ist, weiß ich natürlich nicht. Aber grundsätzlich ist es ja so, dass sich aus den Newtonschen Axiomen der Ausdruck für die Zentripetalkraft
F = m*w²*r
herleiten lässt. Im Falle einer Planetenbahn um die Sonne weiß man aufgrund des 3. Kepplerschen Gesetzes, dass für die Winkelgeschwindigkeit w gilt:
w² ~ M/r³
wobei M die Masse des Zentralgestirns ist.
Es folgt also:
F ~ m*M/r³*r = m*M/r²
So oder so ähnlich könnte Newton ebenfalls vorgegangen sein.
Viele Grüße,
Nils |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 16. Mai 2020 19:48 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | Hallo,
also wie Newton jetzt genau vorgegangen ist, weiß ich natürlich nicht. Aber grundsätzlich ist es ja so, dass sich aus den Newtonschen Axiomen der Ausdruck für die Zentripetalkraft
F = m*w²*r
herleiten lässt.
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Das gilt aber nur für Kreisbewegungen (oder wenn  ). Ansonsten ist \vec{e}_r) . Auf einer Ellipsenbahn gilt insbesondere, unter Berücksichtigung des Flächensatzes, ja 
| Zitat: |
Im Falle einer Planetenbahn um die Sonne weiß man aufgrund des 3. Kepplerschen Gesetzes, dass für die Winkelgeschwindigkeit w gilt:
w² ~ M/r³
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Hierbei wäre aber r die Länge der großen Halbachse, nicht der Abstand vom Brennpunkt, wie in der vorigen Gleichung.
Für die Herleitung würde ich von der obigen Gleichung für  ausgehen und dann die Ellipsengleichung
einsetzen. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 16. Mai 2020 20:07 Titel: |
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Das ist zwar richtig, aber wenn man unterstellt, dass die Form des Gravitationsgesetzes unabhängig von der Bahn eines Planeten ist (was ja durchaus plausibel ist) wird man natürlich erst mal vom einfachen Spezialfall einer Kreisbahn ausgehen. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 16. Mai 2020 20:51 Titel: |
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Schon, aber dabei gehst du anscheinend davon aus, daß jedes  eine mögliche Bahn beschreibt. Ich denke dies ist unnötig und es reicht stattdessen anzunehmen, daß  für alle im Sonnensystem tatsächlich auftretenden Bahnen unabhängig von ist. Was ja, wenn dies stimmt, eine deutlich schwächere Voraussetzung ist.
Allerdings war die Frage ja eigentlich auch, wie Newton selbst das Gesetz hergeleitet hat. Anscheinend wissen wir darüber beide nicht viel. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 16. Mai 2020 21:11 Titel: |
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Ich gehe nur davon aus, dass a³/T² = const. für allen Bahnformen gilt, also insbesondere auch für Kreise. Also letztendlich gehe ich von der Gültigkeit des 3. Kepplerschen Gesetzes aus. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 16. Mai 2020 21:20 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | Ich gehe nur davon aus, dass a³/T² = const. für allen Bahnformen gilt, also insbesondere auch für Kreise. Also letztendlich gehe ich von der Gültigkeit des 3. Kepplerschen Gesetzes aus. |
Die Keplerschen Gesetze wurden doch auf Basis von Beobachtungen im Sonnensystem formuliert. Ich sage nur, mehr als diese Grundlage benötigt man nicht. Insbesondere benötigt man keine Annahme, die "für alle Bahnformen" gilt. (Es sei denn man beschränkt sich auf alle Bahnen im Sonnensystem.) |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 16. Mai 2020 21:25 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: |
Die Keplerschen Gesetze wurden doch auf Basis von Beobachtungen im Sonnensystem formuliert. Ich sage nur, mehr als diese Grundlage benötigt man nicht. Insbesondere benötigt man keine Annahme, die "für alle Bahnformen" gilt. (Es sei denn man beschränkt sich auf alle Bahnen im Sonnensystem.) |
Vielleicht reden wir gerade aneinander vorbei, aber genau das meinte ich doch auch. Also man muss nicht davon ausgehen, dass die Kepplerkonstante für alle Bahnformen gleich ist. Das ergibt sich natürlich aus der Beobachtung. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 17. Mai 2020 10:02 Titel: |
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Ja, ich glaube wir reden aneinander vorbei. Was ich ursprünglich sagen wollte war, daß dein Argument nicht zeigt, daß für jede Keplerbahn mit demselben  dasselbe universelle Kraftgesetz gilt.
Du zeigst nur, daß es für alle Kreisbahnen gilt und nimmst dann zusätzlich an (aus Plausibilitätsgründen), daß dasselbe Gesetz auch für Ellipsen mit demselben gilt. Du beweist also eine schwächere Aussage. Warum? |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 17. Mai 2020 11:00 Titel: |
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Ah, jetzt verstehe ich was du meinst. Also, ich selbst will ja überhaupt nichts beweisen. Es ging ja in der Frage darum, wie Newton überhaupt auf die Form des Gravitationsgesetzes gekommen ist. Und da halte ich es einfach für plausibel, dass er sich als erstes den einfach zu überblickenden Spezialfall einer kreisförmigen Planetenbahn angesehen hat.
Natürlich muss man sich dann in weiteren Überlegungen klar machen, dass das aus diesem Spezialfall erhaltene Gravitationsgesetz tatsächlich universell ist und auch mit den Gesetzen für elliptischen Bahnen oder den Beobachtungen für den freien Fall kompatibel ist. Aber ich denke, diese Überlegungen kamen erst später.
Wie gesagt, wäre das eine - wie ich finde plausible - Möglichkeit wie Newton auf das Gravitationsgesetz gekommen ist. Ob sich das wirklich so abgespielt hat, kann ich natürlich nicht sagen. Vielleicht hat er auch die Formel geträumt oder einfach richtig geraten...
Viele Grüße,
Nils |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 17. Mai 2020 13:50 Titel: |
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| Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben: | | Es ging ja in der Frage darum, wie Newton überhaupt auf die Form des Gravitationsgesetzes gekommen ist. Und da halte ich es einfach für plausibel, dass er sich als erstes den einfach zu überblickenden Spezialfall einer kreisförmigen Planetenbahn angesehen hat. |
Das musste er nicht, weil das schon andere vor ihm getan hatten (z.B. Hooke und Halley). Newtons Leistung besteht in dem Nachweis, dass dieses bereits bekannte Abstandsgesetz nicht nur für den Spezialfall kreisförmiger Planetenbahnen, sondern für beliebige Bahnen beliebiger Körper gilt. Zunächst hat er festgestellt, dass es nicht auf die uns bekannten Planeten beschränkt ist, indem er die Beschleunigung des Mondes auf seiner Bahn um die Erde mit der von frei fallenden Körpern auf der Erdoberfläche verglichen hat. Dann brauchte im Grunde nur noch zeigen, dass aus dem Gravitationsgesetz wieder die elliptischen Bahnen folgen, die man nicht nur bei Planeten, sondern z.B. auch beim Halleyschen Kometen beobachtet. Dafür musste er allerdings erst eine saubere physikalische Grundlage für den quantitativen Umgang mit Kräften formulieren und die Infinitesimalrechnung erfinden. |
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Nils Hoppenstedt
Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019
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| Nils Hoppenstedt Verfasst am: 17. Mai 2020 14:27 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: |
Das musste er nicht, weil das schon andere vor ihm getan hatten (z.B. Hooke und Halley). |
Ok, dass Newton gar nicht der geistige Vater des Gravitationsgesetzes war, war mir tatsächlich neu. Wieder was gelernt! Aber dennoch wird es wohl so gewesen sein, dass die grundsätzliche Annahme der 1/r²-Abhängigkeit durch Kombination des 3. Kepplerschen Gesetzes für Kreisbahnen mit der Zentripetalkraft zustande gekommen ist. Das wäre zumindest der nahe liegende Ansatz...
Viele Grüße,
Nils |
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Qubit
Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 829
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| Qubit Verfasst am: 17. Mai 2020 17:10 Titel: Re: Newton Gravitationsgesetz Herleitung |
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| Freud hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Hallo, ich hatte mich gefragt, wie Newton sein Gravitationsgesetz hergeleitet hat, speziell, ob er dazu Keplers 3. Gesetz verwendet hat. Ich habe mehrere Artikel zur Herleitung des Keplerschen Gesetzes aus dem von Newton, was mich aber verwirrt, hätte Newton seines mithilfe von Kepler hergeleitet. |
Für Newton war wichtig, dass er die Gravitation als Zentralkraft erkannt hatte. Dachte noch Kepler, die Planeten würden auf "harmonischen Sphären" tangential angetrieben, war Newton klar, dass hierfür eine Zentripetalkraft notwendig wäre.
Ursprünglich hatte Newton versucht, anhand der Bewegung des Monds eine universelle Gravitationskraft zu berechnen. Leider hat es nicht mit dem "Fallen des Apfels" auf der Erde übereingestimmt. Ein paar Jahre hat Newton an seiner Theorie gezweifelt (nichts publiziert) bis klar wurde, dass die Mondentfernung falsch gerechnet wurde. Die wesentlichen Proportionalitäten hat er dann in seiner Principia für beliebige Kegelschnitte hergeleitet (Buch 1) und anhand der Gesetze und Daten von Kepler und Brahe verifiziert (Buch 3).
https://de.wikisource.org/wiki/Mathematische_Principien_der_Naturlehre/Buch1-III
Das reziproke Abstandsquadratgesetz für die Gravitation wurde wohl - wie Nils schon darlegte - so auf "heuristischer" Weise aus einfacheren Betrachtungen basierend auf Keplers Gesetzen gefunden und dann in allgemeineren Fällen bestätigt, wie auch in anderer Richtung (Kraftgesetz->Bahn). |
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5043
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| DrStupid Verfasst am: 18. Mai 2020 19:20 Titel: Re: Newton Gravitationsgesetz Herleitung |
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| Qubit hat Folgendes geschrieben: | | Ein paar Jahre hat Newton an seiner Theorie gezweifelt (nichts publiziert) |
Dass er nichts publiziert hat, lag nicht allein an seinen Zweifeln. Für ihn war das nichts weiter als eine Spielerei. Dass es überhaupt zur Veröffentlichung kam, verdanken wir eher einem Zufall. Halley hat ihn in einem Gespräch über seinen berühmten Komenten die Frage gestellt, ob man die Ellipsenbahn aus einem quadratischen Abstandsgesetz herleiten könnte. Newton sagte ihm, dass er das bereits getan hat. Das Manuskript hatte er allerdings irgendwo vermölt und konnte es auf die Schnelle nicht finden. Später hat er es Halley zugeschickt und dieser hat sofort erkannt, welche Bedeutung es hat. Er hat Newton dann mit einiger Mühe überredet, die komplette Herleitung zu veröffentlichen und hat am Ende sogar die Publikation aus seinem Privatvermögen finanziert.
Das ist leider kein Einzelfall. Es gilt heute als sicher, dass Newton auch die Integral- und Differentialrechnung erfunden hat. Die hat er ebenfalls nicht veröffentlicht (was ihn später aber nicht davon abgehalten hat, darüber einen hässlichen Streit mit Leibnitz vom Zaun zu brechen). Nur der Himmel weiß, was er noch alles nicht publiziert hat, weil er es für unbedeutend hielt.
Ironischerweise ist das, was ihm wirklich wichtig war - nämlich seine Arbeit auf dem Gebiet der Alchemie - heute völlig bedeutungslos und vergessen. |
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