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Wolvetooth
Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260
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 Wolvetooth Verfasst am: 13. Mai 2020 01:38 Titel: Kugelkondensator |
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Meine Frage:
Hallo noch einmal! ich habe folgende Aufgabe:
Ein Kugelkondensator besteht aus einer inneren Kugelschale mit Radius R1 und Ladung +Q, und einer äußeren Kugelschale mit Radius R2 und Ladung -Q.
a) Finden Sie das elektrische Feld und die Energiedichte als Funktion von dem Abstand von dem Zentrum der Kugelschalen r, für 0 < r < unendlich.
b) Berechnen Sie die Energie dW_{el} einer Kugelschale mit Radius r (R1 < r < R2), Dicke dr und Volumen dV = 4pi r^2 dr.
c) Integrieren Sie den Ausdruck aus (b), um die Gesamtenergie des Kondensators zu bekommen.
Meine Frage: Ich möchte wissen, ob ich a und b richtig gelöst habe um c) zu berechnen. Wenn nicht eventuell wissen warum es nicht richtig ist
Meine Ideen:
(Siehe Lösungen)
| Beschreibung: |
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Lösungen.jpg |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 13. Mai 2020 11:17 Titel: |
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| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: | | Ich möchte wissen, ob ich a und b richtig gelöst habe |
Das hast Du nur zum Teil. Im Aufgabenteil a) erweckst Du den Eindruck, als sei die Feldstärke sowohl im Innen- als auch im Außenbereich null. Denn immerhin hast Du von 0 bis unendlich integriert, dabei null herausbekommen und daraus geschlussfolgert, dass die Feldstärke null sei. Dabei hättest Du schon aus Deiner letzten Aufgabe mit der Hohlkugel (hier) lernen können, dass es drei Bereiche gibt, in denen die Feldstärke prinzipiell unterschiedlich ist bzw. unterschiedlich sein kann, nämlich
0 < r < R1:
R1 < r < R2:
R2 < r < unendlich:
Grundlage dafür ist der Gaußsche Flusssatz.
Im Aufgabenteil b) hast Du dann irgendwoher die prinzipiell richtige Feldstärkeformel für den Bereich zwischen Innen- und Außenkugel genommen, die Du im Aufgabenteil a) hättest herleiten sollen. Dazu zwei Anmerkungen:
1. Die Integrationsvariable hast Du in der Skizze mit r (Kleinbuchstabe) bezeichnet, in der Formel aber mit R (Großbuchstabe). Sinnvollerweise solltest Du in Skizze und Formel dieselbe Bezeichnung wählen und zwar die, die auch im Aufgabentext verwendet wird. Dort wird sie r (Kleinbuchstabe) genannt.
2. Du musst Dich entscheiden, ob Du die relative Permittivität  oder  wählst. Du hast in der Formel für die Feldstärke  , also gewählt, in der Formel für die Energiedichte aber  , so dass Dir später beim Kürzen ein  übrigbleibt. Um dieser Schwierigkeit aus dem Wege zu gehen, solltest Du für die Permittivität in jedem fall nur  schreiben. Das gilt dann für alle möglichen Dielektrika. Im Aufgabentext ist dazu ja auch nichts Näheres gesagt.
Was Du wirklich richtig gemacht hast, ist die Herleitung der Formel für die Energiedichte und zwar geschickterweise aus dem homogenen Feld eines Plattenkondensators.
Zum Aufgabenteil c):
Du solltest, bevor Du wild anfängst zu quadrieren (und das auch noch falsch, z.B. ist 4² nicht 8), erstmal alles Kürzbare kürzen. Dann läuft das Integral auf dasselbe Integral hinaus wie in der Aufgabe mit der Hohlkugel, nämlich auf
Dort (in der Aufgabe mit der Hohlkugel) waren nur die Radien anders bezeichnet, nämlich mit a anstelle von R1 und b anstelle von R2.
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Wolvetooth
Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260
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| Wolvetooth Verfasst am: 13. Mai 2020 14:49 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Das hast Du nur zum Teil. Im Aufgabenteil a) erweckst Du den Eindruck, als sei die Feldstärke sowohl im Innen- als auch im Außenbereich null. Denn immerhin hast Du von 0 bis unendlich integriert, dabei null herausbekommen und daraus geschlussfolgert, dass die Feldstärke null sei. Dabei hättest Du schon aus Deiner letzten Aufgabe mit der Hohlkugel (hier) lernen können, dass es drei Bereiche gibt, in denen die Feldstärke prinzipiell unterschiedlich ist bzw. unterschiedlich sein kann, nämlich
0 < r < R1:
R1 < r < R2:
R2 < r < unendlich:
Grundlage dafür ist der Gaußsche Flusssatz. |
Hallo GvC vielen Dank für deine ausführliche Antwort und für deine kompetente Hilfe. Damit wollte ich eigentlich ausdrücken, dass man auf E = 0 kommt, wenn man alle diese drei Bereiche betrachtet, da die innere Kugel eine positive Ladung besitzt und die "äußere" eine negative wobei nur dazwischen ein elektrisches Feld gibt (also wenn R_{1} < r < R_{2})
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Im Aufgabenteil b) hast Du dann irgendwoher die prinzipiell richtige Feldstärkeformel für den Bereich zwischen Innen- und Außenkugel genommen, die Du im Aufgabenteil a) hättest herleiten sollen. Dazu zwei Anmerkungen:
1. Die Integrationsvariable hast Du in der Skizze mit r (Kleinbuchstabe) bezeichnet, in der Formel aber mit R (Großbuchstabe). Sinnvollerweise solltest Du in Skizze und Formel dieselbe Bezeichnung wählen und zwar die, die auch im Aufgabentext verwendet wird. Dort wird sie r (Kleinbuchstabe) genannt. |
Das stimmt, da komme ich selbst immer durcheinander, vielen Dank für die Anmerkung.
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
2. Du musst Dich entscheiden, ob Du die relative Permittivität oder wählst. Du hast in der Formel für die Feldstärke , also gewählt, in der Formel für die Energiedichte aber , so dass Dir später beim Kürzen ein übrigbleibt. Um dieser Schwierigkeit aus dem Wege zu gehen, solltest Du für die Permittivität in jedem fall nur schreiben. Das gilt dann für alle möglichen Dielektrika. Im Aufgabentext ist dazu ja auch nichts Näheres gesagt. |
Alles klar, dann werde ich ab jetzt einfach die Permittivität benutzen
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Was Du wirklich richtig gemacht hast, ist die Herleitung der Formel für die Energiedichte und zwar geschickterweise aus dem homogenen Feld eines Plattenkondensators.
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Ist mein Ergebnis dann in B) richtig? ich meine nicht nur die Herleitung sondern auch den Rest
| GvC hat Folgendes geschrieben: |
Zum Aufgabenteil c):
Du solltest, bevor Du wild anfängst zu quadrieren (und das auch noch falsch, z.B. ist 4² nicht  , erstmal alles Kürzbare kürzen. Dann läuft das Integral auf dasselbe Integral hinaus wie in der Aufgabe mit der Hohlkugel, nämlich auf
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Ja sorry, es war um 1 oder so, deswegen  Dann vermute ich dass ich B doch nicht richtig gelöst habe, weil ich nicht nach kürzen auf:
komme 
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 13. Mai 2020 15:12 Titel: |
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| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: | | Ist mein Ergebnis dann in B) richtig? |
Nein. Und zwar deshalb nicht, weil Du die Energiedichte durch das Volumen dV dividiert hast, anstatt damit zu multiplizieren. Denn der differentiell kleine Energieinhalt ist natürlich Energiedichte mal differentiell kleinem Volumen.
| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: | Dann vermute ich dass ich B doch nicht richtig gelöst habe, weil ich nicht nach kürzen auf:
komme ? |
Na ja, da gibt es schon noch einen konstanten Vorfaktor, den Du aber vor das Integralzeichen ziehen kannst.
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Wolvetooth
Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 15. Mai 2020 18:29 Titel: |
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| Wolvetooth hat Folgendes geschrieben: | ...
Jetzt komme ich auf:
... |
Das kann doch nicht sein. Kontrolliere mal die Einheiten! Die Energieeinheit ist Ws (=VAs). Bei Dir ist die Einheit (As)²/m. Da stimmt also etwas nicht.
Schau Dir mal in Deiner Rechnung zweite Zeile den Ausdruck für dWel an, insbesondere was Du da gekürzt hast. Du solltest erkennen, dass der Nenner quadriert ist, derselbe Ausdruck im Zähler aber in der ersten Potenz steht. Was bleibt nach dem Kürzen also übrig?
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Wolvetooth
Anmeldungsdatum: 13.01.2019
Beiträge: 260
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 17. Mai 2020 14:23 Titel: |
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Deine Rechnung stimmt doch hinten und vorn nicht. Das fängt schon mit dem differentiell kleinen Energieinhalt an und geht dann ungeordnet und ohne Sinn und Verstand weiter. Tatsächlich gilt doch: Energieinhalt ist gleich Energiedichte mal Volumen, für differentiell kleine Elemente also
mit
^2})
und
^2}\cdot 4\cdot\pi\cdot r^2\cdot \dd r=\frac{1}{2}\cdot\frac{Q^2}{4\cdot\pi\cdot\epsilon\cdot r^2}\, \dd r)
Das ist der differentiell kleine Energieinhalt einer infinitesimal dünnen Kugelschale. Nun musst Du die Energieinhalte aller Kugelschalen, aus denen der Raum zwischen R1 und R2 zusammengesetzt ist, aufsummieren (=integrieren):
)
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