Reise zum Mittelpunkt der Erde

v(t)Physik · Anmeldungsdatum: 27.04.2020 Beiträge: 14 Wohnort: DD

Meine Frage:
Hi Physikfreunde,
ich habe hier eine Aufgabe zum Thema Potentieller Energie und Gravitationskraft.

Stellen Sie sich vor, es wird ein gerader Tunnel von Dresden durch den Erdmittelpunkt bis zum antipodalen Punkt (Küste vor Neuseeland) gebohrt. Reisende können sich in diesen Tunnel fallen lassen (Anfangsgeschwindigkeit ?v(t = 0) = 0).
Überzeugen Sie sich, dass auf einen Reisenden mit Masse m lediglich die Gravitationskraft Fg = ?gmr/r??er wirkt, wenn sich dieser im Abstand r vom Erdmittelpunkt befindet, wobei r? = 40.000km/(2?) den Erdradius bezeichne. (Wir nehmen vereinfachend an, dass die Erde eine homogene Dichte ?? besitzt.) Finden Sie ein Potential V (r).

Meine Ideen:
als Ansatz sah ich:

und dabei ist

aber dann komm ich nicht mehr weiter.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Hallo,

am einfachsten ist es wohl, wenn man sich die Erde durch konzentrische Kugelschalen aufgebaut vorstellt. Mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes kann man sich dann überlegen, dass das Innere einer einzelnen, isolierten Kugelschale feldfrei ist. Dies gelingt z.B., indem man den Integralsatz auf einer Testkugel im Inneren der Kugelschale auswertet und die Kugelsymmetrie ausnutzt.

Hieraus folgt, dass auf einen Körper der Masse m, der sich im Abstand r vom Erdmittelpunkt innerhalb der Erde befindet, nur die Kugelschalen mit Radius kleiner oder gleich r eine Gravitationskraft auswirken. Die Gesamtkraft all dieser inneren Kugelschalen beträgt:

F = G*M(r)*m/r²

wobei G die Gravitationskonstante und M(r) die Gesamtmasse der inneren Kugelschalen ist. (Diese Formel kann man entweder als bekannt voraussetzen oder sich ebenfalls mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes überlegen).

Geht man ferner davon aus, dass die Dichte rho der Erde konstant ist, gilt:

M(r) = rho*4/3*pi*r³

Es folgt: F ~ r.

Viele Grüße,
Nils