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alehop
Anmeldungsdatum: 09.11.2016
Beiträge: 7
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 alehop Verfasst am: 25. Apr 2020 18:38 Titel: Freier Fall mit Unschärferelation, Formel umformen |
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Hallo ihr Lieben, ich hab eine Frage zu einer QM Aufgabe. Die Aufgabe lautet, dass Supergirl auf einem Stuhl steht und einen Stein auf eine Kakerlake fallen lässt. Der Stein hat die Masse m=1kg, die Höhe ist H=1,5m. Man soll zeigen, dass der Stein wegen der Unschärferelation mit einer Unsicherheit von
auf dem Boden aufkommt.
Ich dachte eigentlich, dass das relativ einfach wär, wenn man beachtet, dass es sich um einen freien Fall handelt. Also
Nach  umformen, dann  mit  ersetzen und  ersetzen. Leider bekomme ich nicht das richtige raus und weiß auch nicht weiter  Ich hoffe sehr, dass ihr mir helfen könnt!! Danke im Voraus  |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 25. Apr 2020 22:55 Titel: Re: Freier Fall mit Unschärferelation, Formel umformen |
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| alehop hat Folgendes geschrieben: | Hallo ihr Lieben, ich hab eine Frage zu einer QM Aufgabe. Die Aufgabe lautet, dass Supergirl auf einem Stuhl steht und einen Stein auf eine Kakerlake fallen lässt. Der Stein hat die Masse m=1kg, die Höhe ist H=1,5m. Man soll zeigen, dass der Stein wegen der Unschärferelation mit einer Unsicherheit von
auf dem Boden aufkommt.
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Ich denke, daß das Ergebnis im allgemeinen von den Anfangsunschärfen und der Korellation zwischen Anfangsort und Anfangsimpuls abhängen muß. Sind diese Werte gegeben?
Selbst wenn Ort und Impuls unkorreliert sind, bekomme ich
Ich kann im Augenblick nicht erkennen, wie man daraus etwas erhalten soll, was der Behauptung der Aufgabe ähnlich sieht. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 25. Apr 2020 23:18 Titel: |
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Meine erste Antwort nahm an, daß die Unschärfe in vertikaler Richtung gemeint ist. Wahrscheinlich ist aber die Unschärfe in eine horizontaler Richtung gemeint.
Aber auch dann kommt man wohl nur unter bestimmten Annahmen auf das Ergebnis. Allerdings hängt es dann nicht von den Orts- und Impulskorrelationen ab. Ich erhalte dann
Soll nun gelten  ? Die Voraussetzung erscheint mir etwas unnatürlich.
Beide Ergebnisse erhältst du übrigens am besten durch Lösen der Bewegunsggleichungen im Heisenbergbild. In x-Richtung gilt
 und  . Beides integrierst du bis zu der Zeit, an der die mittlere Höhe des Zustand null ist. |
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alehop
Anmeldungsdatum: 09.11.2016
Beiträge: 7
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| alehop Verfasst am: 26. Apr 2020 01:14 Titel: |
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| index_razor hat Folgendes geschrieben: | Meine erste Antwort nahm an, daß die Unschärfe in vertikaler Richtung gemeint ist. Wahrscheinlich ist aber die Unschärfe in eine horizontaler Richtung gemeint.
Aber auch dann kommt man wohl nur unter bestimmten Annahmen auf das Ergebnis. Allerdings hängt es dann nicht von den Orts- und Impulskorrelationen ab. Ich erhalte dann
Soll nun gelten ? Die Voraussetzung erscheint mir etwas unnatürlich.
Beide Ergebnisse erhältst du übrigens am besten durch Lösen der Bewegunsggleichungen im Heisenbergbild. In x-Richtung gilt
und . Beides integrierst du bis zu der Zeit, an der die mittlere Höhe des Zustand null ist. |
Hi index_razor, vielen Dank für deine Zeit und Mühe!! Wir hatten erst 2 Vorlesungen in Quantenmechanik und die einzigen Themen, die wir behandelt haben, waren Photoeffekt, Compton-Effekt, Beugung von Licht am Gitter, Hohlraumstrahlung und kurz über die Unschärferelation. Ich habe die Heisenberg'sche Bewegungsgleichung mal gegooglet und konnte damit nichts anfangen
Ich denke aber, dass du Recht hast mit der horizontalen Unschärfe, weil delta x_Boden noch da steht. Mehr gibt die Aufgabenstellung nicht her 
Versteh ich deine Rechnung richtig? Du hast damit angefangen
Dann über die Zeit integriert
und bei t die Formeln für den freien Fall benutzt
Ich verstehe, wie man dann auf das Ergebnis von der Aufgabenstellung kommt, nur warum wäre es  ? Das erschließt sich mir nicht |
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alehop
Anmeldungsdatum: 09.11.2016
Beiträge: 7
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| alehop Verfasst am: 26. Apr 2020 01:19 Titel: |
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Vielleicht ist das auch ein Tippfehler und die 2 soll gar nicht vor der Wurzel stehen? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 26. Apr 2020 10:11 Titel: |
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| alehop hat Folgendes geschrieben: |
Wir hatten erst 2 Vorlesungen in Quantenmechanik und die einzigen Themen, die wir behandelt haben, waren Photoeffekt, Compton-Effekt, Beugung von Licht am Gitter, Hohlraumstrahlung und kurz über die Unschärferelation. Ich habe die Heisenberg'sche Bewegungsgleichung mal gegooglet und konnte damit nichts anfangen
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Das finde ich eigenartig. Wie habt ihr denn eigentlich den Begriff "Unschärfe" definiert? Es klingt ja nicht so, als hättet ihr da schon einen Präzisionsgrad erreicht, mit dem man allzu viel "zeigen" könnte, wie die Aufgabe erwartet. Offensichtlich ist nach irgendeiner Art Heuristik verlangt. Aber mir fällt leider nichts plausibles ein, womit man hier zum Ziel kommen könnte.
Ich habe den Verdacht, daß entweder die Aufgabe unvollständig ist oder, noch schlimmer, einfach etwas falsches behauptet wird. Wie ich dazu komme, habe ich unten nochmal ganz ausführlich dargestellt. Falls du im Detail nicht folgen kannst, ist das aber nicht weiter tragisch. Ich sehe lediglich nicht, wie man die Aufgabe einfacher lösen könnte, so daß nur deine Vorkenntnisse benötigt werden. Vielleicht fällt jemand anderem noch etwas besseres ein.
Wie die Musterlösung aussieht, würde mich tatsächlich sehr interessieren.
| Zitat: |
Versteh ich deine Rechnung richtig? Du hast damit angefangen
Dann über die Zeit integriert
und bei t die Formeln für den freien Fall benutzt
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Ja, im Prinzip schon. In der Quantenmechanik sind Ort un Impuls ja Operatoren, die die Heisenbergsche Vertauschungsrelation erfüllen, also z.B.
})
Diese Nichtvertauschbarkeit von x und p ist auch die direkte Ursache für die Unschärferelation. Heisenberg hat im Prinzip im Rahmen seiner Matrizenmechanik Bewegungsgleichungen für diese Operatoren aufgestellt, die anstelle der Bewegungsgleichungen für die klassischen Phasenraumfunktionen x(t) und p(t) gelten sollen. Diese Matrizenmechanik findet man in der modernen Quantenmechanik in Form des sogenannten "Heisenbergbildes" wieder. Man findet, daß in diesem Fall die Gleichungen
in x-Richtung, sowie
gelten müssen. Das sind die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen für dieses Problem. Die sehen praktisch genauso aus, wie die klassischen Hamiltonschen Gleichungen, nur eben für Operatoren. Sie lassen sich aber im Prinzip genauso lösen, wenn man im Hinblick auf Gl. (VR) strikt auf die Reihenfolge von  und  achtet, bzw.  und  , für die dasselbe gilt.
Integriert man das erste Paar Gleichungen erhält man
 = \frac{p_x(0)}{m}t + x(0), \qquad p_x(t) = p_x(0).)
Mit diesem Operator x(t) können wir nun Erwartungswerte physikalischer Größen ausrechnen. Wie das im Einzelfall genau funktioniert, wird erst innerhalb des Formalismus der Quantenmechanik erklärt. Allgemeine Aussagen erhalten wir aber auch daraus, daß diese Erwartungswerte linear von den beteiligten Operatoren abhängen. Damit ergibt sich hier z.B. für den mittleren Aufenthaltsort in x-Richtung zur Zeit t
\rangle = \langle x(0)\rangle + \frac{\langle p_x(0)\rangle}{m}t.)
Wenn wir annehmen, daß der Stein anfänglich in Ruhe gehalten wird, ist \rangle = 0) und \rangle = \langle x(0)\rangle) . Wir können das Koordinatensystem also so wählen, daß \rangle = 0) .
Nun zur Unschärfe. Diese ist im Prinzip genauso definiert wie die Standardabweichung der klassischen Statistik, also als die Wurzel aus der mittleren quadratischen Abweichung vom Mittelwert. Da ich den Mittelwert gerade wegdiskutiert habe, gilt also
^2\right\rangle})
Ich benötige also das Quadrat von ) . Hier muß ich nun die Reihenfolge von ) und ) beachten. Ich erhalte
^2 = x^2(0) + \frac{p_x(0)^2}{m^2} t^2 + \frac{t}{m}\left(x(0)p_x(0) + p_x(0)x(0)\right).)
Die Unschärfe zur Zeit t ist also die Wurzel aus dem Erwartungswert dieses Operators. Da ich angenommen habe, daß mittlerer Anfangsort und Anfangsimpuls in x-Richtung verschwinden, gilt
Hierbei sind ^2\rangle}) und ^2\rangle}) jeweils die anfänglichen Unschärfen von Ort und Impuls. Zur besseren Lesbarkeit habe ich ) und ) definiert.
Als Zeitpunkt t interessiert uns offenbar derjenige, zu dem der mittlere z-Wert des Systems verschwindet, d.h. \rangle = 0) . Durch Lösen der Bewegungsgleichung für z erhält man ganz ähnlich wie oben
 = -\frac{1}{2}gt^2 + \frac{p_{z0}}{m}t + z_0)
Daraus folgt mit  und  für t
also
Das ergibt
Das ist m.E. das Ergebnis in voller Allgemeinheit. Ich muß also meine Behauptung von gestern korrigieren: Auch die Unschärfe in horizontaler Richtung hängt von den Korrelationen zwischen Ort und Impuls am Anfang ab. (Diese ergeben sich aus dem Mittelwert am Ende.)
Wenn ich annheme, daß diese verschwinden, dann bleibt immer noch
Das ergibt erstmal nicht die Behauptung aus der Aufgabe, und ich weiß auch nicht, wie man da hinkommen könnte. Ich kann offenbar die initiale Ortsunschärfe nicht einfach null setzen, weil dann die Unschärfe des Impulses am Anfang unendlich sein müßte. |
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