Wechselwirkungspotential und wirkende Kräfte

lucidxtal · Gast

Meine Frage:
Ich habe ein Wechselwirkungspotential

und soll die auf die beiden Teilchen wirkenden Kräfte berechnen.

Meine Ideen:
Mich irritiert dabei, dass das Potential sowohl von den Vektoren als auch deren Betrag abhängt. Kann ich die Kräfte trotzdem mit dem Gradienten des Potentials berechnen oder wird das komplizierter?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Das Potential hängt offenbar nicht nur vom Abstand der beiden Teilchen ab. Das wäre der Fall für eine Funktion f

Wenn V für ein Potential steht, dann kannst du die resultierenden Kräfte sicher mittels

berechnen. Der Nabla-Operator bzgl. des i-ten Vektors i=1,2 liefert dann die Kraft auf das i-te Teilchen.

lucidxtal · Gast

Das heißt dann ist z.B. die Kraft auf Teilchen 1

richtig?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

nee, nicht richtig; der Nablaoperator wirkt doch auch auf die erste e-Funktion

und im zweiten Term muss ein Vektor enthalten sein; bisher steht da nur ein Skalar

lucidxtal · Gast

Ich stehe ein bisschen auf dem Schlauch. Dann muss ich den ersten e-Term nach jeweils nach r1 bzw. r2 ableiten? Aber was passiert mit dem zweiten?

lucidxtal · Gast

Ich habe gerade nochmal drauf geguckt, ich meinte

Das heißt beim zweiten Term bleibt der Vektor

übrig. Aber die erste e-Funktion bleibt mit dem Nabla-Operator doch einfach als Vorfaktor stehen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Betrachte zunächst mal nur den ersten Term für das erste Teilchen und die diesbzgl. Ableitungen; ich setze r statt r_1 sowie a statt r_2, damit das übersichtlicher wird:

und wende bzgl. r den Nabla-Operator an:

Es gilt doch

Also wirkt der Nabla auf das r im Exponenten.

lucidxtal · Gast

So?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Der Nabla ist ein Vektor, jede Komponenten enthält eine Ableitung.

Also produziert er (als Gradient) beim Anweden auf eine skalare Funktion wieder einen Vektor:

lucidxtal · Gast

lucidxtal · Gast

Korrektur und ein bisschen kürzen:

lucidxtal · Gast

Ich habe versucht das auch für den zweiten Teil zu machen. Mit den Beträgen

und

Mit der Produktregel erhält man

Den ersten Nabla Operator habe ich ja eben schon berechnet:

für den zweiten Teil habe ich

Insgesamt komme ich dann auf

Ist das so besser?