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randomphysicist



Anmeldungsdatum: 24.11.2019
Beiträge: 8

Beitrag randomphysicist Verfasst am: 02. März 2020 11:03    Titel: Elektron Impuls Antworten mit Zitat

Hallo, ich habe neulich in einem Buch gelesen, dass ein Atom, welches durch Gravitation zusammengehalten wird, deutlich größer wäre als die angenommene Größe des Universums. Dann wollte ich es selber berechnen.

Das hat auch funktioniert, ich habe die Herleitung des Bohrschen Radius von Wikipedia genommen und einfach das Gravitationspotential für das Coulombpotential eingesetzt. Ich kam auf Meter, was deutlich größer ist als 45 Milliarden Lichtjahre. Soweit so gut. aber dann habe ich nochmal die Herleitung angeschaut und festgestellt, dass ich einen Schritt nicht verstehe. Nämlich die Herleitung von dem Impuls des Elektrons. Die ist auf Wikipedia:

"Der Unschärferelation wegen lässt sich der Impuls des Elektrons grob mit angeben, wobei die Ortsobservable hier durch den Abstand ersetzt wird."

Das verstehe ich nicht, was hat denn die Unschärferelation da verloren? Das ist doch erstmal eine Ungleichung?

Woanders habe ich gefunden, dass man die Drehimpulsquantelung verwendet:



Das finde ich plausibler. Ich verstehe aber den Zusammenhang mit der Unschärferelation noch nicht. Kann mir das jemand erklären?

Die Herleitung ist aus https://de.wikipedia.org/wiki/Bohrscher_Radius
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17901

Beitrag TomS Verfasst am: 02. März 2020 11:23    Titel: Antworten mit Zitat

Die Unschärfenrelation wird gerne verwendet, um derartige Größenordnungen zu motivieren; man sollte das jedoch nicht zu ernst nehmen, insbs. wenn man das mit klassischen Argumenten mischt und/oder auf das unzureichende Bohrsche Modell zurückgreift.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Nils Hoppenstedt



Anmeldungsdatum: 08.01.2020
Beiträge: 2019

Beitrag Nils Hoppenstedt Verfasst am: 02. März 2020 11:56    Titel: Re: Elektron Impuls Antworten mit Zitat

randomphysicist hat Folgendes geschrieben:

"Der Unschärferelation wegen lässt sich der Impuls des Elektrons grob mit angeben, wobei die Ortsobservable hier durch den Abstand ersetzt wird."

Das verstehe ich nicht, was hat denn die Unschärferelation da verloren? Das ist doch erstmal eine Ungleichung?


Ja, das ist halt eine sehr, sehr grobe Abschätzung. Man geht aus von der Unschärferelation:



Die Ortsunschärfe ist gegeben durch den Atomradius a, also gilt



und damit



Und dann sagt man einfach, dass der Impuls selbst etwa in der gleichen Größenordnung ist wie seine Unschärfe, also:



Ja, ich weiß, das ist alles sehr hand-waving. Trotzdem scheint die Abschätzung ganz brauchbar zu sein.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17901

Beitrag TomS Verfasst am: 02. März 2020 13:59    Titel: Re: Elektron Impuls Antworten mit Zitat

Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben:
Ja, das ist halt eine sehr, sehr grobe Abschätzung.

Richtig.

Nils Hoppenstedt hat Folgendes geschrieben:
Ja, ich weiß, das ist alles sehr hand-waving. Trotzdem scheint die Abschätzung ganz brauchbar zu sein.

Auch richtig.

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randomphysicist



Anmeldungsdatum: 24.11.2019
Beiträge: 8

Beitrag randomphysicist Verfasst am: 02. März 2020 14:37    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank! Aber selbst wenn ich diese ganzen Näherungen hinnehme, ist der Impuls immer noch und nicht . Da muss man also irgendwo noch ein reinschummeln grübelnd
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17901

Beitrag TomS Verfasst am: 02. März 2020 14:54    Titel: Antworten mit Zitat

die ganze Argumentation ist hand-waving; da ist ein Faktor 2*pi völlig irrelevant; dafür verschätzt du ich an andere Stelle um ein 2³ und schon passt wieder alles ;-)
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randomphysicist



Anmeldungsdatum: 24.11.2019
Beiträge: 8

Beitrag randomphysicist Verfasst am: 02. März 2020 15:27    Titel: Antworten mit Zitat

Dann ist es für mich eine schlechte Argumentation. Es ist nicht wirklich zu erkennen, wo das herkommt. Bei der Drehimpulsquantelung ist es wenigstens eindeutig. Ich habe mal probeweise versucht, das in Wikipedia anzumerken, vielleicht ändern sie es ja mal. Hammer
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17901

Beitrag TomS Verfasst am: 02. März 2020 15:41    Titel: Antworten mit Zitat

randomphysicist hat Folgendes geschrieben:
Dann ist es für mich eine schlechte Argumentation.

Es ist eine typische hand-waving QM-for-the dummies Argumentation.

Aber sie ist sicher nicht so schlecht, da sie erstens schon von Bohr et al. stammt, und da sie zweitens funktioniert ;-)

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Qubit



Anmeldungsdatum: 17.10.2019
Beiträge: 824

Beitrag Qubit Verfasst am: 02. März 2020 15:49    Titel: Antworten mit Zitat

randomphysicist hat Folgendes geschrieben:
Dann ist es für mich eine schlechte Argumentation. Es ist nicht wirklich zu erkennen, wo das herkommt. Bei der Drehimpulsquantelung ist es wenigstens eindeutig. Ich habe mal probeweise versucht, das in Wikipedia anzumerken, vielleicht ändern sie es ja mal. Hammer


Du kannst nach de Broglie a als Wellenlänge der zugehörigen Materiewelle des Elektrons betrachten:



(ganzahlige) Vielfache von a müssen dann auf der (gequantelten) Kreisbahn liegen:



Für klassische Bahnen ( und Impulse) brauchst du diese Betrachtung aber nicht.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 02. März 2020 16:22    Titel: Antworten mit Zitat

randomphysicist hat Folgendes geschrieben:
Dann ist es für mich eine schlechte Argumentation.


Eine Abschätzung ist eben kein präzises Argument. Sie kann aber in diesem Fall durch ein solches zumindest als Näherung gerechtfertigt werden.

Wenn allerdings behauptet wird auf Basis der Orts- und Impulsunschärfe abzuschätzen, dann sollte man auch tatsächlich die Orts-Impuls-Unschärferelation verwenden, d.h.



wobei und

Für einen Bindungszustand im Ruhesystem ist . Nach geeigneter Wahl eines Ursprungs gilt außerdem .

Das summiert sich dann über alle Komponenten sofort zu



Dies ist eine exakt gültige Ungleichung zwischen der mittleren quadratischen Entfernung vom Potentialzentrum und dem mittleren quadratischen Impuls.

Bis hierin benötigst du also noch keinerlei handwaving.

Zitat:

Es ist nicht wirklich zu erkennen, wo das herkommt.


Der exakte Wert für das mittlere Impulsquadrat kommt natürlich aus dem Integral



Im Falle des Grundzustands von Wassertstoff ergibt dies z.B. zufällig exakt



Der exakte mittlere quadratische Abstand ist aber nicht , sodern



In diesem Fall ist die untere Grenze der Abschätzung oben also um den Faktor 2 zu klein. Trotzdem nicht schlecht.

Zitat:

Bei der Drehimpulsquantelung ist es wenigstens eindeutig.


Das finde ich auch nicht besser. Die Relationen kann man doch höchstens als Näherung für große Quantenzahlen aus allgemeinen Überlegungen begründen. Also nicht unbedingt für n=1.
randomphysicist



Anmeldungsdatum: 24.11.2019
Beiträge: 8

Beitrag randomphysicist Verfasst am: 02. März 2020 23:10    Titel: Antworten mit Zitat

Ich kann hier nicht wirklich mithalten weil ich noch kein QM hatte. Aber ich dachte, das Bohrsche Atommodell ist sowieso halbklassisch?

Warum sollte nicht für kleine gelten? Das würde mich auf jeden Fall interessieren.

Die Unschärferelation kam eben auch eine Weile nach dem Bohrschen Atommodell. Also möchte man sich nicht mit der Bohrschen Herleitung zufrieden geben, sondern es mit der QM vernünftig erklären, um den Bohrschen Radius dann weiterzuverwenden?

Ich finde das mit dem Erwartungswert ganz nett, aber da muss man auch erstmal integrieren. Und dann würde man einfach sagen: ?

Danke für die vielen Antworten!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17901

Beitrag TomS Verfasst am: 03. März 2020 08:23    Titel: Antworten mit Zitat

randomphysicist hat Folgendes geschrieben:
Warum sollte nicht für kleine gelten?

Aus der exakten Lösung der Schrödingergleichung folgen die Quantenzahlen n,l,m mit







D.h. für n = 1 ist zwingend l = 0.

Für den Drehimpuls L gilt



D.h. für l = 0 ist L = 0, und nur für



ist



eine gute Näherung

randomphysicist hat Folgendes geschrieben:
Die Unschärferelation kam eben auch eine Weile nach dem Bohrschen Atommodell. Also möchte man ... mit der QM vernünftig erklären, um den Bohrschen Radius dann weiterzuverwenden?

Kann man tun.

Entweder betrachtet man die oben diskutierte Abschätzung. Diese ist für den elektrischen (e) sowie den gravitativen (g) Fall gleich gut oder schlecht, d.h. für eine Abschätzung des Verhängnisses beider Radien recht zutreffend.

Oder man löst zunächst die Schrödingergleichung für



Man erhält die exakten Bohrschen Radien mittels der Erwartungswerte als Funktion






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index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 04. März 2020 12:30    Titel: Antworten mit Zitat

randomphysicist hat Folgendes geschrieben:
Ich kann hier nicht wirklich mithalten weil ich noch kein QM hatte. Aber ich dachte, das Bohrsche Atommodell ist sowieso halbklassisch?


Ja, darauf will ich ja hinaus.  Deswegen sind doch auch die auf ihm basierenden Abschätzungen nicht besser begründet, als mit der Unschärferelation.  Die ist immerhin rein quantenmechanisch. Wenn man sie zur Herleitung unterer Grenzen verwendet, anstatt ein Gleichheitszeichen reinzumogeln, erlaubt sie ja sogar exakt gültige Aussagen.

Zitat:

Warum sollte nicht für kleine gelten? Das würde mich auf jeden Fall interessieren.


Es geht ja nicht nur um diese Formel.  Das ganze Argument verwendet halbklassische Zusammenhänge zwischen Bahnparametern und beruht im Prinzip auf der Quanisierungsvorschrift von Bohr und Sommerfeld, d.h.



für periodische Bewegungen.  Diese Quantenbedingung läßt sich aus der Quantenmechanik herleiten, indem man eine Näherungsmethode für kleine de-Broglie-Wellenlängen verwendet. (Klein im Vergleich zu den Skalen auf denen sich das Potential merklich ändert.) Diese Methode heißt WKB-Näherung und ist analog zur Herleitung der Strahlenoptik aus der Feldtheorie. Sie liefert einen möglichen Zugang zu dem Übergang von Quantenmechanik zur klassischen Mechanik.

Heuristisch ergibt sich daraus die Bedingung für hohe Quantenzahlen wie folgt. Eine kleine Wellenlänge bedeutet, daß die Wellenfunktion viele Nulldurchgänge macht (eine große "Knotenzahl" besitzt). Wenn man, so wie beim Atom, stationäre Lösungen zu diskreten Energien betrachtet, dann bedeuten mehr Nullstellen wiederum eine größere Hauptquantenzahl n. (Es gibt sogar einen eindeutigen Zusammenhang, den Knotensatz, nach dem die Anzahl der Knoten n ist.)

Zitat:

Die Unschärferelation kam eben auch eine Weile nach dem Bohrschen Atommodell. Also möchte man sich nicht mit der Bohrschen Herleitung zufrieden geben, sondern es mit der QM vernünftig erklären, um den Bohrschen Radius dann weiterzuverwenden?


Der Bohrsche Radius spielt m.E. keine besondere Rolle außer im Zusammenhang mit den statistischen Größen für x und p.

Zitat:

Ich finde das mit dem Erwartungswert ganz nett, aber da muss man auch erstmal integrieren. Und dann würde man einfach sagen: ?


Ja, wie gesagt der mittlere Impuls selbst verschwindet aus trivialen Gründen. Er eignet sich also nicht zur Formulierung von Aussagen über "den" Impuls. Man könnte stattdessen auch oder irgendwelche höheren Momente von p betrachten (wenn sie existieren). Aber das quadratische Mittel wird wohl in diesem Zusammenhang meist als die natürlichste Definition angesehen. Letzdendlich ist die Frage was "der Impuls" eine Elektrons in einem Atom ist eben auch mit einer gewissen Vagheit verbunden.
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