Auftrieb Heißluftballon

PhysikDau · Anmeldungsdatum: 23.01.2020 Beiträge: 9

Hallo zusammen,
ich habe ein Verständnisproblem bei einer Aufgabe zum Auftrieb.Gegeben ist folgendes: m(Hülle+Last)=

und Radius r des aufgeblasenen Ballons sowie die Dichte von Luft

bei 0°C und Volumenausdehnungskoeffizient Luft.
Frage a) Berechnen Sie Volumen

und Masse

der in der Hülle befindlichen Luft bei 0°C.
Unter der Annahme, dass der Radius für 0°C gilt und die ganze Bude kugelförmig ist, ist das kein Problem. Ich kenne nun also die Masse der Luft bei 0°C
Frage b) Auf welche Temperatur muss die Luft im Ballon erwärmt werden, damit der Ballon gerade schwebt (Masse der Luft

im Ballon sei konstant und somit

.)

Mein Ansatz: Ballon schwebt, wenn F_Gewichtskraft=F_Auftrieb bei der gesuchten Temperatur T1 ist. Da sich die Temperatur aber erhöht, dehnt sich die Luft aus, die Dichte sinkt. Folge, der Radius des Ballons vergrößert sich bei größeren Temperaturen.
Zurück zu F_G: Das ist die Gewichtskraft im Gleichgewichtszustand, die auf den Ballon wirkt, also

.
Das setze ich nun gleich der Auftriebskraft, die auf den vergrößerten Ballon wirkt

.

kann ich über den Volumenausdehnungskoeffizienten mit

und

verknüpfen und dann nach der Temperaturdiffernz auflösen.
Mein Problem ist nun, dass mein Ansatz wohl flasch ist. Die Musterlösung sieht folgendes vor

, also das ursprüngliche Volumen bei T=0°, kombiniert mit der Dichte der erwärmten Luft. Das verstehe ich nicht. Warum kombiniert man

hier mit

? Zudem wird das gleiche bei der Auftriebskraft gemacht:

. Auch hier müsste meiner Meinung nach das vergrößerte Volumen hin.
Any ideas?
Besten Dank!
Viele Grüße

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Na weil ein Heißluftballon unten ein Loch hat, aus dem überschüssige Luft entweichen kann.

Nils

PhysikDau · Anmeldungsdatum: 23.01.2020 Beiträge: 9

jo, in der Realität ist das wohl so. In dieser Aufgabe sol das Ganze aber unter Masserhaltung, also geschlossenem Ballon ablaufen, egal wie unsinnig das erscheint.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2019

Dem widerspricht aber die Musterlösung...

PhysikDau · Anmeldungsdatum: 23.01.2020 Beiträge: 9

Das seh ich auch so. Einerseits soll Masserhaltung im Ballon gelten, andererseits bleibt das Volumen des Ballons anscheinend konstant. Wie soll das funktionieren?