Drehfrequenz eines Vollzylinders

Lazar · Anmeldungsdatum: 05.01.2020 Beiträge: 8

Ich habe folgendes gegeben:

Ein Vollzylinder rotiert frei um eine dünne Achse (Drehfreuqenz 7,5 Hz) und wird waagerecht auf den Boden gesenkt. Dabei wird er in dem Moment losgelassen in dem der rotierende Zylinder den Boden berührt. Durch Reibung beginnt der Zylinder sich in Bewegung zu setzen, während die Rotationsgeschwindigkeit abnimmt. Mit welcher konstanten Rotationsgeschwindigkeit rollt der Zylinder am Ende?

Ich habe leider keine Idee wie ich diese Aufgabe angehen soll. Für Ansätze währe ich sehr dankbar.

LG
Lazar

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 6200

Die Reibungskraft, die auf den Zylinder wirkt, führt einerseits zu einer Impulsänderung, anderseits auch zu einer Drehimpulsänderung des Zylinders (Drehimpuls bezüglich der Zylinderachse). Das erlaubt, Gleichungen für

und

aufzustellen. Die Reibungskraft hängt natürlich vom Reibungskoeffizienten ab; nimm einfach einmal an, der Koeffizient habe einen bestimmten Wert

und probiere, Gleichungen für v(t) und

aufzustellen.

Für den Zeitpunkt

, bei dem der Übergang vom Gleiten zum Rollen stattfindet, gilt nun

. Diese Gleichung kann nach

aufgelöst werden, womit man auch die gesuchte Winkelgeschwindigkeit

erhält.

PS: Beim Auflösen könnte verwirren, dass der Zeitpunkt des Übergangs zum Rollen vom Zylinderradius r abhängt. Das ist richtig - die gesuchte Winkelgeschwindigkeit ist dann allerdings unabhängig von r.
Man könnte auch versuchen, über eine Energiebetrachtung die Aufgabe zu lösen. Man muss dann aber etwas aufpassen, da die geleistete Reibarbeit vom zurückgelegten Weg der relativen Bewegung zwischen den beiden Oberflächen Zylinder/Boden abhängt.

Nils Hoppenstedt · Anmeldungsdatum: 08.01.2020 Beiträge: 2143

Der bei dem Vorgang übertragene Linearimpuls beträgt:

Der übertragende Drehimpils beträgt:

.

Bezeichnen wir mit

die gesuchte Endgeschwindigkeit des Zylinders, so ist die Impulsänderung

. Die Rotationsgeschwindigkeit bezüglich der Zylinderachse ändert sich von

auf

, also beträgt die Änderung des Drehimpulses

. Kraft und Drehmoment hängen schließlich noch über

miteinander zusammen. Durch Einsetzen der Ausdrücke in die obigen zwei Gleichungen kann man schließlich nach der Endgeschwindigkeit auflösen. Dabei fliegt die Kraft übrigens heraus.