freier Fall; Berechnung Gegenkraft bei Aufprall

MichaelT · Anmeldungsdatum: 05.07.2006 Beiträge: 6 Wohnort: Ostenfelde

Hallo Leute!

Ich habe versucht ein Programm zu schreiben, welches den freien Fall eines Balles simuliert.

Mittlerweile weiß ich, dass sich die Position durch Addition der Geschwindigkeit ändert.

Nur mal auf y-achse bezogen:

posY = posY + vY

Die geschwindigkeit ändert sich durch Beschleunigung:

vY = vY + aY

im freien Fall ist a = g = 9,81 (Erdbeschleunigung)

Jetzt habe ich ein paar Fragen:

- Alle Objekte fallen gleichschnell?

- Wie kann ich die Kollision simulieren?
Ich habe vY negiert (aus vY = 30 wird vY = -30) und den Ball einfach weiterlaufen lassen. Leider hüpft er dann jedoch immer wieder in seine Ausgangsposition zurück und dann fängt dasselbe wieder von vorne an, weil a ja gleichbleibt. Dann habe ich aus vY = 30 vY = -15 gemacht. Also erst vY durch 2 geteilt und dann negiert. Jetzt hüpft der Ball (halbwegs) richtig. Hättet ihr vielleicht eine Formel, zur genauen Berechnung? Es wirkt ja eine Kraft auf den Ball, wenn er ankommt. Und irgendwie muss man jetzt, glaube ich, Masse mit einberechnen. Denn eine Eisenkugel mit dem Gewicht 1 Tonne hüpft nicht mehr nach oben, wenn sie fällt (oder nur minimal). Eine Eisenkugel mit einem Gewicht von 5 KG jedoch springt nochmal nach oben.

Ich hoffe, ihr habt mein Problem verstanden und könnt mir helfen!

Ciao
Michael

P.S.: Wenn ihr mir nicht helfen könnt, ist auch nicht schlimm, weil ich mich nur aus Langeweile mit dem Thema beschäftige (habe Ferien und nichts zu tun smile

)

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Eigentlich müsstest Du bei der Simulation noch einen Zeitschritt definieren. Die Formel ist ja eigentlich:

und entsprechend mit Geschwindigkeit und Beschleunigung.
Deine Gleichung stimmt also nur, wenn Du für die "Zeitscheiben" von 1 ausgehst. Man könnte jetzt natürlich die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen so umrechnen, dass die Zeiteinheit entsprechend fein wird, aber ich denke es wäre besser mit variable Delta-t arbeiten zu können.

Aber zu Deinen Fragen:
Ja, alle Körper fallen gleich schnell. Sie unterliegen alle der selben Erdbeschleunigung. Allerdings ist dabei noch nicht die Luftreibung berücksichtigt. Das ist nämlich der Grund, warum eine Feder langsamer fällt, als ein Stein z. B..

Für den Stoß auf den Boden müsste man wissen, was für Materialien das genau sind und wie die Form des Körpers ist etc... Das ist im Detail extrem schwierig zu berechnen. Ich denke, dass Dein Ansatz, dass die Geschwindigkeit um einen bestimmten Faktor nach der Reflektion kleiner wird ist schon mal ganz brauchbar.
Dass ein extrem schwerer Körper nicht mehr so gut zurück gestoßen wird liegt daran, dass viel mehr Energie beim Aufprall verloren geht, weil die beteiligten Dinge i. A. plastisch verformt werden, wogegen bei einer leichteren Kugel aus Metall, die z. B. auf einer Metallplatte springt, die Verformungen größtenteils elastisch sein werden und deshalb wenig Energie beim Stoß verloren geht.
Aber so allgemein kann man das wahrscheinlich nicht machen/simulieren. Dazu müsste man ganz genau wissen, wie der Aufbau ist und wie die Materialkonstanten sind und so weiter. Der Effekt wird auch nicht irgendwie linear sein, sondern der Übergang von elastischen Verformungen zu plastischen wird wahrscheinlich ab einem bestimmten Auftreffimpuls einsetzen und dann recht plötzlich die Elastizität geringer werden bei dem Stoß.

Gruß
Marco

MichaelT · Anmeldungsdatum: 05.07.2006 Beiträge: 6 Wohnort: Ostenfelde

Hallo!

Ich kann leider nicht so viel mit der Formel anfangen:

Delta z(t) = z(t+Delta t) - z(t) = v_z(t) * Delta t

Z.B. weiß ich nicht, was das delta-zeichen bedeuten soll (soweit sind wir in der schule noch nicht). und was heißt z(t)? Funktion z mit zeit t?

Könntest du diese Formel bitte erklären?

Dann noch ein Problem:
Ich habe festgestellt, dass ich gar nicht v = v + a rechnen kann, weil v die Einheiten s/t und a die einheiten m/s² hat. Oder liege ich jetzt ganz falsch? Ich habe das Thema noch nicht in der Schule gehabt, deswegen weiß ich nicht soviel über das Thema.

Schrödingers Katze · Anmeldungsdatum: 10.07.2005 Beiträge: 695 Wohnort: Leipzig

Mit dem Runterfallen ist das so:
Ein beliebiger Körper (Masse/ Form) würde in einem luftleeren Raum so schnell wie jeder andere, der sich ebenfalls darin befindet, fallen.
Bietet sich dem Körper jedoch ein Widerstand, eben durch 'Luftteilchen', wird er darin gehemmt. Das heißt jedoch noch nicht, dass gleich beschaffene Köper (z.B. gleiche Form und gleiche Oberfläche, z.B durch eine von Kern unabhängige Ummantelung), die jedoch von unterschiedlicher Masse sind, gleichschnell fallen. Auf einen schwerer Körper wirkt nämlich nach F=m*g eine größere Kraft, sodass die Luftreibung einen kleineren Anteil am Gesamten einnimmt, womit er schneller fallen würde.
Jedenfalls ganz simpel ausgedrückt. Es gab dazu schonmal einen Thread, vllt suchst du mal danach.

Um das zu - simulieren, ein simples Programm tuts da nicht mehr - müsstest du Angaben über die Masse, die Form, die Oberflächenstruktur und nicht zuletzt die Luftbeschaffenheit haben (Luft ist ja am Erdboden dichter als weiter oben und so) -
und das halte ich für ausgesprochen knifflig, zumal du besser erstmal die grundlegenden Zusammenhänge für die Bewegung lernst.

Gleiches gilt für die Energieverluste bei Verformungen. Ich denke es wäre für sich zweckmäßiger, wenn du zunächst einmal einfach den freien Fall "simulierst", und dann irgendwie da eine abnehmende Amplitude einführst.
Standartmäßig nimm das doch nach einer Exponentialfunktion ab, du müsstest also deinen Faktor mit einer Zeitabhängigkeit versehen. Aber das hat ja as_string schon irgendwie so geschrieben...

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ist etwas schwierig, wenn Ihr das noch nicht in der Schule hattet... Ich veruch's trotzdem mal:
Du weißt ja, dass man bei konstanter Geschwindigkeit die zurück gelegte Strecke mit der Formel:

schreiben kann. Das s(t) bedeutet dabei, dass die Strecke von der Zeit abhängt, mehr nicht. Du kennst das vielleicht, wenn man mit dem Auto in den Urlaub fährt und man insgesamt 500km zurück legen muß, dabei aber konstant 100km/h fährt. Dann kannst Du die Gleichung von oben nach t auflösen und bekommst t = 5h raus. umgekehrt kannst Du sagen: Wenn man 3h mit 120km/h fährt, dann hat man insgesamt 120km/h*3h = 360km zurück gelegt.
Ich habe bei der Formel oben z benutzt, weil wir ja von einem freien Fall reden und der sich normalerweise ja in der z-Koordinate abspielt. Ich sehe gerade, das ist das selbe, das Du mit posY bezeichnet hattest. Normalerweise macht man gerne die z-Koordinate nach oben. Aber mit y ist es natürlich auch richtig, das kannst Du definieren, wie Du möchtest. z(t) bedeutet einfach wieder, dass sich der Wert der z-Koordinate mit der Zeit ändert.
Das Delta soll nur für "Differenz" stehen. Von einem Zeitschritt zum nächsten ändert sich ja durch die Beschleunigung die Geschwindigkeit und durch die Geschwindigkeit die Position (bei mir das z. bei Dir posY). Die Differenz habe ich dann nach dem Gleichheitszeichen nochmal ausgeschrieben. Genau so mit dem Delta-t. Das sind die Zeitschritte (-Intervalle), die ich meinte, also die Differenz zwischen einem und dem nächsten Zeitpunkt.
Aber zurück zu den Gleichungen: Die Gleichung von oben ist nur dann richtig, wenn sich in der ganzen Zeit die Geschwindigkeit nicht ändert, also konstant bleibt. Sonst müsste man mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit rechnen und so, das wollen wir hier aber nicht...
Bei Dir ist die Geschwindigkeit aber leider nicht konstant, sondern wird beim Fallen ja immer größer. Deshalb behilft man sich mit einem Trick: Für einen ganz, ganz kurzen Zeitraum (Delta-t) ist die Geschwindigkeit ja fast konstant. Wenn wir die Geschwindigkeit zu dieser Zeit kennen (also v(t)) dann können wir die neue Position ausrechnen. Die Geschwindigkeit mal dem kleinen Zeitintervall ist nämlich gerade die Änderung der Position, also:

Im Programm nimmst Du also Dein altes z (oder Dein posY) und addierst dazu die aktuelle Geschwindigkeit multipliziert mit Deinem kleinen Zeitintervall (das würde ich im Programm einfach festlegen. Theoretisch könntest Du auch immer schauen, wieviel Zeit wirklich vergangen ist (mit der Rechner-Uhr) und immer das dann als Basis nehmen, das hat den Vorteil, dass die Simulation quasi in Echtzeit abläuft).
Genau das selbe machst Du auch mit der Beschleunigung und der Geschwindigkeit. Eigentlich machst Du das sogar zuerst. Du addierst zu Deiner alten Geschwindigkeit einfach g*Delta t dazu. Deine Schleife würde also ungefähr so aussehen:

MichaelT · Anmeldungsdatum: 05.07.2006 Beiträge: 6 Wohnort: Ostenfelde

Hallo!

Danke für die schnelle Antwort(en)!

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

Ja, da habe ich einen Fehler. Das soll v sein, nicht z. Ich korrigiers gleich noch...

Nochmal zu den Zeitintervallen: Das ganze startet ja zu einem bestimmten Zeitpunkt. Du kannst das jetzt mit der Zeit laufen lassen. Je schneller Dein Rechner ist, desto kleinere Zeitschritte kannst Du berechnen.
Z. B. mit Position und Geschwindigkeit. Wenn Du momentan gerade eine Geschwindigkeit von 5m/s hast. Dann ändert sich die Position in einer zehntel Sekunde ja um einen halben Meter und in einer 100-tel Sekunde um 5cm. Du kannst also eigentlich nicht einfach die Geschwindigkeit zur aktuellen Position dazu addieren, sondern mußt Dir überlegen, in welchen Zeitschritten das ganze ablaufen soll. Nur wenn der Zeitschritt genau eine Sekunde wäre, wären Deine Gleichungen (numerisch) richtig. Das wäre aber sehr unflexibel.
Genau das selbe gilt für die Beschleunigung. Bei einer Beschleunigung von 9,81m/s² ändert sich die Geschwindigkeit in einer zehntel Sekunde um 0,981m/s und in einer 100-tel Sekunde eben um 0,0981m/s. Je feiner die Zeitschritte sind, desto genauer wird die Berechnung. Desto mehr muß allerdings auch berechnet werden.
Wenn Du dieses Zeitintervall immer dazu multiplizierst, dann stimmt es übrigens auch wieder mit den Einheiten. Weil die Position ja in Metern ist, die Geschwindigkeit in m/s und die Beschleunigung in m/s². Es kürzt sich dann immer einmal die Sekunde weg und es passt wieder alles.

Übrigens: Der nächste Schritt ist, dass die Beschleunigung nicht mehr konstant ist, sonder von der Position und/oder sogar von der Geschwindigkeit abhängt. So kannst Du z. B. einen Planeten simulieren (dann in 2 oder sogar 3 Dimensionen), wie er um die Sonne kreist. Oder gleich das ganze Sonnensystem? Naja, wir wollen erstmal klein anfangen, oder?

Gruß
Marco

MichaelT · Anmeldungsdatum: 05.07.2006 Beiträge: 6 Wohnort: Ostenfelde

Hallo!

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5786 Wohnort: Heidelberg

OK. Das klingt ja schon alles ganz gut!

Ja, das mit Kraft und so, da muss ich etwas weiter ausholen... Das ist der Kernpunkt der Newton'schen Physik. Wahrscheinlich kann ich Dir das auch nicht so einfach und kurz erklären...

Also, bis jetzt haben wir den Zusammenhang von Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort/Position. Woher kommt aber die Beschleunigung?
Dazu stelle Dir erstmal einen Eisenklotz vor, der schwerelos im Weltall schwebt. Wenn er schwerelos ist, wird er ja auch nicht irgendwie beschleunigen, sondern behält seine Geschwindigkeit so, wie er sie nun mal von Anfang an hat.
Wenn ich seine Geschwindigkeit ändern wollte, und das genau ist eine Beschleunigung, dann müßte ich mit einer Kraft an ihm drücken/ziehen/schieben. Je stärker die Kraft, desto stärker wird die Beschleunigung sein.
So ein Eisenklotz hat aber auch eine sog. Trägheit. Wenn man daran schiebt kommt es einem vor, als ob er dagegen drücken würde. Er wird zwar schon schneller, aber je schwerer er ist, desto mehr Kraft braucht man, um ihn gleich stark zu beschleunigen.
Alles zusammen gibt das berühmte Newton'sche Gesetz (hier in einer etwas einfacheren Fassung):

oder nach a aufgelöst:

Wenn wir die letzte nehmen, dann siehst Du, dass die Beschleunigung um so größer wird, je größer die Kraft ist, die auf einen Körper wirkt und umgekehrt bei gleicher Kraft die Beschleunigung aber geringer wird, wenn man versucht damit einen Körper mit größerer Masse zu beschleunigen.
Was ist jetzt aber, wenn mehrere Kräfte gleichzeitig an einem Körper ziehen? Da wird's jetzt etwas schwierig, weil Du wahrscheinlich auch noch keine Vektoren hattest. Die wirst Du unbedingt noch brauchen, wenn Du eine wirklich mehrdimensionale Simulation machen willst. Der freie Fall spielt sich ja nur in einer Dimension (oben/unten) ab. Naja, auf jeden Fall: Wenn Du mehrere Kräfte hast, die auf einen Körper wirken, dann mußt Du die alle vektoriell addieren und hast dann eine resultierende Kraft, die zu einer Beschleunigung führt.
Jetzt aber zur Gravitation. Das ist nämlich auf der Erde genau die Kraft, die zu der Erdbeschleunigung aller Körper führt, wenn man sie frei fallen läßt. Dann wirkt auf sie nämlich nur die Gravitation. Wenn man sie in der Hand hält, übt man zusätzlich eine Kraft mit der Hand auf den Körper aus, die nach oben gerichtet ist und dann die Gewichtskraft/Gravitation nach unten aufhebt. Die resultierende ist dann =0 und deshalb bleibt der Körper ruhig in der Hand.
Man kann die Gewichtskraft/Gravitation so ausrechnen:

also Masse mal Erdbeschleunigung. Wenn Du das jetzt mit der Newton'schen Gleichung von oben vergleichst und aus der Kraft die Beschleunigung ausrechnest, dann siehst Du, dass das hier rauskommt:

Das heißt, die Beschleunigung, die Du die ganze Zeit in Deiner Simulation berechnet hast, ist genau die Wirkung der Gravitations-Kraft auf Deinen frei fallenden Körper. Dadurch, dass sich die Masse weg kürzt, fallen alle Körper gleich schnell, egal wie schwer sie sind.

Gruß
Marco

MichaelT · Anmeldungsdatum: 05.07.2006 Beiträge: 6 Wohnort: Ostenfelde

Hallo!

Also: Gravitation == Gewichtskraft?

Die Gewichtskraft läßt sich also mit

berechnen. Aber dann kann Gravitation doch nicht dasselbe sein, oder?

Dass mit der Kraft, die den Eisenklotz drückt habe ich verstanden. Mal als Test:
Ein Ball fällt, weil die Gravitation ihn nach unten zieht/drückt. Fange ich den Ball, so wirkt meine Kraft dem entgegen und die beiden Kräfte neutralisieren sich. Welche Kraft muss ich eigentlich aufwenden? Nur die Gewichtskraft? Oder kommen da noch andere Kräfte hinzu?

Das bedeutet: Die benötigte Kraft ist gleich die Masse
mal Beschleunigung. Richtig?
Wegen den Einheiten:
F = N
m = g oder Kg
a = m/s²

Das heißt
F = Kg * m/s²
Warum ergibt das die Einheit Newton?

Nikolas

MichaelT · Anmeldungsdatum: 05.07.2006 Beiträge: 6 Wohnort: Ostenfelde

Ok Danke für alles. Wenn ich noch fragen habe, dann melde ich mich mal bei euch.

Ach: Ich habe herausgefunden, dass meine Gleichung einen kleinen Fehler hatte:

Ich muss bei der Gleichung

Fg nicht multiplizieren sondern F durch Fg ersetzen. Das heißt eigentlich sollte dass ja die Gesamtkraft sein, die auf meinen Ball wirkt.

OK, Tschüß und bis zur nächsten Frage Augenzwinkern

!!!

Eurer
Michael

edit: Ich wollte noch sagen, dann kürzt sich dass auch alles so weg:

Somit haben wir a = g!