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FixKK
Anmeldungsdatum: 25.03.2019
Beiträge: 18
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 FixKK Verfasst am: 25. März 2019 15:18 Titel: Restmasse und -temperatur nach Mischung von Eis mit Wasser |
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Frage:
Sie möchten einen Eistee herstellen, indem Sie 500g heißen Tee (also im Wesentlichen Wasser) mit derselben Masse an Eis bei seinem Schmelzpunkt mischen. Der Wärmeaustausch mit der Umgebung sei zu vernachlässigen. Welche Temperatur und welche Masse hat das verbleibende Eis, nachdem der Tee und das Eis eine gemeinsame Temperatur erreicht haben, wenn der uraprüngliche Tee eine Temperatur von 90°C bzw. 70°C hatte?
Meine Idee:
- Gesamtmasse berechnen
- Mischungstemperatur berechnen
Mein Problem:
Ich weiß nicht, ob der Ansatz richtig ist und wenn ja, wie kommt man danach auf die Masse und Temperatur des Eises? Immer wenn ich versuche, die Aufgabe zu lösen ist meine Mischungetemperatur so hoch, dass am Ende kein Eis mehr vorhanden ist. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 25. März 2019 16:42 Titel: |
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| FixKK hat Folgendes geschrieben: | | Immer wenn ich versuche, die Aufgabe zu lösen ist meine Mischungetemperatur so hoch, dass am Ende kein Eis mehr vorhanden ist. |
Wenn Du das bei beiden Anfangstemperaturen des Tees herausbekommst, machst Du irgendetwas falsch. Führe mal vor, wie Du gerechnet hast.
Du solltest als Erstes überprüfen, ob die Wärmemenge des Tees ausreicht, die gesamte Eismenge zu schmelzen. Je nach Ergebnis dieser Überprüfung solltest Du die entsprechende Energiebilanzgleichung aufstellen. |
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FixKK
Anmeldungsdatum: 25.03.2019
Beiträge: 18
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| FixKK Verfasst am: 25. März 2019 17:55 Titel: |
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| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Wenn Du das bei beiden Anfangstemperaturen des Tees herausbekommst, machst Du irgendetwas falsch. Führe mal vor, wie Du gerechnet hast. |
Ich glaube hierbei hab ich schon meinen Fehler gefunden. Ich hab einerseits nicht damit gerechnet, dass das Eis erst schmelzen muss und andererseits hab ich dann die spezifische Wärmekapazitäten von Eis und Wasser gleichgesetzt.
| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Du solltest als Erstes überprüfen, ob die Wärmemenge des Tees ausreicht, die gesamte Eismenge zu schmelzen. Je nach Ergebnis dieser Überprüfung solltest Du die entsprechende Energiebilanzgleichung aufstellen. |
Also die Schmeltwärme des Eises hab ich wie folgt berechnet:
Die Wärmemenge berechnet man ja mit  , allerdings kenne ich ja das "dT" nicht, weswegen ich die Formel für den Wärmeinhalt herangenommen habe:
Somit müsste die Wärmemenge bei 90°C heißem Tee ausreichen, um das Eis zu schmelzen.
Für 70°C heißen Tee bekomme ich als Wärmeinhalt  heraus, was zu keinem vollständigen Schmelzen führt.
Die Frage wäre jetzt nur (vorausgesetzt mein Vorgehen ist bisher richtig) wie ich dann am besten weiter mache bezüglich der Energiebilanzgleichung. Und ehrlich gesagt erschließt sich mir hieraus auch noch kein Zusammenhang, wie ich auf die Restmasse und -temperatur des Eises komme.
Meine Überlegung ging in Richtung der Richmann'schen Mischungsregel:
 = c_{2}m_{2}(t_{m} - t_{2}))
Bzw. da wir zwei verschiedene Aggregatzustände haben ist folgende Formel wahrscheinlich einfacher:
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 25. März 2019 19:08 Titel: Re: Restmasse und -temperatur nach Mischung von Eis mit Wass |
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Ganz am Rande
Als Grundrezept für einen aromatischen Eistee empfielt chefkoch.de heißen / hochkonzentrierten Sud mit der doppelten Menge Eiswürfeln zu mischen, vermutlich on the rocks.
Zuletzt bearbeitet von franz am 25. März 2019 20:18, insgesamt einmal bearbeitet |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 25. März 2019 19:45 Titel: |
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@FixKK
Du hast richtig errechnet, dass bei 70°C Teetemperatur das Eis nicht vollständig geschmolzen wird. Dafür kennst Du die Mischungstemperatur 0°C. Dann ist die Menge des nicht geschmolzenen Eises me2 die einzige Unbekannte in der Energiebilanzgleichung
\cdot C_s)
mit
Du musst die Gleichung also nur nach me2 auflösen.
Bei 90°C Teetemperatur schmilzt alles Eis und wird anschließend von 0°C auf die Mischtemperatur  erwärmt.
=m_e\cdot C_s+m_e\cdot c_w\cdot\vartheta_m)
Da Eis- und Teemenge gleich groß sind, kannst Du die Massen kürzen und die Gleichung anschließend nach auflösen. |
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FixKK
Anmeldungsdatum: 25.03.2019
Beiträge: 18
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| FixKK Verfasst am: 26. März 2019 11:49 Titel: |
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Generelle Frage: Das  beschreibt die Wärmekapazität des Eises ( )?
| GvC hat Folgendes geschrieben: | @FixKK
Du hast richtig errechnet, dass bei 70°C Teetemperatur das Eis nicht vollständig geschmolzen wird. Dafür kennst Du die Mischungstemperatur 0°C. Dann ist die Menge des nicht geschmolzenen Eises me2 die einzige Unbekannte in der Energiebilanzgleichung
mit
Du musst die Gleichung also nur nach me2 auflösen. |
Blöde Frage, aber woher weiß ich, dass hier die Mischungstemperatur bei 0°C liegt? Also klar, das Eis ist nicht komplett geschmolzen, aber ist das schon Grund genug dafür, dass ich einfach davon ausgehen kann, dass die Mischungstemperatur bei 0°C liegen muss? Wenn ja, dann ergibt sich ja auch direkt die erste Antwort auf die Frage nach der Resttemperatur des Eises, nämlich 0°C. 
Nach  aufgelöst würde die Gleichung wie folgt lauten:
 was bei eingesetzten Werten zu einer Restmenge von 3,416g führt. Stimmt das? (Das erscheint mir nämlich ein bisschen wenig zu sein  )
| GvC hat Folgendes geschrieben: | Bei 90°C Teetemperatur schmilzt alles Eis und wird anschließend von 0°C auf die Mischtemperatur erwärmt.
Da Eis- und Teemenge gleich groß sind, kannst Du die Massen kürzen und die Gleichung anschließend nach auflösen. |
Nach aufgelöst sieht hier die Gleichung wie folgt aus:
)
Allerdings bekomme ich hier eine Mischtemperatur von 181,45K heraus, was ja definitiv nicht sien kann. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 26. März 2019 12:07 Titel: Re: Restmasse und -temperatur nach Mischung von Eis mit Wass |
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Vielleicht zum Verständnis: Die "Mischungstemperatur" ist mit 0 °C für den kurzen (und vermutlich unrealistischen) Moment festgelegt, wo der Tee auf 0 °C abgekühlt ist (und noch nicht selber gefriert). Man könnte es sich auch so vorstellen, daß man vom ursprünglichen Eisblock genau soviel abhackt, daß der Rest mit dem Tee genau auf 0 °C wegschmilzt / sich echt mischt - und dann fragen, wie schwer das zur Seite gelegte Eisstück demzufolge sein muß. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 26. März 2019 12:32 Titel: |
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| FixKK hat Folgendes geschrieben: | | Blöde Frage, aber woher weiß ich, dass hier die Mischungstemperatur bei 0°C liegt? |
Mit Mischungstemperatur wird immer die Temperatur nach Abschluss aller Ausgleichsvorgänge bezeichnet. Wenn nach Abschluss aller Ausgleichsvorgänge noch Eis übrig ist, muss die Mischungstemperatur 0°C sein. Anderenfalls würde weiteres Eis schmelzen und der Tee weiter abkühlen, die Mischungstemperatur wäre also noch nicht erreicht.
| FixKK hat Folgendes geschrieben: | ...
Nach aufgelöst sieht hier die Gleichung wie folgt aus:
... |
Das solltest Du lieber nochmal überprüfen. Nach auflösen heißt, dass nur auf einer Seite der Gleichung steht. Bei Deiner Gleichung taucht aber auf beiden Seiten der Gleichung auf. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 26. März 2019 12:50 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | Vielleicht zum Verständnis: Die "Mischungstemperatur" ist mit 0 °C für den kurzen (und vermutlich unrealistischen) Moment festgelegt, wo der Tee auf 0 °C abgekühlt ist (und noch nicht selber gefriert). |
Nein, so ist die Mischungstemperatur nicht festgelegt (s. meinen vorigen Beitrag). Und dass der Tee gefriert, kann unter den gegebenen Bedingungen überhaupt nicht passieren. Dazu hätte die ursprüngliche Eistemperatur mindestens (überschlägig) etwa -140°C betragen müssen.
(Bei dieser Überschlagsrechnung gehe ich von einer spezifischen Wärmekapazität von Eis aus, die etwa halb so groß ist wie die von flüssigem Wasser.) |
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FixKK
Anmeldungsdatum: 25.03.2019
Beiträge: 18
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| FixKK Verfasst am: 26. März 2019 12:55 Titel: |
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Danke an Euch beide für die Erklärung bezüglich der Mischungstemperatur! 
| GvC hat Folgendes geschrieben: | | Das solltest Du lieber nochmal überprüfen. Nach auflösen heißt, dass nur auf einer Seite der Gleichung steht. Bei Deiner Gleichung taucht aber auf beiden Seiten der Gleichung auf. |
Sorry, mein Fehler. Ich hab das nur falsch abgeschrieben, bei mir kommt folgende Formel raus:
)
Zur Erläuterung hier mein Rechenweg:
 = m_e * C_s + m_e * c_w * \vartheta_m)
Die Massen kürzen sich raus, d.h. es steht noch folgendes da:
 = \vartheta_m)
Mit eingesetzten Zahlen:
 = 181,45K)
Und das Endergebnis stimmt ja bei weitem nicht, denn da würde dann -91,7°C rauskommen. Ich glaube, ich habe einfach eine Größe nicht ganz richtig ausgerechnet/eingesetzt, aber ich komme nicht drauf welche...
Und stimmt das generell, dass mit die Wärmekapazität des Eises gemeint ist? (Die man mit der oben angegebenen Formel dann dementsprechend berechnet) |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 26. März 2019 15:31 Titel: |
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| FixKK hat Folgendes geschrieben: | ...
Und stimmt das generell, dass mit die Wärmekapazität des Eises gemeint ist? (Die man mit der oben angegebenen Formel dann dementsprechend berechnet) |
Nein, mit Cs habe ich die spezifische Schmelzwärme von Eis bezeichnet, und die ist, wie Du selber schon rausgefunden hast, 334kJ/kg. Du hast aber einen völlig anderen Wert mit einer nicht nachvollziehbaren Einheit verwendet.
Im Übrigen wird mit  im Allgemeinen die Temperatur auf der Celsius-Skala bezeichnet. Deshalb ist die Temperaturdifferenz des erwärmten Eises bei mir mit
angegeben. Wenn Du dagegen mit absoluten Temperaturen rechnest, muss die Energiebilanzgleichung natürlich lauten
=m_e\cdot C_s+m_e\cdot c_w\cdot (T_m-T_0))
Dabei steht auf der linken Seite der Gleichung die vom Tee abgegebene Wärmeenergie, während der erste Term auf der rechten Seite die Energie zum Schmelzen des Eises von 0°C zu Wasser von 0°C darstellt und der zweite Term die Energie zur Erwärmung des geschmolzenen Eises von 0°C auf Mischtemperatur.
To ist natürlich die Schmelztemperatur des Eises, also T0 = 273,15 K. |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 26. März 2019 16:13 Titel: |
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Hallo GvC
und danke für die Klarstellung!
| Zitat: | | Nein, so ist die Mischungstemperatur nicht festgelegt (s. meinen vorigen Beitrag). Und dass der Tee gefriert, kann unter den gegebenen Bedingungen überhaupt nicht passieren. Dazu hätte die ursprüngliche Eistemperatur mindestens (überschlägig) etwa -140°C betragen müssen. |
Da habe ich mich ungenau ausgedrückt: Der gesamte Tee wird bei 0 °C und noch vorhandenem Wassereis selbstverständlich nicht gefrieren. Und warum sollte Eis tauen / (Tee-)Wasser im gleichen Verhältnis gefrieren (... warum nicht)? Insofern also die gewissermaßen natürliche Mischungstemperatur, womit die gestellte Aufgabe geklärt ist.
(Trotzdem denke ich, daß dieser Zustand, selbst bei thermischer Isolation und Außerachtlassung der Gefrierpunkterniedrigung beim Tee, auf Dauer kein Gleichgewicht darstellt - aber das wäre ein anderes Thema.)
mfG!  |
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FixKK
Anmeldungsdatum: 25.03.2019
Beiträge: 18
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| FixKK Verfasst am: 26. März 2019 16:14 Titel: |
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Ok ich glaube ich habs jetzt verstanden. Also nochmal die komplette Aufgabe übersichtlich:
Tee bei 90°C:
Schmelzwärme des Eises: 
Wärmeinhalt des Tees: Q_{90°C} = c_w * m_w * t_w = 4,182kJ/kgK * 0,5kg * 90°C = 188,19kJ[/latex]
-> Das Eis schmilzt also vollständig.
Mischtemperatur:
 = m_e * C_s + m_e * c_w * (T_m - T_0))
Die Massen lassen sich rauskürzen, da die gleich sind:
 = 1/2 * (363,15K - \frac{334kJ/kg}{4,182kJ/kgK} + 273,15K = 278,22K = 5,07°C)
Tee bei 70°C:
Schmelzwärme des Eises (wieder gleich): 
Wärmeinhalt des Tees: 
-> Das Eis schmilzt nicht vollständig. Die Mischtemperatur liegt bei 0°C.
Restmasse des Eises:
 = (m_e - m_{e2}) * C_s)
 = m_e * C_s - m_{e2} * C_s)
} = \frac{1}{4,182kJ/kgK * 70K} = 3,416 * 10^{-3}kg = 3,416g)
Ich hoffe das ist jetzt von mir alles soweit richtig verstanden und gerechnet. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 26. März 2019 16:23 Titel: |
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| FixKK hat Folgendes geschrieben: | ...
Restmasse des Eises:
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Das solltest Du besser nochmal überprüfen. Die Auflösung nach me2 ist völlig daneben gegangen, was Du auch bereits an der Dimension sehen kannst. |
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FixKK
Anmeldungsdatum: 25.03.2019
Beiträge: 18
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| FixKK Verfasst am: 26. März 2019 16:44 Titel: |
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Ok ich bin das ganze nochmal durchgegangen und hab festgestellt, dass ich ganz am Anfang einen dummen mathematischen Fehler gemacht habe. Meine neue Lösung diesbezüglich sieht wie folgt aus:
 = (m_e-m_{e2})C_s)
)
}{C_s} = 0,5kg - \frac{0,5kg*4,182kJ/kgK*(343,15K-273,15K)}{334kJ/kg} = 0,0618kg = 61,8g)
Das erscheint mir zumindest doch etwas logischer, allerdings weiß ich hier auch wieder nicht ob‘s richtig ist... |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 26. März 2019 18:10 Titel: |
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| FixKK hat Folgendes geschrieben: | | allerdings weiß ich hier auch wieder nicht ob‘s richtig ist... |
Du brauchst nur zu kontrollieren, ob Du die Gleichung richtig aufgelöst hast und ob die Einheiten stimmen, also ob die errechnete Größe die richtige Dimension hat. Hier ist jetzt alles richtig. |
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