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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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 Aristo Verfasst am: 19. März 2019 14:15 Titel: Lagrange Mechanik allgemeines und Kegeloberfläche |
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Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich habe noch Probleme einen Zugang zur (Euler-)Lagrange-Mechanik zu finden. Als grundsätzliches 'Rezept' für den erfolgreichen Gebrauch der Lagrange Mechanik nennt unser Prof. folgendes:
i) Wähle geeignete, unabhängige Koordinaten
q=(q_1,....,q_n)
ii) bestimme L=T-V in den gewählten Koordinaten
iii) bestimme  )
iv) Bahnen q(t) als Lösung der ELGen (Euler-Lagrange-Gleichungen?)
Auch eine bzw. mehrere Beispiele haben wir dazu bekommen. Ich stelle das Beispiel zum Kegelmantel in die Kommentare.
Meine Ideen:
i) r und phi sollen die unabhängigen Koordinaten sein. Soweit klar, weil es die einzigen Variablen sind, die ich variieren muss um mich auf der Kegeloberfläche zu bewegen.
Die daraus resultierende Bahn \vecr ist nur bedingt klar. die Kreisform durch cos und sin verstehe ich. Der Radius bzw. der Faktor um den cos und sin gestreckt werden müsste aber doch von h abhängen, denn je höher oder tiefer ich bin, desto größer oder kleiner r. Auch den x_3-Wert verstehe ich nicht. Eigentlich steht da doch nur, dass es der z-Wert ist.
Die Ableitung von \vec r nach nach der Zeit sieht für mich sehr nach Produktregel aus. Muss ich davon ausgehem, dass ich beispielsweise bei x_1: r(t)cos(phi(t)) habe und dann gewöhnlich die Produktrege anwende? Wozu benötige ich die Ableitung überhaupt?
Anschließend gehe ich zu ii) über. Ich muss also die kinetische und potentielle Energie bestimmen. Soweit so gut.
iv) was a hier folgt kann ich -vor allem im Sachzusammenhang- nicht mehr nachvollziehen.
Vielen Dank für jeden Tipp
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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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| Aristo Verfasst am: 19. März 2019 14:16 Titel: Anhang |
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Anhang
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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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| Aristo Verfasst am: 19. März 2019 14:16 Titel: Anhang 2 |
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Anhang 2
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 20. März 2019 01:11 Titel: |
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Der Klassiker für das grundsätzliche Verständnis scheint mir Landau / Lifschitz Band 1 zu sein. Persönlich nutze ich gern Stephani / Kluge, Theoretische Mechanik, wo die Bewegung eines Massepunktes auf einem Kreiskegel im Schwerefeld unter 5.4.1 abgehandelt wird.
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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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| Aristo Verfasst am: 20. März 2019 12:39 Titel: |
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Herzlichen Dank für diesen Rat. Längerfristig ist das wahrscheinlich eine vernünftige Idee.
Weiterhin bin ich offen für kurzfristige Hilfestellungen.
Lieben Gruß
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 20. März 2019 15:20 Titel: |
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| Aristo hat Folgendes geschrieben: |
Weiterhin bin ich offen für kurzfristige Hilfestellungen. |
Dann versuche ich das mal.
| Zitat: | | i) r und phi sollen die unabhängigen Koordinaten sein. Soweit klar, weil es die einzigen Variablen sind, die ich variieren muss um mich auf der Kegeloberfläche zu bewegen. |
Jedenfalls sind das vernünftige Koordinaten. Es gibt aber Alternativen. Statt  könnte man auch  benutzen oder den Abstand  des Massenpunktes vom Ursprung des Koordinatensystems.
| Zitat: | | Die daraus resultierende Bahn \vecr ist nur bedingt klar. die Kreisform durch cos und sin verstehe ich. Der Radius bzw. der Faktor um den cos und sin gestreckt werden müsste aber doch von h abhängen, denn je höher oder tiefer ich bin, desto größer oder kleiner r. Auch den x_3-Wert verstehe ich nicht. Eigentlich steht da doch nur, dass es der z-Wert ist. |
Diese Frage ist schwer verständlich. Die Bahnkurve ist definiert durch
=(x_1(t),x_2(t),x_3(t))=(x(t),y(t),z(t)))
wie immer man auch die kartesischen Koordinaten bezeichnen möchte. Da sich die kartesischen Koordinaten aufgrund der Zwangsbedingung "Massenpunkt auf Kegeloberfläche" aus den generalisierten Koordinaten , \varphi (t))) bestimmen lassen, ist die Bahnkurve auch durch die Zeitabhängikeit der generalisierten Koordinaten bestimmt.
| Zitat: | | Die Ableitung von \vec r nach nach der Zeit sieht für mich sehr nach Produktregel aus. Muss ich davon ausgehem, dass ich beispielsweise bei x_1: r(t)cos(phi(t)) habe und dann gewöhnlich die Produktrege anwende? |
Ja und die Kettenregel.
| Zitat: | | Wozu benötige ich die Ableitung überhaupt? |
Na, um um in der Lagrangefunktion  die kinetische Energie
)
als Funktion der generalisierten Koordinaten zu bestimmen.
| Zitat: | | iv) was a hier folgt kann ich -vor allem im Sachzusammenhang- nicht mehr nachvollziehen. |
Jetzt werden einfach die Euler-Lagrange-Gleichungen (ELG) mittels der vorher bestimmten Lagrangefunktion  hingeschrieben und erste Folgerungen aus ihnen gezogen. Aus der ELG für  folgt z. B. die Drehimpulserhaltung. Aus der ELG für bekommt man die Energieerhaltung. Dieser Schritt ist aber bei dir noch nicht zu Ende geführt.
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 21. März 2019 14:53 Titel: |
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Hallo Huggy, eine Frage am Rande:
ist ja zyklisch, also die z-Komponente des Drehimpulses eine Erhaltungsgröße. Aber der Drehimpuls selber? 
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Huggy
Anmeldungsdatum: 16.08.2012
Beiträge: 785
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| Huggy Verfasst am: 21. März 2019 15:22 Titel: |
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Ja klar, natürlich meinte ich nur die z-Komponente des Drehimpulses.
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