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Nachricht |
Sasuke95
Gast
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 Sasuke95 Verfasst am: 02. Feb 2019 14:21 Titel: Kinetische Gastheorie Herleitung |
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Meine Frage:
Hallo alle zusammen, könnte mir vielleicht einer bei der Herleitung der Formel der kinetischen Gastheorie helfen, also bei der hier:
Ich verstehe nicht wie das Quadratische Mittel für die Teilchengeschwindigkeit zustande kommt bei allen Herleitungen die ich mit angeschaut habe war es einfach so da ohne eine wirkliche Erklärung oder nachvollziehbarem Rechenweg.
Ich wäre sehr dankbar wenn mir einer eine Seite mit deutlicher Herleitung empfehlen könnte oder mit eigenen Worten was dazu sagen könnte.
Meine Ideen:
bei meinen eigenen Herleitungsversuchen bekam ich höchstens  heraus weil ja  ist, oder nicht?
Schlussendlich war ich bei einer Formel wie dieser angekommen:
Ich möchte jetzt nicht meine ganzen Gedankengänge hier rein schreiben damit es nicht zu lang wird, wenn es hilfreich wäre mache ich es aber.
Also schon mal Danke im voraus. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 02. Feb 2019 15:12 Titel: |
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Wenn eine Geschwindigkeitsverteilung f(v) gegeben ist, dann gilt
)
Für das Volumenelement im Geschwindigkeitsraum gilt
wobei dann eine isotrope Geschwindigkeitsverteilung wie insbs. die Maxwell-Boltzmann-Verteilung vorliegen muss
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Sasuke95
Gast
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| Sasuke95 Verfasst am: 02. Feb 2019 17:25 Titel: |
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Aber wenn die Geschwindigkeitsverteilung nicht gegeben ist? Ich habe mehr an eine Herleitung gedacht die nur auf den Postulaten der kinetischen Gastheorie basiert. |
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Sasuke95
Gast
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| Sasuke95 Verfasst am: 05. Feb 2019 16:10 Titel: |
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Hat den wirklich keiner einen Vorschlag? |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 07. Feb 2019 15:36 Titel: |
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Geschwindigkeit eines Teilchens
)
Mittlere Geschwindigkeit eines Teilchens
Alle Koordinaten sind gleichberechtigt:
Mittlere Geschwindigkeit in jede Richtung
Teilchendichte
A =Wandfläche
Anzahl der Teilchen in x-Richtung
Die Hälfte der Teilchen fliegt in Richtung +x
Impulsänderung auf Wandfläche
Druck auf A
Kraft
qed
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 08. Feb 2019 10:47, insgesamt einmal bearbeitet |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 08. Feb 2019 10:47 Titel: |
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| Sasuke95 hat Folgendes geschrieben: | | Hat den wirklich keiner einen Vorschlag? |
s. meine "handwerkliche" Herleitung. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5866
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| Myon Verfasst am: 08. Feb 2019 13:08 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
qed |
Für den Druck gilt aber, wie im ersten Beitrag angegeben,
was nicht genau das gleiche ist.
Ich finde diese Beziehung jedoch nicht völlig unplausibel: Hätten die Teilchen je zur Hälfte die Geschwindigkeitskomponente  oder  , so wäre der Druck auf eine Wand senkrecht zu x
Haben die Teilchen nun eine symmetrisch um 0 verteilte Geschwindigkeitskomoponente  , und ist die Geschwindigkeit isotrop verteilt, so ist eben der über alle Teilchen gemittelte Druck
Zuletzt bearbeitet von Myon am 08. Feb 2019 13:41, insgesamt einmal bearbeitet |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 08. Feb 2019 13:39 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
qed |
Für den Druck gilt aber, wie im ersten Beitrag angegeben,
was nicht genau das gleiche ist. |
@Myon
Vielen Dank für Deinen Hinweis.
Du hast recht. Ich habe das Richtige gemeint, aber das Durchschnittszeichen falsch gesetzt. Mit bald 80 lässt die Konzentration leider nach.
Korrigiere ich.
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 08. Feb 2019 14:09, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 08. Feb 2019 13:48 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | Geschwindigkeit eines Teilchens
Korrigierte Version
Mittlere Geschwindigkeit eines Teilchens
Alle Koordinaten sind gleichberechtigt:
Mittlere Geschwindigkeit in jede Richtung
Teilchendichte
A =Wandfläche
Anzahl der Teilchen in x-Richtung
Die Hälfte der Teilchen fliegt in Richtung +x
Impulsänderung auf Wandfläche
Druck auf A
Kraft
qed |
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Sasuke95
Gast
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| Sasuke95 Verfasst am: 08. Feb 2019 16:42 Titel: |
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Erstmal vielen Dank für eure Mühen, leider enthält diese Herleitung genau den gleichen "Knackpunkt" der mir bei anderen Herleitungen auch schon Probleme gemacht hat, undzwar:
| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Impulsänderung auf Wandfläche
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Dort wurde ja das  durch  ersetzt (substituiert)
dabei kommt es zur Multiplikation von  was doch eigentlich  sein müsste und eben nicht 
 Eben dieses Quadratische Mittel ist es was mir Schwierigkeiten macht weil doch eigentlich Durchschnittsgeschwindikeit zum Quadrat rauskommen sollte.
Der Unterschied von diesen Beiden ist doch:
^2 )
Ich wäre sehr Dankbar wenn einer dieses Dilemma auflösen könnte  |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5866
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| Myon Verfasst am: 08. Feb 2019 18:45 Titel: |
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Nehmen wir zuerst an, alle Teilchen hätten den gleichen Geschwindigkeitsbetrag v, und die Geschwindigkeit sei isotrop verteilt. Dann ist der Druck durch Impulsübertragung auf eine Wand
Nun haben aber nicht alle Teilchen den gleichen Geschwindigkeitsbetrag, sondern die Geschwindigkeit ist verteilt mit einer Dichtefunktion f(v). Dann haben die Teilchen mit einer Geschwindigkeit zwischen v und v+dv eine Teilchendichte von n*f(v)*dv und einen Partialdruck
\,dv\cdot mv^2)
Der Gesamtdruck ist die Summe aller „Partialdrücke“, also
\,\dd v=\frac{1}{3}nm\overline{v^2}) |
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Sasuke95
Gast
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| Sasuke95 Verfasst am: 09. Feb 2019 16:35 Titel: |
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Ok.... aber von wo bezieht man denn diese erste Formel?
| Myon hat Folgendes geschrieben: | Nehmen wir zuerst an, alle Teilchen hätten den gleichen Geschwindigkeitsbetrag v, und die Geschwindigkeit sei isotrop verteilt. Dann ist der Druck durch Impulsübertragung auf eine Wand
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5866
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| Myon Verfasst am: 09. Feb 2019 22:26 Titel: |
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Wenn man einmal Teilchen betrachtet, die sich in Richtung eines kleinen Raumwinkelelements bewegen mit Winkeln in den Intervallen ) , ) : Diese Teilchen haben einen Anteil ) an allen Teilchen und eine Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung
Sie bewirken einen Impulsübertrag pro Fläche und pro Zeit von
Den gesamten Druck erhält man, wenn man über die gesamte Halbkugel mit positiver x-Komponente integriert. |
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Sasuke95
Gast
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| Sasuke95 Verfasst am: 10. Feb 2019 16:40 Titel: |
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Alles klar, ja das ist eine völlig neue Herangehensweise die ich bis jetzt noch nirgends gesehen habe. Ich mach mir noch ein paar Gedanken dazu, aber fürs Erste reicht mir das. Ich meld mich einfach wieder wenn ich noch Fragen habe.
Vielen Dank an alle  |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5866
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| Myon Verfasst am: 11. Feb 2019 21:26 Titel: |
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| Sasuke95 hat Folgendes geschrieben: | | Alles klar, ja das ist eine völlig neue Herangehensweise die ich bis jetzt noch nirgends gesehen habe. |
Ja, ich habe das auch noch nicht gesehen , deshalb kann ich für die Richtigkeit auch nicht garantieren. Aber natürlich ist es nichts Neues, lediglich die Herleitung über die Impulserhaltung etwas genauer aufgeschrieben. Ich finde den Gedanken noch hilfreich, dass man den Druck einzelner „Gasbestandteile“ (Gasteilchen in verschiedene Richtungen und anschliessend solche mit verschiedenen Geschwindigkeiten) einfach aufsummieren/integrieren kann, analog zur Addition einzelner Partialdrücke bei verschiedenen Gasen. |
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