Volumenfluss eines Behälters mit Loch

Alexhvjhbb · Gast

Meine Frage:
Ein Parabelförmiges Gefäß mit dem Profil y(x)=x^2/c und der Länge L verliert Wasser durch ein Loch mit Radius r am Tiefpunkt der Parabel. Bestimmen Sie die Höhe des Wasserspiegels in Abhängigkeit von der Zeit. Die Anfangshöhe des Wassers ist h0.

Meine Ideen:
So ich habe jetzt einfach die Parabel um h(t) nach unten verschoben und über x integriert. (Von sqrt(c*h)bis -sqrt(c*h)) und habe dann diese Fläche mit L multipliziert. Dann habe ich das Volumen. Die Ausflussgeschwindigkeit habe ich mit Bernouille berechnet und bekomme :dV/dt=Pi*r^2*sqrt(2*g*h(t)).
Wenn ich jetzt V ableite und mit dem Volumenfluss gleichsetze bekomme ich eine Differentialgleichung die unmöglich zu lösen ist. Das kann doch nicht die Lösung sein???
Danke schonmal

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Welche Differentialgleichung erhältst Du denn? Die Gleichung ist in diesem Fall wirklich sehr einfach zu lösen (einfacher geht's fast nicht).

Das Aufstellen sollte auch nicht schwierig sein: betrachte, wie sich der Füllstand während einer Zeit dt verändert. Das gibt eine Gleichung (Querschnitt auf Höhe h mal dh=minus Ausflussgeschwindigkeit mal Querschnitt des Ausflusses mal dt).

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Kontinuitätsgleichung:

Ausflussgeschwindigkeit

Sinkgeschwindigkeit Wasserspiegel

Flächen

Der Rest sollte easy sein.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

@Mathefix: Google sagt mir, dass Du vermutlich folgenden Artikel des genannten Autors meinst: „Die irrtümliche Herleitung der Torricelli-Formel aus der Bernoulli-Gleichung“, erschienen in der Zeitschrift Wasserwirtschaft 2016-2/3.

Leider habe ich keinen Zugang mehr zu einer Uni-Bibliothek und kann den Artikel nicht abrufen. Ich sehe jedoch, dass es auf diesen Artikel hin mehrere „Gegendarstellungen“ von Fachkollegen gab, siehe hier. Diese müsste man sich sicher auch anschauen.

Grundsätzlich wäre ich zuerst einmal eher kritisch, wenn jemand ein ganz einfaches Gesetz, das in allen Lehrbüchern gelehrt wird, für falsch hält. Auch der etwas reisserische Titel des Artikels trägt nicht zu einem besseren Gefühl bei. Und wäre der Autor tatsächlich auf einen fundamentalen Fehler gestossen, den in den letzten 350 Jahren niemand entdeckt hat, hätte das vermutlich mehr Resonanz ausgelöst und wäre in relevanteren Zeitschriften diskutiert worden. So, das habe ich jetzt alles in Unkenntnis des Artikels geschrieben, um den es überhaupt geht, was eigentlich auch nicht sinnvoll ist.

Dass es Diskrepanzen zwischen Theorie und Praxis gibt (hier Annahme von Reibungslosigkeit, laminarer Strömung u.a.), ist natürlich unbestritten. Das ist aber naturgemäss nicht Thema in einer Übungsaufgabe wie der obigen.

PS: Du gehst oben davon aus, dass die Querschnittsfläche des Gefässes kreisförmig sei, was aber nicht der Fall ist. Der Verlauf h(t) wird damit noch „einfacher“ - deshalb die Bemerkung, dass es einfacher fast nicht geht.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

https://www.youtube.com/watch?v=8HO2LwqOhqQ

Man erhält die Ableitung, wenn man von der Behauptung ausgeht, das auf die Grundfläche des Behälters weniger Öffnungsquerschnitt der höhenabhängige hydrostatische Wasserdruck wirkt.

Das habe ich selbst schon mal erhalten.
Aber diese Annahme widerspricht der Annahme der Energieerhaltung aus potentieller und kinetischer und würde schon indirekt Reibungsverhältnisse in Erwärmung berücksichtigen.

Das widerspricht sich meiner Meinung auch, wenn wir uns zurückerinnerung. An das Beispiel wo mit Schlauch sogar noch die Ausflussgeschwindigkeit aus dem Gefäss vergrößert werden kann weil sich ein Unterdruck bildet.
Wieso sollte dieser Unterdruck direkt über den Loch aufhören und sich nicht zur Seite fortsetzen. Duke hat damals ein Bild raufgeladen von ner Software die den Druckverlauf farblich darstellt.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

stimmt intuitiver ist es sicher wenn man davon ausgeht nur der Gewichtsdruck über der Öffnung führt zur Impulsänderung.

Warum Impulserhaltung auf das System wirken äußere Kräfte von denen er eine annimmt, der Impuls bleibt nicht erhalten. Es ist einfach eine Impulsbilanz.

Ich habe in einem meiner Mechanikbücher nachgeschlagen .

Da steht

we ist die wirkliche Ausflussgeschwindigkeit.
w die theoretische
Da steht phi ist abhängig von der Zähigkeit des Fluids und beträgt für Wasser 0,97 bis 0,99

der wirkliche Volumenstrom ist

mü Ausflusszahl

wobei

alpha Kontraktionszahl
abhängig von der Strahlkontraktion bzw von der Öffnung.

Ich bin immer davon ausgegangen das der Volumenstrom nicht stimmt.

Ich dachte die Ausflussgeschwindigkeit stimmt bis auf 0,97.

Aber laut ihm stimmt die Ausflussgeschwindigkeit nicht mal, wenn er dann noch die Strahlkontraktion über der Öffnung berücksichtig bekommt er ja einen noch viel kleineren Volumenstrom als onehin schon durch die geringere Geschwindigkeit erhalten würde.

Duke711 · Anmeldungsdatum: 26.01.2017 Beiträge: 434

Ich verstehe den Diskussionansatz nicht und vor allem nicht warum ein Herr Prof. Bundeswehr hier eine neue Theorie einbringen möchte, wenn weder Reibungsverluste, noch Turbulenzen berücksichtig werden können.

Also wer mit den Ansatz von Torricelli und Bernoulli nicht zu frieden ist sich auf Genauigkeit fokussieren möchte, der stützt sich ohne hin auf CFD oder einem Versuch.

Wenn ich mal Lust und Zeit haben sollte, werde ich mal Malcherek Ansätze mit einen Versuch und CFD überprüfen. Mal schauen wie sinnig oder unsinnig Malcherek Theorie in Wirklichkeit ist und ob diese sich von Torricelli und Bernoulli wirklich deutlich unterscheidet. Ich glaube es eher weniger, denn in der Regel ist der Öffnungsquerschnitt deutlich kleiner als der Gefäßdurchmesser und somit sind Reibungsverluste keines Falls zu vernachlässigen. In vielen Fällen erfolgt der Ausfluss über ein Rohrstummel oder Schlauch.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

und ich verlinke mal auf den Versuch von Professor Maurer.

Versuch
https://www.youtube.com/watch?v=gpCbStrMnOA

setze ich da die Ausflussgeschwindigkeit von Prof Malcherek

mit

ein, würde der Strahl nie die 37cm schaffen wie im Link.

und dann Maurer Impulsbilanz verse Energieerhaltung (Ausfluss)

https://www.youtube.com/watch?v=PVFcQtf9Jz8

Man könnte die Impulsbilanz wie bei Malcharek auch ein wenig anders abändern, indem man das Bilanzgebiet auf den Wasserstrahl bis zur Engstelle der vena contracta ausweitet und unterhalb des Bilanzgebietes hat die Umgebung sowie das Wasser den Luftdruck.

Dann ändert sich die resultiernde Kraft vom hydrostatischen Druck nicht aber der Aufflussquerschnitt entspricht nicht den Öffnungsquerschnitt und ist somit eine weitere Unbekannte.
Setzt man die Ausflussgeschwindigkeit, die zwingend bei Annahme von Energierhaltung gegeben ist, dann ein, bestimmt die Impulsbilanz den Ausflussquerschnitt und somit den Volumenstrom, der näher an die Realität rankommt.

Aber das ist alles nur Annahme über Annahme-

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

@VeryApe

Vielen Dank für den Link zu Prof. Maurers Ausführungen zur Impulsbilanz.
Er kommt zu dem gleichen Ergebnis wie Prof. Malcherek, nämlich

Interessant ist, dass bei dem Ansatz mit der Impulsbilanz in beiden Fällen
1. Vollständig offenes Gefäss
2. Vollständig geschlossenes Gefäss

zu einem richtigen Ergebnis führt, was bei Torricelli nicht der Fall ist.

Prof. Maurers Fazit:

Bei Betrachtung des Volumenstroms führt der Impulsansatz, bei Betrachtung der Ausflussgeschwindigkeit der von Torricelli zum richtigen Ergebnis.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5866 Wohnort: jwd

@VeryApe
Vieleicht kann man beide Ansätzeso zusammenführen:

Bestimmung Kontraktionsziffer

Was mit dem Tabellenwert von 0,64 für runde, scharfkantige Öffnungen guit übereinstimmt.

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Wenn ich mir die vena contracta anschaue.
https://en.wikipedia.org/wiki/Vena_contracta

siehe Bild rechts, horizontaler Austritt.

dann ist mir eins klar, genau beim Loch hat das Wasser zusätzlich zur x-Geschwindigkeitskomponenten auch noch y Geschwindigkeitskomponenten.

Dann kann ich schon mal reintheoretisch nicht davon ausgehen, das die kinetische Energie vollständig in x vorliegt (horizontal). also vollständig in einer horizontalen Geschwindigkeit vorliegt, was ich bei dem Ansatz mit Bernoulli ja mache.

Nur an der engsten Stelle der vena contracta liegt die kinetische Energie des Wasser vollständig in x Richtung vor.
Dort könnte ich ansetzen das der Verlust an potentieller Energie und kinetischer Energie des Bilanzgebietes vollständig in dm*vx²/2 des aus den Bilanzgebietes ausgetretenen Wassers übergeht. und das mal den Querschnitt der engsten Stelle des Wassers ergibt den Volumenstrom.

Ansonsten müsste ich noch die y Anteile der einzelnen Wasseranteile zur Energie hinzuaddieren wodurch die eigentliche x Geschwindigkeit kleiner ausfallen würde. Mache ich das nicht bekomme ich eine zu hohe x Geschwindigkeit die dort gar nicht vorliegt und auf einen zu hohen Volumenstrom.

Für die engste Stelle der Vena contracta:

Das System verliert die oberste Schicht (kinetische und potentielle Energie) sonst bleiben die Geschwindigkeitsverläufe annähernd gleich

vES steht für die Geschwindigkeit an der Engsten Stelle die dort nur in x Richtung vorliegt.
AES für den Querschnitt an der engsten Stelle

Daraus folgt wenn die Behältergrundfläche sehr groß ist für die Ausflussgeschwindigkeit an der engsten Stelle.

um jetzt den Querschnitt an der engsten Stelle

zu ermitteln könnte man versuchen die Impulsbilanz heranziehen, indem man sagt im Bereich der Öffnung unter den Bilanzgebiet wirkt zwar der Luftdruck aber das Wasser verlässt das Bilanzgebiet über der engsten Stelle und tritt daher über den unbekannten Querschnitt AES mit einer Aussflussgeschwindkeit VES (=wurzel 2gh) vollständig in x Richtung aus.

Man setzt das ves aus der Energieerhaltung ein um AES zu ermitteln s
und erhält dann den Volumenstrom

der dann natürlich viel kleiner wäre

dann bekomme ich aber

also wieder um durch wurzel 2 zu wenig.

Das ließe sich nur richtig hintrimmen wenn man sagt der Gewichtsdruck sorgt über einen größeren Flächenbereich als den Öffnungsquerschnitt für die resultierende Kraft
also nicht

sondern

und damit hatte ich dann aufgegeben und mir sind ein paar graue Haare mehr gewachsen und ich bin davon ausgegangen das eben ein größerer Bereich als nur der Gewichtsdruck über der Öffnung die Beschleunigung verursacht, aber das sind dann schon Annahmen über Annahmen.

Ich habe da schon etliche Stunden drüber nachgedacht und gerechnet.
Und ich kann nur eins abschliessend sagen.

Komm niemals auf die Idee du könntest den Volumenstrom einfach bestimmen, indem du die theoretische Ausflussgeschwindigkeit mal den Öffnungsquerschnitt berechnest, weil da liegst du meilenweit daneben.
Halt dich einfach an die Korrekturwerte oder installiere so wie es Duke gesagt hat CFD oder bau selbst einen Versuch und miß die engste Stelle der vena contracta aus.

LotharK · Gast

Und wo bleiben da die Arbeiten des Luftdrucks=?

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3247

Der Luftdruck führt keine effektive Arbeit zu oder ab.

Um die vena-contracta also die Kurve stehen die Luftdruckkräfte normal auf die Wegrichtung und damit leisten die keine Arbeit,

Normal auf die Fläche AES wird

entzogen

über den Behälter wird

zugeführt.

und da

kannsd du den Luftdruck in die Tonne treten. Ich dachte das wäre klar.