Lagrangeformalismus in der Physik

Zweistein2003 · Anmeldungsdatum: 02.11.2018 Beiträge: 8

Meine Frage:
hallo,
ich bin gerade an der Quantenelektrodynamik und bin mal wieder auf den Lagrangeformalismus gestoßen. Dieses Teil macht mir schon die ganze Zeit leider schon Schwierigkeiten und ich habe gehofft, dass es jemand da draußen gibt, der den Lagrangeformalismus oder einfach allgemein die Lagrangegleichungen in der Physik besser erklären kann, als all diese blöden Fachtexte, wo man studiert haben muss, um es zu verstehen, da ich leider erst in der neunten Klasse bin und es noch ein klein wenig dauert, bis ich endlich mein Physikstudium beginnen kann. smile

ich würde mich sehr über eine Antwort freuen,
Julian.

Meine Ideen:
-

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Können wir den Lagrangeformalismus spaßeshalber für die klassische Mechanik diskutieren? Das wird schon schwer genug.

Verstehst du, was die Definition der Geschwindigkeit als Ableitung des Ortes nach der Zeit bedeutet? Also

Zweistein2003 · Anmeldungsdatum: 02.11.2018 Beiträge: 8

ja natürlich kann es in klassischen Mechanik erklärt werden.

ebenfalls weiß ich, was die Ableitung des Ortes nach der Zeit bedeutet, ich mein das ist ja nichts anderes als die Geschwindigkeit, nur kompliezirter. smile

nur würde es mich interersieren, was dieser Punkt über dem V darstellt, ist das also die zusammengefaste Ableitung der Geschwindigkeit? (ich kenne den Punkt nur als newtonische Notation)

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Schau‘ noch mal - hab einen Schreibfehler korrigiert

Zweistein2003 · Anmeldungsdatum: 02.11.2018 Beiträge: 8

ich glaub ich stehe gerade auf dem Schlauch, was wurde korrigiert?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Korrigiert wurde, dass der Punkt über dem x steht, nicht über den v.

OK.

Die kennst die Newtonsche Bewegungsgleichung

bzw.

Kennst du auch die Lagrangefunktion

mit der kinetischen Energie U?

Zweistein2003 · Anmeldungsdatum: 02.11.2018 Beiträge: 8

nein, ich kenne die Lagrangefunktion mit der kinetische Energie noch nicht, wie baut man die auf?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18062

Letztlich geht man quasi rückwärts vor. Man startet mit der Newtonschen Bewegungsgleichung

Man bemerkt - die Details der Mathematik spare ich mir - dass man die sogenannte Wirkung S definieren kann

und dass daraus die o.g. Bewegungsleichung mittels der sogenannten Euler-Lagrange-Gleichung

folgt. Dabei leitet man formal so ab, als ob x und dot-x unabhängige Koordinaten wären, d.h. nichts miteinander zu tun hätten. Aus dem ersten Term folgt die zweite Ableitung von x, aus dem zweiten Term folgt die Kraft F als Ableitung des Potentials U nach x.

Das kannst du mal ausprobieren.

Der physikalische Hintergrund ist folgender: man kann streng beweisen, dass das x(t), das die Bewegungsgleichung löst, auch diese Wirkung minimiert, d.h. alle anderen Funktionen x(t), die die Bewegungsgleichung nicht lösen, führen auf ein größeres S.

Man spricht vom sogenannten Hamiltonschen Prinzip der kleinsten Wirkung.

Die o.g. Euler-Lagrange-Gleichungen sind so etwas wie eine Verallgemeinerung von df(x) / dx = 0 zur Bestimmung eins Extremums einer Funktion f(x); nur reden wir hier nicht über einen Punkt x, an f(x) extremal wird, sondern über eine Funktion x(t), an der S als Ganzes extremal wird.

Die moderne Physik ist so aufgebaut, dass praktisch jede Theorie aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung - für jeweils geeignete Wirkung S - abgeleitet werden kann. Dies gilt z.B. auch für die Elektrodynamik, die Schrödingergleichung der Quantenmechanik, die Allgemeine Relativitätstheorie - sowohl für die Bewegungsgleichung eines Teilchens in einer vorgegebenen Raumzeit als auch für die Raumzeit selbst. Für Quantenfeldtheorien wie QED und QCD existieren Verallgemeinerungen.