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stefanboltzmann
Anmeldungsdatum: 08.11.2018
Beiträge: 44
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 stefanboltzmann Verfasst am: 08. Nov 2018 01:52 Titel: Elektrisches Feld aus Superpositionsprinzip |
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Meine Frage:
Guten Abend liebe Physiker.
Ich habe folgendes Problem mit einer Aufgabe aus der Elektrostatik.
Es ist ein E-Feld gegeben, welches nun integriert werden soll, um auf die endgültige Darstellung zu kommen.
Außerdem ist die Ladungsverteilung rho gegeben.
(\vec{r}-\vec{r'} ) } {|\vec{r}-\vec{r'} |^{3+\epsilon } } \, \dd^3 \vec{r'}
<br />
<br />
\epsilon>0
<br />
<br />
\varrho(\vec{r})=\varrho(r)=\frac{Q \, \delta(r-R)}{4\pi R^2}
<br />
)
Es reicht das E-Feld in z-Richtung zu betrachten und den Aufpunkt in  legen.
Zuletzt ist noch ein Zwischenschritt der Integration vorgegeben, der eine Substitution voraussetzt:
\frac{1}{|\varphi|^{\epsilon } } \, \dd \varphi
<br />
)
Hintergrund: Es geht darum die Exaktheit des Coulomb-Gesetzes zu zeigen aus welchen das E-Feld aus der Gültigkeit des Superpositionsprinzip ,,gewonnen'' wurde.
Meine Ideen:
Meine Ideen sehen leider nicht allzu toll aus da ich schon direkt bei den ersten Schritten Schwierigkeiten habe.
Ich habe schon Probleme bei dem ersetzen des  .
Ersetze ich dies durch r*e_z? kann ich das r bzw r' einfach als diese annehmen ?
Ausserdem erschließt sich mir nicht das verwenden der Delta Funktion.
Wir hatten bisher immer einen bestimmten Körper und damit Grenzen vorgegeben was mir hier ein wenig fehlt.
Bitte entschuldigt die eine oder andere umgängliche Schreibweise in den Formeln.
Ich hoffe eine von euch kann mir auf die Sprünge helfen und die Ansätze erläutern.
Grüße
Boltzmann
Formeln editiert - Gruß Thomas
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 08. Nov 2018 13:13 Titel: Re: Elektrisches Feld aus Superpositionsprinzip |
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Ich schicke voraus, dass ich das Ganze nicht auf das angegebene Zwischenergebnis bringen konnte. Trotzdem ein paar Hinweise für den Anfang.
| stefanboltzmann hat Folgendes geschrieben: | Ich habe schon Probleme bei dem ersetzen des .
Ersetze ich dies durch r*e_z? kann ich das r bzw r' einfach als diese annehmen ? |
Man muss unterscheiden zwischen dem festen Punkt  , an dem das E-Feld ausgewertet wird, und dem Punkt  , über den integriert wird. Es bietet sich sicher an, Kugelkoordinaten zu verwenden.
=\int_0^\infty\int_0^\pi\int_0^{2\varphi}\frac{Q\delta(r'-R)(r\vec{e}_z-r'\vec{e}_{r'})}{4\pi R^2|r\vec{e}_z-r'\vec{e}_{r'}|^{3+\epsilon}}r'\sin\vartheta\,d\varphi\,d\vartheta\,dr')
Integriert man über  , liefern nur Punkte mit  einen Beitrag, da überall sonst die delta-Funktion verschwindet. Es soll nur die z-Komponente des E-Felds bestimmt werden:
=\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\frac{Q(r-R\cos\vartheta)}{4\pi R((r-R\cos\vartheta)^2+R^2\sin^2\vartheta)^{(3+\epsilon)/2}}R\sin\vartheta\,d\varphi\,d\vartheta)
}{2 R((r-R\cos\vartheta)^2+R^2\sin^2\vartheta)^{(3+\epsilon)/2}}R\sin\vartheta\, d\vartheta)
(hoffe, dass das stimmt...) Wahrscheinlich wurde jetzt  substituiert und vielleicht noch nach  entwickelt, aber wie gesagt, ich konnte das Integral nicht auf den angegebenen Ausdruck bringen.
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stefanboltzmann
Anmeldungsdatum: 08.11.2018
Beiträge: 44
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| stefanboltzmann Verfasst am: 08. Nov 2018 16:09 Titel: |
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Hallo Myon.
Erstmal Danke für deine Antwort.
Das ich das ganze mal versuchen kann in Kugelkoordinaten zu integrieren bringt mich schon einmal weiter, da ich mir sehr unsicher war, welche Koordinaten dafür überhaupt geeignet sind.
Du hast in deinem ersten Integral als zweite grenze 0 bis 2phi stehen, du meintest sicher 2pi, oder ?
Das Volumenelement in Kugelkoordinaten beinhaltet doch ein r'^2 oder hast du das vorher schon irgendwo weg gekürzt, dass da nur noch r' steht ?
Das anwenden der Delta Funktion erschließt sich mir jetzt durch die Wahl der Kugelkoordinaten.
Was mir nur nichts sagt ist das entwickeln nach Epsilon.
Ich habe mal die Aufgabe als Bild angehängt. Eventuell habe ich bei der Beschreibung der Aufgabe ein wichtiges Detail vergessen.
Ich bin für jede weitere Antwort dankbar.
Grüße
Boltzmann
| Beschreibung: |
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stefanboltzmann
Anmeldungsdatum: 08.11.2018
Beiträge: 44
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| stefanboltzmann Verfasst am: 08. Nov 2018 17:26 Titel: |
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Ich habe noch eine Frage zu dem zweiten Integral:
Woher kommt das R^2sin^2(tetta)?
Die untere Zeile müsste ja in den Klammern dem Ausdruck oben entsprechen bei dem r-r' nur halt im Betrag und hoch 3.
Da man nur die e_z Richtung nimmt bleibt ja eigentlich nur r-r'cos(tetta) übrig.
Grüße
Boltzmann
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 08. Nov 2018 19:47 Titel: |
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Ja, es fehlte ein Faktor r' bzw. R. Im Zähler des Integranden steht ein Vektor, hiervon nimmt man die z-Komponente. Im Nenner hingegen steht ein Betrag, da kann man nicht einfach nur die z-Komponente betrachten.
Somit erhalte ich
=\int_0^\pi\frac{Q(r-R\cos\vartheta)}{2(r^2+R^2-2rR\cos\theta)^{(3+\epsilon)/2}}R\sin\vartheta\,d\vartheta)
Entwickelt wurde nichts (ich meinte eine Taylor-Entwicklung), aber ich würde immer noch gerne wissen, wie genau substituiert wurde. Nimmt man die ganze Klammer im Nenner oder die Wurzel davon, klappt es irgendwie bei mir auch nicht...
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stefanboltzmann
Anmeldungsdatum: 08.11.2018
Beiträge: 44
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| stefanboltzmann Verfasst am: 08. Nov 2018 19:58 Titel: |
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Achso, dass das im Betrag nicht so geht wusste ich nicht, danke.
Ich habe leider auch keinen blassen Schimmer, wie man da substituieren muss, um auf dieses Zwischenergebnis zu kommen.
Hat sonst noch einer eine Idee oder einen anderen Ansatz?
Grüße
Boltzmann
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stefanboltzmann
Anmeldungsdatum: 08.11.2018
Beiträge: 44
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| stefanboltzmann Verfasst am: 08. Nov 2018 21:57 Titel: |
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Kann mir echt keiner mehr helfen?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 08. Nov 2018 23:52 Titel: |
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Ich hatte mich wiederholt verrechnet... ohne Papier und Schreibstift, nur auf dem Ipad, ist es auch etwas mühsam... Mit der Substitution
erhält man die angegebene Feldkomponente  .
PS: So, wie es im Bild des Übungsblatts angegeben ist, finde ich es aber nicht ganz präzis, denn das gilt ja nicht allgemein, sondern nur für Punkte auf der z-Achse (oder überseh ich jetzt wieder etwas?).
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stefanboltzmann
Anmeldungsdatum: 08.11.2018
Beiträge: 44
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| stefanboltzmann Verfasst am: 09. Nov 2018 00:40 Titel: |
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Sehr gut.
Ich habe mich mal direkt dran versucht doch kommen bei mir beim ersetzen von r-Rcostetta falsche Sachen raus.
Ich hätte raus für
 }
<br />
)
womit sich der Sinus und R kürzt jedoch beim ersetzen von r-Rcostetta komme ich nicht auf das gewünschte Ergbenis.
Es wäre nett wenn du mir noch einmal hilfst.
Grüße
Boltzmann
Zuletzt bearbeitet von stefanboltzmann am 09. Nov 2018 01:43, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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Nescio
Anmeldungsdatum: 05.12.2015
Beiträge: 279
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| Nescio Verfasst am: 09. Nov 2018 00:54 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: |
PS: So, wie es im Bild des Übungsblatts angegeben ist, finde ich es aber nicht ganz präzis, denn das gilt ja nicht allgemein, sondern nur für Punkte auf der z-Achse (oder überseh ich jetzt wieder etwas?). |
Die Kugelsymmetrie. Die Ladungsverteilung ist eine Kugelschale, deshalb ist der Verlauf des elektrischen Feldes entlang einer beliebig orientierten Achse gleich dem entlang der z-Achse.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 10. Nov 2018 09:32 Titel: |
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@stefanboltzmann: aus der angegebenen Substitution folgt
Dann noch verwenden, dass
/2}}=\frac{1}{\xi^2}{\frac{1}{|\xi|^\epsilon}}
<br />
)
und beim Zähler  einfügen.
@Nescio: Aus dem Vorgehen bei der Berechnung und der Kugelsymmetrie folgt doch, dass das Ergebnis der radialen Komponente ) des E-Felds entspricht, und nicht der z-Komponente. Letzteres ist nur auf der z-Achse der Fall. Das war es, was ich von der Notation her auf dem Übungszettel unten nicht sehr günstig fand.
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