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Nachricht |
Lorenz
Anmeldungsdatum: 06.11.2018
Beiträge: 2
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 Lorenz Verfasst am: 06. Nov 2018 16:06 Titel: Austrittsgeschwindigkeit eines Projektils |
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Meine Frage:
Ein zylindrisches Projektil mit Stirnfläche A und Masse m befindet sich zum Zeitpunkt t0 am Anfang eines zylindrischen Rohres mit der Länge l und demselben Innendurchmesser wie der Außendurchmesser des Projektils. Hinter dem Projektil befindet sich ein Druckbehälter mit dem Volumen V0 und Anfangsdruck p0. Reibung des Projektils im Rohr sei zu vernachlässigen. Die Expansion der Druckluft wird vereinfacht als isotherme Zustandsveränderung eines idealen Gases betrachtet, es gilt der Zusammenhang
 .
Es soll die Austrittgeschwindigkeit v(l) berechnet werden.
Meine Ideen:
Mit x als Koordinate mit Ursprung am Startpunkt des Projektils verändert sich das Volumen mit
=V_{0}+A*x)
Damit lässt sich der Druck an einer Stelle x berechnen mit
=\frac{V_{0}}{V(x)}*p_{0})
Die Kraft, die auf das Projektil wirkt, ist an einer Stelle x
=p(x)*A)
Nach Newton ist dann die Beschleunigung
=\frac{F(x)}{m})
und mit dieser sollte es möglich sein, die Geschwindigkeit herauszufinden. Ich kann alles in eine Exceltabelle tun und die Beschleunigung in kleinen Schritten als gleichförmig betrachten. Ich möchte aber eine analytische Lösung haben. Dafür sollte ich vermutlich die Beschleunigung integrieren:
 = \int_0^l \! a(t) \, \dd t )
Aber ich weiß nicht so recht, wie ich das Integral von t auf x umdrösel. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 06. Nov 2018 16:48 Titel: Re: Austrittsgeschwindigkeit eines Projektils |
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Ich denke, das sieht alles sehr gut aus.
| Lorenz hat Folgendes geschrieben: | | Aber ich weiß nicht so recht, wie ich das Integral von t auf x umdrösel. |
Musst Du ja gar nicht. Du kannst nochmals integrieren und setzt dann s(t)=l. Daraus ergibt sich der Zeitpunkt t, bis zu dem beschleunigt wird, und damit auch auch die gesuchte Geschwindigkeit v(l). |
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Lorenz
Anmeldungsdatum: 06.11.2018
Beiträge: 2
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| Lorenz Verfasst am: 06. Nov 2018 20:12 Titel: |
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dann wäre also an der Stelle l (Zeitpunkt T)
=\frac{AV_{0}p_{0}}{m} \int_0^T \! \frac{1}{V_{0}+Al} \, \dd t )
Also die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt T
=\frac{AV_{0}p_{0}T}{m(V_{0}+Al)})
Nochmal integriert nach t
=\frac{AV_{0}p_{0}T^{2}}{2m(V_{0}+Al)}=l)
mit
=l)
also aufgelöst nach T
}{AV_{0}p_{0}}})
und damit schließlich die Austrittsgeschwindigkeit v(x=l)=v(t=T)
=\frac{AV_{0}p_{0}}{m(V_{0}+Al)}\sqrt{\frac{2ml(V_{0}+Al)}{AV_{0}p_{0}}})
Wenn ich nun das Anfangsvolumen bspw. auf 1 cm³ setze, bekomme ich sogar in etwa die Werte aus, die bspw. auf der Wikipedia-Seite für 9mm Patronen stehen (p0 = 400 MPa, m = 7,9 g, l = 20 cm --> v = 320 m/s).
Vielen Dank für die Hilfe  |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 06. Nov 2018 22:33 Titel: |
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Sorry, ich habe zu wenig genau gelesen. Das funktioniert natürlich so nicht, es ist ja a=a(x), das kann man nicht einfach zeitlich integrieren.
Man kann aber die Arbeit, welche das Gas bei der Expansion verrichtet,
}p(V)\,\dd V=\int_0^l\frac{p_0V_0}{V_0+Ax}A\,\dd x=p_0V_0\ln\left(\frac{V_0+Al}{V_0}\right))
gleich der kinetischen Energie der Kugel setzen. Mit den obigen Werten kommt dann etwa v=632m/s heraus (Rechen- und andere Fehler vorbehalten). |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 12. Nov 2018 10:11 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Sorry, ich habe zu wenig genau gelesen. Das funktioniert natürlich so nicht, es ist ja a=a(x), das kann man nicht einfach zeitlich integrieren.
Man kann aber die Arbeit, welche das Gas bei der Expansion verrichtet,
gleich der kinetischen Energie der Kugel setzen. Mit den obigen Werten kommt dann etwa v=632m/s heraus (Rechen- und andere Fehler vorbehalten). |
@Myon
Muss nicht der äussere Luftdruck berucksichtigt werden? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 12. Nov 2018 20:46 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Muss nicht der äussere Luftdruck berucksichtigt werden? |
Im Prinzip schon. Die kinetische Energie der Kugel wäre dann um  kleiner. Allerdings ist dieser Einfluss angesichts des hohen Patronendrucks (z.B. Dampfdruck von CO2 bei 20°: 57bar) vernachlässigbar klein. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 12. Nov 2018 21:11 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Muss nicht der äussere Luftdruck berucksichtigt werden? |
Im Prinzip schon. Die kinetische Energie der Kugel wäre dann um kleiner. Allerdings ist dieser Einfluss angesichts des hohen Patronendrucks (z.B. Dampfdruck von CO2 bei 20°: 57bar) vernachlässigbar klein. |
@Myon
Vielen Dank!
Ich meine, dass man erst eine allgemeine Lösung entwickeln sollte und nicht a priori oder stiilschweigend Einflusssgrössen ausschliessen sollte. Der Fragesteller soll ja lernen, welche Faktoren vorliegen. Welche dann relevant sind, kann er beurteilen, wenn er die numerische Lösung analysiert.
Schönen Abend
Gruss
Jörg |
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