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wie weit spritzt Wasser aus einer schrägen Rinne
 
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Gast 102018



Anmeldungsdatum: 30.10.2018
Beiträge: 1

Beitrag Gast 102018 Verfasst am: 30. Okt 2018 13:32    Titel: wie weit spritzt Wasser aus einer schrägen Rinne Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Ich habe mich das gefragt, als ich so einen alten Wasserturm sah, wie er früher für Dampflokomotiven benutzt wurde.
Oben ist ein Wasserbehälter und unten oft ein Rohr, manchmal aber auch eine offene Rinne.
Man stelle sich nun vor, dass es eine offene Rinne gibt (Reibunskräfte und Luftwiderstand vernachlässigt), aus der Wasser herausläuft wie bei einem Wasserfall, aber erst einmal ohne einen Anfangdruck, einfach nur herausläuft.
Diese Rinne sei beweglich angebracht, so dass man deren Neigungswinkel alpha einstellen kann.
Nun läuft das Wasser heraus; erst einmal die schräge Rinne hinunter und wird dabei mit dem von alpha abhängigen Anteil der Schwerebeschleunigung beschleunigt bis zum Austrittspunkt.
Das Wasser führt also nun praktisch einen schiefen Wurf aus, mit der Schwerebeschleunigung g und der Fallhöhe, die von der Höhe H abhängig ist, in welcher die Rinne angebracht ist. Gleichzeitig hat das Wasser noch die zusätzliche Geschwindigkeit, die von der Beschleunigung in der Rinne stammt, also noch einen von sinus(alpha) abhängigen Anteil an der Austrittsgeschwindigkeit.
Bis hierher wäre es eine relativ normale quadratische Gleichung.
Was die Sache aber komplex macht, ist dass die Höhe des Austrittspunktes ebenfalls von alpha abhängt und die "Wurfweite" des Wassers ebenfalls (weil der Austrittspunkt des Wassers mit dem sinus von alpha in der Höhe abnimmt und mit dem cosinus von alpha waagerecht zurückweicht).
Ich hatte dann eine Formel mit diversen sinüssen und cosinüssen und Wurzeln, die ich nicht mehr aufzulösen vermochte.
Davon hätte ich dann noch die 1. Ableitung machen müssen.

Die Frage ist:
bei welchen Winkel alpha (zur Waagerechten) kann man die größte Wurfweite des Wasser erzielen, oder anders ausgedrückt:
Wie weit kann das Wasser in so einer beweglichen Rinne bei einer bekannten Aufhängungshöhe H maximal spritzen und bei welchem Winkel ist dies der Fall ?

Denn anders als bei einem Gartenschlauch, wo das Wasser mit konstantem Druck herauskommt (da erhält man 45 Grad, das ist klar), ist der Druck, den das Wasser beim Austrittspunkt hat, ebenfalls vom Winkel alpha abhängig - bei 0 Grad ist gar kein Druck und bei 90 Grad entspräche es dem freien Fall, aber senkrecht nach unten, also auch keine Wurfweite).

Gefragt wäre also nach dem besten Winkel und der vom Aufhängungspunkt der Rinne aus gerechneten maximalen Wurfweite (bei einer bekannten Rinnenlänge L) des Wassers - quasi eine Gleichung, die den Auftreffpunkt auf den Boden in Abhängigkeit vom Winkel alpha beschreibt.


P.S. entschuldigt den langen Text - vielleicht hätte ein Anderer es auch kürzer ausdrücken können.
Für mich ist das eine interessante Denksportaufgabe, eine praktische Bedeutung hat dies wohl eher selten oder gar nicht.

Meine Ideen:
Die Fallhöhe des Wasser sei H (Aufhängungspunkt der Rinne).
Die Rinnenlänge sei L.
Die Austrittgeschwindigkeit am Ende der Rinne ist abhängig von der Rinnenlänge und dem Winkel alpha.
Das Wasser wird über die Länge L konstant mit g*sin(alpha) beschleunigt.
Mit L = 1/2 * g * sin(alpha) * t² (ich krieg diese mathematischen Zeichen nicht gut hin) und v = g * sin(alpha) * t ergibt sich nach einigem Umformen: v = Wurzel aus 2 * L * g * sin(alpha).
(Weiß leider nicht, wie ich auf meiner PC-Tastatur das Wurzelzeichen machen kann).
Mit dieser Geschwindigkeit führt das Wasser dann einen schiefen Wurf nach unten aus.
Dabei ist aber die Wurfweite nicht nur von dieser Geschwindigkeit und dem Wurfwinkel alpha abhängig, sondern noch weiter von der Lage des Austrittspunktes.
Diese ist bestimmt vom Winkel:
die Höhe ist H - L * sin(alpha)
und der waagerechte verbleibende Längenanteil ist L * cos(alpha).

Dies alles nun in eine handhabbare Formel zusammenzurechnen, mit der man nun die (maximale) Wurfweite berechnen kann, ist mir auch nach mehreren Stunden nicht mehr gelungen.
Da braucht es wohl Leute, die noch etwas mehr drauf haben.
Bin gespannt, wer diese Frage lösen kann und wie.
Frankx



Anmeldungsdatum: 04.03.2015
Beiträge: 981

Beitrag Frankx Verfasst am: 31. Okt 2018 18:35    Titel: Antworten mit Zitat

Das riecht nach einem Extremwertproblem.

Dazu müsste man die Bewegungsgleichung aufstellen (Schräger Wurf nach unten, mit Erweiterung um vom Einstellwinkel abhängiger v0)

Dann wird die 1. Ableitung nach dem Weg gebildet und Null gesetzt.

Dann wird diese 1. Ableitung nach dem Weg aufgelöst und geprüft, ob die Lösung ein Maximum ist.

Das ist ziemlich viel Schreibarbeit und ich bin mir nicht sicher, ob die Auflösung der Ableitung nach dem Weg analytisch möglich ist.
Eventuell findet sich hier jemand, der diese Mühe auf sich nehmen will.


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