Seilwellen: Transmission und Reflexion

Gillian · Gast

Hallo zusammen!

Ich habe da ein Problem mit einer Wellenaufgabe. Also, es hat zwei Seile, welche verknüpft sind und jeweils andere Längendichten aufweisen. Man muss nun jeweils für die einfallende, reflektierte sowie transmittierte Welle die Gleichung aufstellen und lösen, so dass:

--> Die Summe der einfallenden und reflektierten Welle ist gleich der transmittierten Welle… und

--> Die Ableitung (nach dem Ort) der Auslenkungen der Wellen auf beiden Seiten des Knotens ist auch gleich.

NUn muss man die Amplituden berechnen und die Phasenbeziehung aufschreiben.

Dazu habe ich folgende Fragen:
Kann man davon ausgehen, dass w(omega) sowie k (Wellenzahl) gleich ist, wenn es um das gleiche Seil geht? Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit ja gleich ist? Aber auch so habe ich 7 Unbekannte und nur 2 Gleichungen???

Vielen herzlichen Dank im Voraus für eure Hilfe, ich muss die Aufgabe heute Abend schon abgeben udn habe keine Ahnung, wie man sowas löst :-(

Gruss
Gillian

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich denke, dass das Problem in der Quantenmechanik einer endlichen, eindimensionalen Potentialstufe entsprechen dürfte. Mal sehen, ob man die Methode von dort nicht auch auf das hier anwenden kann...
Dort geht man so vor, dass man die Zeitabhängigkeit erstmal raus läßt. Das kann man machen, wenn die Potentiale nicht zeitabhängig sind. Die Potentiale entsprechen bei Dir den Seileigenschaften, die ja auch fest sind, also Du hast ja fest/zeitunabhängig gegeben, dass das eine Seil bis zur Knüpfstelle eine bestimmte Längendichte etc. hat und das andere Seil eben ab dieser Knüpfstelle die andere Längendichte. Du kannst jetzt einfach eine einlaufende und reflektierte Welle "links" annehmen und eine auslaufende "rechts" (Knüpfstelle sei bei x = 0):
links:

A, B und C sind Konstanten. Für die k solltest Du aus den Angaben für das Seil passende Werte raus bekommen:

Jetzt kommen die beiden Randbedingungen an der Knüpfstelle

und

Damit bekommst Du 2 Gleichungen für die Konstanten A, B, und C. A ist aber dei Amplitude der einfallenden Welle, die ja beliebig sein kann. Du könntest für A einfach eine 1 annehmen, oder alles in Abhängigkeit von A rechnen, das ist egal...
Die Reflexion bekommst Du einfach aus dem Verhältnis B/A. Die Transmission ist dann 1-(B/A), allerdings nicht C/A. Weil sich das k ändert, ist das nicht mehr richtig.
Die Zeitabhängigkeit bekommst Du, wenn Du weißt, wie bei den Seilen sich das

ausrechnen läßt, also aus den Seileigenschaften. Dann solltest Du das einfach in die Funktionen mit rein schreiben können, etwa so:

Und entsprechend für den rechten Teil.
Warum man das so auftrennen kann (also in zeitunabhängig und dann die Zeitentwicklung so einfach reinbauen), das ist etwas komplizierter. Kann ich jetzt schlecht hier alles rein schreiben. Vielleicht als Plausibilitätsunterstützung: Die Differenzialgleichung (eindimensionale Laplace-Gleichung: y'' = 0) muß ja für alle Zeitpunkte t erfüllt sein. Auch für t=0, was genau auf den ersten Ansatz führt. Du kannst ja überprüfen, ob es auch für alle anderen Zeitpunkte funktioniert an der endgültigen Gleichung (dazu mußt Du wahrscheinlich den Zusammenhang zwischen k und

irgendwie einsetzen, oder so... weiß ich jetzt auch nicht genau...)

Gruß
Marco

Gast

Hallo Marco,

Vielen Dank für Deine ausführliche Antwort. Wir haben für die Wellen die folgende Formel y(x,t)=A*sin(kx-wt), kann man diese analog verwenden? Also auch t nicht beachten, und dann für x=0 ausrechnen?

k ist hier 2*Pi / Lambda
w(omega) ist 2*Pi / T

Ich weiss nun nicht, ob sich die k's bzw die w's ändern oder gleich sind für die einlaufende Welle und die reflektierende bzw. einlaufende und transmittierende? Oder hat man in der Gleichung dann k1,k2, w1,w2?

Sorry, ich bin etwas schwer von Begriff... :-(

Gruss
Gilian

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Wie ist den k in Abhängigkeit der angegebenen Seilkonstanten. Ich habe die Formeln leider auch nicht parat, aber eigentlich solltet Ihr gelernt haben, dass k sich aus der Längendichte des Seils (und vielleicht noch anderen Konstanten?) ausrechnen läßt. Die Zeitentwicklung hängt dann einfach von der Anregefrequenz ab, mit der die einlaufende Welle erzeugt wurde.

Gruß
Marco

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Hallo nochmal!

Dass Du das mit t und Omega erstmal weg lassen kannst, liegt daran, dass Omega ja überall gleich sein muß, wenn Du nur eine Anregefrequenz hast. Dann hast Du überall noch den Phasenfaktor

stehen und könntest den z. B. auch einfach "raus kürzen" aus der ganzen Gleichung.

Gruß
Marco

Gast

Hallo,

Also k lässt sich ausdrücken als omega * sqrt(F/Längendichte)

Was ist aber die Kraft (Zugkraft) eines gespannten Seils?

Vielen Dank nochmals!

Gruss,
Gillian

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Eigentlich sollte die Kraft irgendwie angegeben sein, aber Du kannst sie wahrscheinlich auch einfach mal als F drinstehen lassen (also als Konstante). Vielleicht fällt die später so wie so raus, keine Ahnung...

Wenn Du die Gleichungen so ansetzt, wie ich das oben geschrieben habe, dann bekommst Du ja zwei Gleichungen:

für die Randbedingung, dass y(0) für links und rechts gleich sein muß und:

Wenn Du die zweite nach C auflöst (also einfach durch k(rechts) teilst), und das dann in die ersten einsetzt, bekommst Du eine Beziehung zwischen A und B. Wie sieht das aus. Lasse erstmal einfach k(links) und k(rechts) als Konstanten drin stehen. Die können wir später dann noch mit der Längendichte und so ersetzen.

Gruß
Marco