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"Zeitlicher" Radius einer 4D-Kugel in der Raumzeit
 
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Collinas Erbe
Gast





Beitrag Collinas Erbe Verfasst am: 12. Jun 2018 17:00    Titel: "Zeitlicher" Radius einer 4D-Kugel in der Raumzeit Antworten mit Zitat

Gedankenexperiment:

Wie groß wäre in einer einsteinschen Raumzeit der "zeitliche" Radius einer 4D-Kugel, wenn im Raum die 3D-Kugel mit Radius z.B. 1KM warnehmbar wäre ?

Mache mir gerade darüber Gedanken, habe aber keinen Lösungsansatz. In einem geometrischen euklidischen Raum mit 4 Ortsachsen w, x, y, und z könnte ich den Radius ja auf jeder der 4 hypothetischen Achsen abtragen, der Gestalt w = x = y = z = 1KM.

Wie sieht das aber für die einsteinsche Raumzeit aus, bei der eine Achse eine Zeitachse ist und 3 Achsen Ortsachen sind ? Eine Kugel erstreckt sich ja in alle Achsrichtungen um denselben Wert ....

Danke vorab
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 12. Jun 2018 21:18    Titel: Antworten mit Zitat

Na eine Kugel in einer 4D-Raumzeit wäre dann

Dieses Maß ist in der SRT aber nicht besonders nützlich.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17901

Beitrag TomS Verfasst am: 13. Jun 2018 23:18    Titel: Re: "zeitlicher" Radius einer 4D Kugel in der Raum Antworten mit Zitat

Collinas Erbe hat Folgendes geschrieben:
Wie groß wäre in einer einsteinschen Raumzeit der "zeitliche" Radius einer 4D-Kugel, wenn im Raum die 3D-Kugel mit Radius z.B. 1KM warnehmbar wäre ?

Mir ist die Problemstellung nicht klar.

Eine „vierdimensionale Kugel“ ist kein invarianter und m.E. auch kein sinnvoller Begriff im Kontext der SRT.

Um was geht es dir?

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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Steffen Bühler
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7226

Beitrag Steffen Bühler Verfasst am: 14. Jun 2018 09:41    Titel: Antworten mit Zitat

Ich greife das Thema mal auf, weil es mich auch interessiert, allerdings unbelastet jeglicher relativistischer Kenntnis.

So wie der Kreis durch und die Kugel durch

beschrieben werden können, lässt sich ja eine mathematische Hyperkugel durch beschreiben. Und wenn der Radius r=1km beträgt, sind die zwei Hauptachsen des Kreises, die drei der Kugel und eben auch die vier der Hyperkugel gleichfalls 1 Kilometer lang.

Nun kommt wahrscheinlich mein falscher nächster Schritt: in Wikipedia ist zu lesen, dass in der SRT zu den Ortskoordinaten x, y und z die Koordinate ct dazukommt. Also das Produkt aus Lichtgeschwindigkeit und einer bestimmten Zeit.

Und nun könnte man doch mit Schulalgebra argumentieren: wenn ich eine Hyperkugel mit Radius 1km haben möchte, müssen die vier Hauptachsen, also auch ct, 1km lang sein. Somit gilt dann: . Das wäre für mich die Antwort auf die Frage des Threaderstellers.

Aber ist dieser Gedankengang kompletter Unsinn? Wo beginnt er, falsch zu werden?

Viele Grüße
Steffen
Ich



Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching

Beitrag Ich Verfasst am: 14. Jun 2018 11:13    Titel: Antworten mit Zitat

Es geht wohl um den Unterschied zwischen einem euklidischen Raum und einer lorentzschen Raumzeit. Wenn man eine Einheitskugel im euklidischen Raum definiert als alle Punkte mit x²+y²+z²+w²<=1, dann wäre das formal wohl:
x²+y²+z²-t²<=1.
Das ist ein unendliches Volumen, das in Zeitrichtung von einem zweischaligen Hyperboloid begrenzt wird. Eingeschlossen sind alle Ereignisse, die vom Ursprung aus gesehen in keinem Bezugssystem weiter als eine Einheit in der Zukunft oder in der Vergangenheit liegen.
Collinas Erbe
Gast





Beitrag Collinas Erbe Verfasst am: 14. Jun 2018 15:59    Titel: Antworten mit Zitat

Der Ansatz von Stefan Bühler ware auch mein Gedankenansatz gewesen.

@TomS
Verstehe den Punkt nicht, daß ein vierdimensionales Objekt nicht im Kontext der SRT stehen soll. Ist die SRT nicht in 4 Dimensionen definiert ?

@Ich
Warum hat eine Einheitskugel in einem 4D euklidischen Raum ein unendliches Volumen ?`
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17901

Beitrag TomS Verfasst am: 14. Jun 2018 16:37    Titel: Antworten mit Zitat

Die Metrik = das Abstandsmaß im 3-dim. euklidischen Raum ist definiert mittels des 3-dim. Phythagoras. Der Radius einer Kugeloberfläche lautet dann



wobei die Koordinaten x,y,z alle Punkte der Kugeloberfläche parametrisieren und der Radius R fest ist.

Dieses Abstandsmaß ist invariant unter Galilei-Transformationen, d.h. beliebige, gegeneinander translatierte, rotierte oder bewegte Beobachter schreiben der Kugeloberfläche immer den selben Radius zu.


In der 4-dim. Raumzeit der SRT liegt nun eine völlig andere, nicht-euklische Geometrie vor: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Minkowski-Raum

Das natürliche Abstandsmaß lautet



Dieses Abstandsmaß ist invariant unter Poincare-Transformationen, d.h. wieder für beliebige, gegeneinander translatierte, rotierte oder bewegte Beobachter.

Der wesentliche Unterschied ist, dass relative Bewegung zueinander z.B. die zeitliche Distanz und damit auch die räumliche Distanz ändert - Stichwort Zeitdilatation und Längenkontraktion.

Wenn zwei Ereignisse in der Raumzeit einen Abstand s voneinander haben, dann stimmen beliebige bewegte Beobachter bzgl. dieses S überein. Sie stimmen jedoch nicht bzgl. R und t separat überein!

Betrachten wir zwei Beobachter B und B’, die sich zu einem Zeitpunkt am Mittelpunkt der Kugel befinden, sich jedoch relativ zueinander in x-Richtung bewegen. Vernachlässigen wir zunächst y- und z-Koordinate,

Diese Beobachter schreiben einem Punkt auf der Kugeloberfläche einen 4-dim. Abstand von ihrem Ort zu:



Es ist jedoch



Die 3-dim. Kugel „erscheint“ dem einen Beobachter Lorentz-kontrahiert bzw. deformiert.


Die Idee, eine 4-dim. Kugel mittels eines Abstandsbegriffs



einzuführen, ist in dieser Geometrie unnatürlich bzw. bedeutungslos.


t.b.c.

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Steffen Bühler
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.01.2012
Beiträge: 7226

Beitrag Steffen Bühler Verfasst am: 15. Jun 2018 10:21    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für diese geduldige Erklärung! Minkowski benutzt also den 4dimensionalen euklidischen Raum (bei dem die meisten Leute eh schon Schwierigkeiten haben) und verändert ihn zu einem nichteuklidischen Raum.

Sehe ich es richtig, dass es mit euklidisch wäre, dass also nur dieses Minus alles verändert?

Falls ja, wäre diese Darstellung nicht ebenfalls sinnvoll? So werden die Raum-Zeit-Koordinaten doch auch in einem Quadrupel zusammengefasst, mit dem man rechnen könnte, wenn man die relativistischen Effekte ignoriert.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 17901

Beitrag TomS Verfasst am: 15. Jun 2018 10:42    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, Minus ändert alles.

Das Plus ist aber schlichtweg nicht sinnvoll, da es zu nichts führt, was physikalisch irgendwie relevant wäre. Alle relevanten Objekte und Gleichungen enthalten explizit oder implizit das Minus.

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Ich



Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching

Beitrag Ich Verfasst am: 18. Jun 2018 14:26    Titel: Antworten mit Zitat

Collinas Erbe hat Folgendes geschrieben:
Der Ansatz von Stefan Bühler ware auch mein Gedankenansatz gewesen.
[...]
@Ich
Warum hat eine Einheitskugel in einem 4D euklidischen Raum ein unendliches Volumen ?`
Eine Einheitskugel im 4D euklidischen Raum hat endliches Volumen. Danach hattest du aber nicht gefragt. Deine Frage war:
Zitat:
Wie sieht das aber für die einsteinsche Raumzeit aus, bei der eine Achse eine Zeitachse ist und 3 Achsen Ortsachen sind ?
Die einsteinsche Raumzeit ist nichteuklidisch. Der Unterschied ist, salopp gesagt, dass Hyperbeln an die Stelle von Kreisen treten. Die Gleichung R²=1 führt also zu einem zweischaligen Hyperboloid, und die Ungleichung R²<=1 zu einem unendlich großen Körper, der von diesem Hyperboloid begrenzt wird. Der Vorstellbarkeit halber wird immer eine Dimension unterdrückt, die Bilder zeigen also die x,y,t Geometrie ohnr z-Achse. Die muss man sich dazu denken.

Zuletzt bearbeitet von Ich am 18. Jun 2018 14:44, insgesamt 2-mal bearbeitet
Ich



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Beiträge: 913
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Beitrag Ich Verfasst am: 18. Jun 2018 14:30    Titel: Antworten mit Zitat

Steffen Bühler hat Folgendes geschrieben:
Falls ja, wäre diese Darstellung nicht ebenfalls sinnvoll? So werden die Raum-Zeit-Koordinaten doch auch in einem Quadrupel zusammengefasst, mit dem man rechnen könnte, wenn man die relativistischen Effekte ignoriert.
Die Koordinaten werden auch dann zu einem Quadrupel zusammengefasst, wenn man es richtig macht. Das sind dann Vierervektoren. Deren Skalarprodukt lautet eben x1x2+y1y2+z1z2-t1t2. Ansonsten alles wie gehabt.
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