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Nachricht |
physikanfänger98
Anmeldungsdatum: 09.06.2018
Beiträge: 9
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 physikanfänger98 Verfasst am: 09. Jun 2018 18:23 Titel: Pendel im Auto |
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Meine Frage:
Aufgabe: Ein einfaches Pendel der Länge L und der Masse m hänge in einem Auto, das mit konstanter Geschwindigkeit v eine kreisförmige Rennstrecke vom Radius R durchfährt.
Angenommen, das Pendel führt kleine Schwingungen in radialer Richtung um seine Gleichgewichtslage aus. Welche Frequenz hat die Schwingung?
Meine Ideen:
Die Zentripetalbeschleunigung wirkt ja einmal mit der horizontalen Komponente der Gravitationsbeschleunigung und einmal gegen sie. Meine Vermutung hier wäre, dass sie sich also aufhebt, sich das Pendel aber in einem Winkel zur Vertikalen einstellt, welcher durch  gegeben ist.
Wie ich von hieraus jetzt weitermachen soll, weiß ich leider nicht. Hat irgendjemand eine Idee? |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 10. Jun 2018 10:39 Titel: |
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Also, erst mal ist
 )
Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass das Pendel aus der Ruhelage - Winkel alpha - um den Winkel Beta ausgelenkt und dann losgelassen wird.
Neben der Rückstellkraft und der Trägheitskraft wirkt noch die Zentripetalkraft auf die Masse. Der Betrag der Zentripetalkraft wiederum hängt vom momentanen Auslenkwinkel ab.
Das Ergebnis ist eine komplizierte DGL.
Schon die Bestimmung des exakten Auslenkwinkels in der Ruhelage ist nicht so leicht (wenigstens für mich)
 }{R+ L\cdot \sin(\alpha_0 ) } - g\cdot \sin(\alpha_0 ) = 0)
Der für die Zentripetalkraft relevante Radius beträgt
 )
 })
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 10. Jun 2018 13:55, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6202
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| Myon Verfasst am: 10. Jun 2018 11:46 Titel: |
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Gesucht ist die Schwingungsfrequenz für kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage, also für eine harmonische Schwingung. Es muss keine komplizierte Differentialgleichung gelöst werden.
Für kleine Auslenkungen ist die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung. Die Bewegungsgleichung hat also die Form
=-k(\alpha-\alpha_0))
für ein k>0. Gesucht ist die tangential wirkende Kraft ) für eine kleine Auslenkung aus der Gleichgewichtslage  . k kann bestimmt werden über
}{d\alpha})
Mit der Konstanten k ergibt sich aus der obigen Bewegungsgleichung die Schwingungsfrequenz. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 10. Jun 2018 12:03 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Gesucht ist die Schwingungsfrequenz für kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage, also für eine harmonische Schwingung. Es muss keine komplizierte Differentialgleichung gelöst werden.
Für kleine Auslenkungen ist die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung. Die Bewegungsgleichung hat also die Form
für ein k>0. Gesucht ist die tangential wirkende Kraft für eine kleine Auslenkung aus der Gleichgewichtslage . k kann bestimmt werden über
Mit der Konstanten k ergibt sich aus der obigen Bewegungsgleichung die Schwingungsfrequenz. |
Bei kleinen Auslenkungen hast Du natürlich recht. Aber sind die Auslenkungen wirklich klein? Da keine Werte für v, R, L gegeben sind, folge ich Deinem Ansatz. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 10. Jun 2018 12:17 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Gesucht ist die Schwingungsfrequenz für kleine Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage, also für eine harmonische Schwingung. Es muss keine komplizierte Differentialgleichung gelöst werden.
Für kleine Auslenkungen ist die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung. Die Bewegungsgleichung hat also die Form
für ein k>0. Gesucht ist die tangential wirkende Kraft für eine kleine Auslenkung aus der Gleichgewichtslage . k kann bestimmt werden über
Mit der Konstanten k ergibt sich aus der obigen Bewegungsgleichung die Schwingungsfrequenz. |
NACHTRAG
Wo ist die Zentripetalkraft? |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6202
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| Myon Verfasst am: 10. Jun 2018 13:42 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Bei kleinen Auslenkungen hast Du natürlich recht. Aber sind die Auslenkungen wirklich klein? Da keine Werte für v, R, L gegeben sind, folge ich Deinem Ansatz. |
muss nicht klein sein. Da darf man also keine Näherungen bei den Winkelfunktionen verwenden. Klein ist nur ) . Daneben nimmt man natürlich an, dass  gilt.
| Zitat: | NACHTRAG
Wo ist die Zentripetalkraft? |
Die Zentripetalkraft (oder Zentrifugalkraft, wenn man die Situation im System des Autos betrachtet) steckt in der rücktreibenden Kraft F drin. F setzt sich zusammen aus einer Komponente der Zentrifugal- sowie einer Komponente der Gewichtskraft.
Damit man in
}{d\alpha}\bigg|_{\alpha=\alpha_0}=...)
die Winkelfunktionen rausbringt und auf ein „schönes“ Resultat kommt, braucht man noch, dass gilt
=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}},\quad\cos(\arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}})
Alternativ kann man auch die Winkelfunktionen umgehen, indem man die Kraft F in Abhängigkeit der horizontalen Auslenkung x ausdrückt (und sin(..)=x/L etc. benutzt) und dann um  herum entwickelt. Einfacher ist das aber nicht unbedingt. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 6119
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 10. Jun 2018 13:51 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Bei kleinen Auslenkungen hast Du natürlich recht. Aber sind die Auslenkungen wirklich klein? Da keine Werte für v, R, L gegeben sind, folge ich Deinem Ansatz. |
muss nicht klein sein. Da darf man also keine Näherungen bei den Winkelfunktionen verwenden. Klein ist nur . Daneben nimmt man natürlich an, dass gilt.
| Zitat: | NACHTRAG
Wo ist die Zentripetalkraft? |
Die Zentripetalkraft (oder Zentrifugalkraft, wenn man die Situation im System des Autos betrachtet) steckt in der rücktreibenden Kraft F drin. F setzt sich zusammen aus einer Komponente der Zentrifugal- sowie einer Komponente der Gewichtskraft.
Damit man in
die Winkelfunktionen rausbringt und auf ein „schönes“ Resultat kommt, braucht man noch, dass gilt
Alternativ kann man auch die Winkelfunktionen umgehen, indem man die Kraft F in Abhängigkeit der horizontalen Auslenkung x ausdrückt (und sin(..)=x/L etc. benutzt) und dann um herum entwickelt. Einfacher ist das aber nicht unbedingt. |
Vielen Dank für Deine prompte Antwort.
Hast Du eine bessere Idee als ich zu bestimmen?
Mache jetzt erst einmal Urlaub. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 6202
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| Myon Verfasst am: 10. Jun 2018 20:25 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | Hast Du eine bessere Idee als ich zu bestimmen? |
Wie gesagt, man darf hier sicher annehmen, dass , sodass sich die Gleichgewichtslage einfach aus dem Verhältnis v^2/(g*r) ergibt. Dann lässt sich auch die Aufgabe lösen und die gesuchte Frequenz bestimmen, die ebenfalls von diesem Verhältnis abhängt. |
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