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Nachricht |
Simonqwertzu
Anmeldungsdatum: 19.01.2018
Beiträge: 1
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 Simonqwertzu Verfasst am: 19. Jan 2018 12:56 Titel: Herleitung Trägheitsmomentes eine beliebigen Polygons |
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Meine Frage:
Ich bin auf der Suche nach der Herleitung der Formel für das Trägheitsmomentes einesbeliebigen Polygons.
Meine Ideen:
I_{yy} = \frac{1}{12} \sum_{i = 1}^{n-1} ( z_i^2 + z_i z_{i+1} + z_{i+1}^2 ) \cdot a_i \
ich glaube der macht über die koorfinaten kleinere Flächen aber ich finde dazu nirgends näheres |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 19. Jan 2018 15:32 Titel: Re: Herleitung Trägheitsmomentes eine beliebigen Polygons |
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| Simonqwertzu hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Ich bin auf der Suche nach der Herleitung der Formel für das Trägheitsmomentes einesbeliebigen Polygons.
Meine Ideen:
I_{yy} = \frac{1}{12} \sum_{i = 1}^{n-1} ( z_i^2 + z_i z_{i+1} + z_{i+1}^2 ) \cdot a_i \
ich glaube der macht über die koorfinaten kleinere Flächen aber ich finde dazu nirgends näheres |
 \cdot a_i \) |
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Simonqwertzui
Gast
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| Simonqwertzui Verfasst am: 19. Jan 2018 15:44 Titel: |
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hast du auch eine Idee wie diese Formel zustande kommt ? |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 19. Jan 2018 16:01 Titel: |
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| Simonqwertzui hat Folgendes geschrieben: | | hast du auch eine Idee wie diese Formel zustande kommt ? |
Um welche Kategorie von Polygonen geht es? |
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Simonqwertzuio
Gast
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| Simonqwertzuio Verfasst am: 19. Jan 2018 16:03 Titel: |
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um ein ungleichmäßiges zwölfeck |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18062
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| TomS Verfasst am: 19. Jan 2018 23:42 Titel: |
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Rein intuitiv würde ich das in einzelne Dreiecke zerlegen.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 20. Jan 2018 10:50 Titel: |
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| Simonqwertzuio hat Folgendes geschrieben: | | um ein ungleichmäßiges zwölfeck |
Wie lautet die Definition von a und z? |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 20. Jan 2018 10:53 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Rein intuitiv würde ich das in einzelne Dreiecke zerlegen. |
Es geht aus der Frage nicht hervor, ob es sich um eine Fläche oder einen Linienzug handelt. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 20. Jan 2018 11:27 Titel: |
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Es geht um ein Polygon mit n-1 Ecken (natürlich die ganze Fläche, nicht nur der Polygonrand). Der Punkt n ist mit Punkt 1 identisch. Die  sind die Polygonseitenlängen, nehme ich jetzt einmal an.
Wenn ich das Flächenträgheitsmoment für ein dreieckiges Polygonsegment mit der Seitenlänge berechne, erhalte ich
}{12}\sqrt{\frac{a_i^2}{(z_i-z_{i+1})^2}-1})
Im Moment sehe ich nicht, wie man damit auf die Formel kommt. Randterme, welche nicht proportional zu sind, müssten sich bei der Summation wegheben.
Edit: Beitrag geändert, es handelt sich um ein Polygon mit n-1 Ecken.
PPS: Sehe gerade, dass mir ein Fehler unterlaufen sein muss, denn das obige Flächenträgheitsmoment könnte je nach dem negativ werden, was nicht sein kann. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5866
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 20. Jan 2018 13:28 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | Es geht um ein Polygon mit n-1 Ecken (natürlich die ganze Fläche, nicht nur der Polygonrand). Der Punkt n ist mit Punkt 1 identisch. Die sind die Polygonseitenlängen, nehme ich jetzt einmal an.
Wenn ich das Flächenträgheitsmoment für ein dreieckiges Polygonsegment mit der Seitenlänge berechne, erhalte ich
Im Moment sehe ich nicht, wie man damit auf die Formel kommt. Randterme, welche nicht proportional zu sind, müssten sich bei der Summation wegheben.
Edit: Beitrag geändert, es handelt sich um ein Polygon mit n-1 Ecken.
PPS: Sehe gerade, dass mir ein Fehler unterlaufen sein muss, denn das obige Flächenträgheitsmoment könnte je nach dem negativ werden, was nicht sein kann. |
@Myon
Trotzdem gefällt mir Dein Ansatz. Es taucht immerhin die 4. Potenz auf, während bei der Formel die 3. Potenz steht, was bei einem Flächenträgheitsmoment nicht sein kann.
Gruss
Jörg |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 20. Jan 2018 13:42 Titel: |
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@Mathefix: Danke für Deinen Hinweis! Das hat mich darauf gebracht, dass nicht gut eine Seitenlänge sein kann, denn sonst würde die Formel dimensionsmässig nicht stimmen. Nun sehe ich hier, dass gilt
Das ändert einiges (sollte die Sache eher vereinfachen). |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5870
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| Myon Verfasst am: 20. Jan 2018 20:39 Titel: |
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Durch Zerlegung in Dreiecke kann man die Formel tatsächlich beweisen. Aber es ist eine elend mühsame Rechnerei, ich würde das kein zweites Mal machen.
Das Flächenträgheitsmoment für ein dreieckiges Polygonsegment kann wie folgt berechnet werden (der einfacheren Notation halber habe ich nicht Indizes i, i+1, sondern die Indizes 1 und 2 verwendet)
\,dz+\int_{z_2}^{z_1}z^2\left(\frac{zy_1}{z_1}-\left(y_2+\frac{(z-z_2)(y_1-y_2)}{z_1-z_2}\right)\right)\,dz)
Dabei wurde vorausgesetzt z1>z2, y1>y2. Die anderen Fälle funktionieren analog.
Ausrechnen der Integrale und mühsames Vereinfachen der vielen Terme führt auf
})
Nun muss noch gekürzt werden. Das ist möglich, indem 6 Terme ergänzt (jeweils addiert und subtrahiert) werden. Man erhält schliesslich
-y_2(z_1^3+z_1^2z_2+z_1z_2^2)\right))
Dies entspricht dem Summanden mit i=1, womit die Gültigkeit der Formel gezeigt ist. |
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