Wärmeleitungsgleichung für zwei Messpunkte in einem Körper

Kasi1203 · Anmeldungsdatum: 30.11.2016 Beiträge: 28 Wohnort: Bremen

Meine Frage:
Hallo,
ich habe einen Zylinder D=4,7 mm, an welchem ich für 2 Sekunden eine Wärmequelle auf den gesamten Umfang wirken lasse. Die Temperatur kann ich nach 3 Sekunden außen (r = 2,35 mm) Messen, und ab "der nullten Sekunde" (Beginn der Wärmeeinbringung)kann ich in einem Radius von 1,5 mm die Temperatur ebenfalls messen.

Nun müssen der Temperaturverlauf der beiden Messpunkte ja über eine Gleichung miteinander verknüpfbar sein. Ich möchte berechnen wie die Temperatur Außen bei Sekunde 2 (Ende des Wärmeeintrags) ist. Ansonsten habe ich alle Werte und Verläufe. Es wird keine Wärme in Form von Konvektion oder Strahlung abgegeben. Das System ist adiabat zur Umgebung.

Meine Ideen:
Ich werde gleich ein Bild Hochladen, auf welches ich mich jetzt beziehe. Wenn in einem Kart. Koordinatensystem auf der Y-Achse die Temperatur T aufgetragen ist, und auf der X-Achse die Zeit. Habe ich zwischen 0 und 2 Sekunden einen Linearen Anstieg der Wärmemenge und damit der Temperatur. Genau die Wärmemenge verteilt sich ja nun in dem Zylinder. Außen gemessen Verläuft die Temperatur ab 3 Sekunden Stark abfallend. Am zweiten Messpunkt steigt die Temperatur langsam, und sinkt dann wieder ab. Beide Werte nähern sich an.

Ich denke das man über das Fourriersche Gesetz da etwas machen kann. Mit der Umsetzung ist es aber schwierig, da man ja ein Instationären Fall hat.

Fällt jemanden eine elegante rechnerische Lösungsmethode ein?

Beste Grüße
Kasi

Kasi1203 · Anmeldungsdatum: 30.11.2016 Beiträge: 28 Wohnort: Bremen

Hier der Temperaturverlauf.
Wo Thermoelement steht, bedeutet es 1,5 mm Radius und Wärmebild bei 2,35 mm.

Danke für die Unterstützung!

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Du musst dafür die Wärmeleitungsgleichung lösen:
https://en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation

Kasi1203 · Anmeldungsdatum: 30.11.2016 Beiträge: 28 Wohnort: Bremen

Damit ist dann also die Homogene Wärmeleitungsgleichung gemeint richtig?
Wenn ich das verwende habe ich dann also diese Gleichung:

Soweit Richtig?