Trägheitskraft bei Seilauslenkung

Bounce · Gast

Hallo zusammen: Hab grad ein kleines Problemchen mit der Seilspannung (Themengebiet Schallwellen)

Also zur Erklärung:
Sein Seil hat eine Seilspannung o(für sigma), die Länge l und die Auslenkung a.

Dann gibt es doch da diese Trägheitskraft. Und bei der Trägheitskraft hab ich irgendwie ein Verständnisproblem.

Die Formel für diese Kraft lautet (Fx ist die Spannkraft):
F = Fx * dy/dx = o*A * dy/dx.

Meiner Meinung nach ist die Spannkraft ja an jeder Stelle des Seiles gleich groß. Also müsste ja nach dieser Formel die Trägheitskraft umso größer sein, je größer dy/dx ist, also quasi je größer die "Steigung" der ausgelenkten Seiles ist, oder? Und das widerum müsste ja heißen, dass die Trägheitskraft am Maximum der Auslenkung gleich 0 ist.

Warum??? Das kann doch nicht sein oder??

Bitte helft mir, im Juni sind schon die ersten Klausuren, muss das jetzt unbedingt verstehn sonst krieg ich die Krise!

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Ich glaube, bei Deiner Formel stimmt nicht, dass Du die erste Ableitung für die Rückstellkraft hast, da sollte eher die zweite Ableitung stehen. Außerdem ist das erstmal die Rückstellkraft und nicht die Trägheitskraft, allerdings muß die dann nachher wieder gleich sein, weil actio = reactio auch für die infinitesimal kleinen Massepunkte auf der Saite stimmen muß.
Das bedeutet also: Die Kraft, die so ein Teilchen erfährt ist proportional zu der Krümmung der Saite an dieser Stelle. Ist die Seite nicht gekrümmt (zweite Ableitung = 0), ist der benachbarte Punkt eins weiter links gerade so viel unter-/oberhalb dem betrachteten Punkt, wie der eins weiter rechts ober-/unterhalb ist. Der mittlere Punkt wird also gleich stark nach oben wie nach unten gezogen, so dass er effektiv überhaupt keine Kraft erfährt und deshalb auch keine Beschleunigung. Er wird also die selbe Geschwindigkeit behalten, wie er vorher hatte.
Wenn man jetzt z. B. mal eine sinusförmige Welle betrachtet --> zweite Ableitung vom Sinus ist minus-Sinus und hat dann genau an den selben Stellen ein Extremum, wie die ursprüngliche Sinusfunktion auch. Also ist die Rückstellkraft dort am stärksten, wo die größte Auslenkung ist.

Ich bin mir jetzt nicht sicher, was genau Deine Schwierigkeit ist: Verstehst Du (noch) nicht, wie man auf das mit der zweiten Ableitung kommt? Oder verstehst Du nicht, wie man das interpretiert?
Kannst Du mal noch nachschauen, ob Deine Formel wirklich mit der ersten Ableitung ist und wenn ja, für welches Modell die hergeleitet wurde? Ich hatte mich jetzt auf eine rein transversale Welle auf einer eingespannten Saite bezogen. Aber es gibt natürlich noch longitudinale. Da müsste ich mir dann aber auch nochmal Gedanken machen. Kann natürlich sein, dass es für ein bestimmtes Modell auch irgendwie die erste Ableitung raus kommt. Allerdings hatte ich Dich so verstanden, wie ich es oben beschrieben habe, und da sollte dann tatsächlich das mit der zweite stimmen.

Gruß
Marco

Bounce · Gast

Hi! Erstmal danke für die Antwort.

Um das mit Longitudinal- bzw Transversalwellen klarzustellen. Hier meine ich auf jeden Fall Longitudinalwellen, die durch das Schwingen dieser Saite erzeugt werden (-> Schallwellen).

Ich bin mir relativ sicher, dass ich die erste Ableitung dy/dx und nicht d²y/dx² da stehen hab.

Aber ich hab ehrlich gesagt auch insgesamt die Herleitung dieser Phasengeschwindigkeit cs = Wurzel (o/p) überhaupt nicht verstanden (wobei o=Spannung und p=Druck).

Gast

Nachtrag:

Am Ende haben wir dann auch folgende Formel rausgebracht:

d²y/dx² = o/p * d²y/dt²

Diese Formel kann ich noch einigermaßen nachvollziehen, weil ja damit die Rückstellkraft d²y/dx² proportional zur Beschleunigung d²y/dt² wäre.

Ich dachte aber eigetnlich immer, dass die Rückstellkraft und die Beschleunigung vom Betrag her sowieso immer gleich sind.

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

uiuiui... Da geht einiges durcheinander! Gut dass Du hier gefragt hast. Alleine wäre das wahrscheinlich ziemlich schwer gewesen alles zu entwirren.
Die letzte Gleichung ist klar. Da wird ja gerade verwendet, dass F=ma immer stimmen muß. Aber die Sache ist ja: wie groß ist denn die Rückstellkraft. Und das ist genau die Herleitung, die Du vorher hattest. Dass die dann gleich Masse mal Beschleunigung ist führt dann erst auf die Wellen-Differentialgleichung, wie Du sie am Schluß geschrieben hast.
Eine andere Sache: Mit transversal/longitudinal meine ich die Wellen auf der Saite. Dass die Schallwellen in der Luft, die davon abgekoppelt werden, dann longitudinale Wellen sind, ist eine andere Sache. Das bedeutet nicht, dass auf der schwingenden Saite nicht transversale Wellen sein können. Bei den Formeln von Dir scheint es sich auch tatsächlich um transversale Wellen zu handeln. Die Luft und die Schallausbreitung in der Luft ist da erstmal unwichtig. Du könntest Dir das ganze auch im Vakuum vorstellen. Die Saite würde auch dann schwingen, allerdings würde man natürlich nichts hören, weil ja das Medium für die Schallausbreitung fehlen würde.
Ich versuche Dir mal einen Überblick zu geben, bevor ich das alles von Grund auf herleite. Vielleicht reicht der sogar schon aus, damit Du alles einsortieren kannst:
Du nimmst ein Modell für eine schwingende Seite. Dabei unterteilst Du diese in viele (unendlich viele) kleine (unendlich kleine) Masseteilchen entlang der Saite. Diese Massepunkte haben eine x- und eine y-Koordinate. Die Saite soll sagen wir mal im Ursprung und einem Punkt mit x=l und y=z=0 eingespannt sein. In der Ruhelage würden also alle Massepunkte auf der x-Achse liegen. Die Massepunkt können sich in dem Modell aber erstmal nur in y-Richtung bewegen, es sind also nur transversale Wellen (auf der Saite) möglich. Zwischen den Massepunkten sind kleine Federn gespannt, so dass eine Kraft von direkt benachbarten Punkten jeweils gegenseitig wirkt. Das ist erstmal das Modell, das man betrachtet.
Um jetzt die Dynamik eines solchen Systems beschreiben zu können, müssen wir wissen, wie die Kräfte auf jedes einzelne Massenteilchen ist. In x-Richtung wirkt immer die Kraft Fx zwischen den einzelnen Massepunkten. Da jeder Massepunkt zwei Nachbarn links und rechts hat (bei den Endpunkten ist die eine Seite dann die Einspannvorrichtung), erfährt jedes Teilchen in x Richtung einmal die Kraft Fx nach links (zum linken Nachbarn) und einem Fx nach rechts. Die beiden Kräfte heben sich also auf, so dass das Teilchen in x-Richtung in Ruhe bleibt, wenn es nicht durch eine äußere Kraft aus dieser Ruhelage ausgelenkt wird. Das würde dann zu longitudinalen Schwingungen auf der Saite führen, was es natürlich auch gibt. Aber das wollen wir hier nicht betrachten.
Allerdings wollen wir den Fall betrachten, dass die Teilchen in y-Richtung von der x-Achse weg ausgelenkt sind. Sobald ein Teilchen so ausgelenkt wird, entstehen ja Kräfte in y-Richtung, also senkrecht auf die Saite. Die ganze Herleitung geht jetzt darum, diese Kraft zu berechnen.
Dazu greift man sich willkürlich einfach mal 3 benachbarte Massepunkte raus. Dies sollen zu einem bestimmten Zeitpunkt jeweils eine bestimmte y-Position haben. Ihre x-Position ist einmal X für den mitteleren Punkt, X-dx für den linken Nachbarn und X+dx für den rechten Nachbarn. Die y-Position ist einfach y(X) für den mittleren und y( böse

+/-)dx) für die Nachbarn.
Wenn Du jetzt die effektive Kraft auf den mittleren Massepunkt ausrechnen willst, mußt Du eigentlich zwei Dreiecke einzeichnen und die Kräfte zum linken und rechten Partner in einen x- und y-Anteil zerlegen. Der x-Anteil dieser Kräfte hat dann wieder den selben Betrag nach links wie nach rechts, so dass wieder keine Kraft in x-Richtung resultiert. Aber was ist mit Fy? Fy wird nur 0, wenn die drei Punkte auf einer Geraden liegen würden. Dann wäre die Kraft, die der linke Nachbar nach z. B. unten zieht gleich der Kraft, wie der rechte Nachbar nach oben zieht und die beiden würden sich auch aufheben. Wenn die Massepunkte aber nicht auf einer Geraden liegen (also zweite Ableitung ungleich 0), dann addieren sich die Kräfte nicht mehr zu 0. Du mußt dann jeweils mit Sinus und Tangens aus den Dreiecken den y-Anteil der Kräfte ausrechnen und links und rechts addieren. Das macht man normalerweise mit der "Kleinwinkelnäherung", so dass sowohl der Sinus als auch der Tangens eines Bogenwinkels ungefähr gleich dem Bogenwinkel selbst ist. Das ist genau die Herleitung, die Ihr gezeigt bekommen haben sollte. Schau mal, ob Du so die Kraft auf den Massepunkt ausrechnen kannst und dann auch auf die zweite Ableitung kommen kannst. Wenn Du das nicht hinbekommst, ist es nicht so schlimm! Dann kannst Du gerne nochmal posten. Ich versuche den Teil dann noch zu erklären. Aber eigentlich ist das nicht so extrem schwer und es würde sicher Deinem Verständnis und Deinem Selbstbewußtsein gut tun, wenn Du das selber rausfinden kannst! Big Laugh

Ja, wenn Du die Kraft hast, kannst Du die über die Masse mit der Beschleunigung gleichsetzen und hast die endgültige Wellengleichung da stehen.
Viel Glück!

Gruß
Marco

Bounce · Gast

Hi! Habs dank deiner ausführlichen Erklärung glaub ich einigermaßen überrissen worums geht. Mit der Kleinwinkelmethode hab ichs jetzt mal so versucht:

Wenn man annimmt, dass die Auslenkun ein Kreisabschnitt mit Radius r ist, dann wäre bei hinreichend kleinem Winkel der Tangens des Bogenwinkels ungefähr gleich dem tan dy/dx, so dass die Gleichung lautet:

tan alph. = dx/r = dy/dx

Und da das Verhältnis dy/dx gleich dem Verhältnis von Fy/Fx ist, lautet die Gleichung unter Berücksichtigung beider Richtungen:

Fy1 = Fx * dy1/dx
Fy2 = Fx * dy2/dx

Fy = Fy1 + Fy2

So, und jetzt weiß ich nicht mehr weiter grübelnd

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5787 Wohnort: Heidelberg

Hallo!

Sehr gut! Thumbs up!

Allerdings habe ich da noch eine Kleinigkeit etwas anders: Die Kräfte wirken nämlich bei gleichem y' von links und rechts gerade in die umgekehrte Richtung. Wenn Du Dir nochmal Deine Zeichnung anschaust, wirst Du das wahrscheinlich selbst sehen können. Ohne Zeichnung ist das etwas schwer zu erklären. Versuche das mal nach zu vollziehen, wenn es nicht klappt, kann ich versuchen eine Zeichnung zu mache und es anhand dieser zu erklären. Aber eigentlich würde ich mir den Aufwand gerne sparen...
Ich habe also so was hier:

So, bisher haben wir ja diskrete Stellen entlang der x-Achse betrachtet. Jetzt müssen wir irgendwie den Übergang ins Kontinuum schaffen. Dafür müssen wir wieder ein dx = x2 - x1 definieren und kommen dann auf das hier:

Ich glaube, das ist jetzt mathematisch noch nicht so ganz sauber, aber ich hoffe, dass die zugrundeliegende Idee dadurch etwas klarer wurde. Ich muß das nochmal in Ruhe überschauen, um das noch richtig sauber hin zu bekommen.

Gruß
Marco

Boucne · Gast

Hey, danke für deine Mühe. Kannst echt gut erklären, da könnte sich der ein oder andere Prof an der FH mal ne Scheibe abschneiden.

Hab zwar immer noch nicht alles komplett verstanden, aber mir ist jetzt einiges klarer gewordn!

MFG, Uli