Störungstheorie

Heisenberg93 · Anmeldungsdatum: 31.10.2015 Beiträge: 93

Guten Abend zs,

ein Teilchen bewege sich in einer räumlichen Dimension im Potential

mit

und

hinreichend klein, sodass der Term als Störung aufgefasst werden kann.

1) Berechnen Sie die Korrektur zu den Energieeigenwerten in erster Ordnung (Hinweis: Nutzen sie die Symmetrie des Problems aus)

2) Berechnen Sie soweit möglich, die Verschiebung der Grundzustandsenergie in zweiter Ordnung

Mein Ansatz:
1) Ich habe mir das Potential hingezeichnet, sehe aber nicht, wie mir die Symmetrie weiterhelfen soll.

Ich würde die Energiekorrektur erster Ordnung mit der allg. Formel

bestimmen, wobei

der Eigenzustand zum Eigenwert

(also die Lsg. für den ungestörten Hamiltonoperator) ist.

2) Kann ich hier auch die Symmetrie benutzen oder wie bestimme ich ansonsten die Energiekorrektur zweiter Ordnung?

Heisenberg93 · Anmeldungsdatum: 31.10.2015 Beiträge: 93

Anmerkung zu 1)

Die stationären Lösungen des ungestörten Hamiltonoperators sind cos- oder sinus-Funktion, je nach dem ob die Quantenzahl ungerade oder gerade ist.

D.h. ich muss der Integrale der Form

ausrechnen. Ich habe es mit partieller Integration versucht, komme aber nicht weit. Sind diese Integrale überhaupt wohldefiniert?

benruzzer · Anmeldungsdatum: 02.02.2014 Beiträge: 160

Du musst nicht über den gesamten Raum integrieren sondern von -a/2 bis +a/2, da die Wellenfunktion ja nur in diesem Bereich proportional zum Sinus bzw. Cosinus ist und außerhalb Null. Die gesamte Wellenfunktion müsste eigentlich mit Sprungfunktionen zusammengebastelt werden, was die Integrationsgrenzen deutlich macht.

Heisenberg93 · Anmeldungsdatum: 31.10.2015 Beiträge: 93

Stimmt und da ich über eine ungerade Funktion mit periodischen Intervallgrenzen integriere, erhalte ich jeweils 0 für die Energie Korrekturen erster Ordnung.

Weißt du wie ich die Energiekorrekturen zweiter Ordnung bestimme?

benruzzer · Anmeldungsdatum: 02.02.2014 Beiträge: 160

Prinzipiell über die hier: https://de.wikipedia.org/wiki/St%C3%B6rungstheorie_(Quantenmechanik)#Energiekorrektur_zweiter_Ordnung beschriebene Formel. Die Auswertung der Summe könnte man mal über partielle Integration und Orthogonalitätsargumente versuchen zu knacken

Heisenberg93 · Anmeldungsdatum: 31.10.2015 Beiträge: 93

Ich habe versucht, die Summe mithilfe der Orthogonalität aufzulösen, klappt aber leider nicht.

Hat vielleicht jemand von euch eine Idee oder sieht den " Trick " wie man die Summe auflösen kann?

Die Eigenwerte und Eigenzustände des ungestörten Hamiltonoperators sind

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Wie sieht denn deine Berechnung der einzelnen Matrixelemente in der Summe aus?

Heisenberg93 · Anmeldungsdatum: 31.10.2015 Beiträge: 93

Hallo Toms,

meine Rechnung sieht wie folgt aus:

In der vorletzten Gleichheit habe ich verwendet, dass

ein vollständiges Orthonormalsystem bildet.

Ist das korrekt oder habe ich irgendwo einen Rechenfehler gemacht?

benruzzer · Anmeldungsdatum: 02.02.2014 Beiträge: 160

In dieser Schreibweise ist V für sich zunächst basisunabhängig und muss durch einfügen von zwei mal x-"1" links und rechts von V in die Ortsdarstellung bebracht werden. Das führt zu einem Integral, wodurch du x nicht einfach aus dem Matrixelement ziehen kannst

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Anders formuliert:

Du solltest dir die Bedeutung der bra-Ket-Notation nochmal klarmachen. Dazu gehört auch die Herleitung meiner Umformung, warum nämlich das "=" gilt; Hinweise siehe Beitrag von benruzzer.

Heisenberg93 · Anmeldungsdatum: 31.10.2015 Beiträge: 93

benruzzer · Anmeldungsdatum: 02.02.2014 Beiträge: 160

Die Summe kann allgemein für gerade m (Schreibweise z.B 2k) aufgestellt werden. Dann kann man das Integral für das Matrixelement "<1|V|2k>" lösen (Es soll ja die Energiekorrektur vom Grundzustand berechnet werden). Die Summe über alle k bricht nicht ab, konvergiert jedoch (hoffentlich Big Laugh

).

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18030

Jedenfalls muss man die Matrixelemente mal konkret berechnen, um etwas über die Summe sagen zu können