Herleitung des dritten Keplerschen Gesetzes

xyz zyx · Gast

Meine Frage:
Hey, ich versuche gerade die Herleitung des 3. Keplerschen Gesetzes zu verstehen. Dazu habe ich mir die Wikipedia-Seite dazu durchgelesen, komme aber an einer Stelle nicht weiter. Auf Wikipedia steht folgendes:

"In Kombination mit dem Gravitationsgesetz erhält das 3. Keplersche Gesetz für die Bewegung zweier Massen M und m die Form:

? 3. Keplersches Gesetz, Formulierung mit zwei Massen
wobei die Näherung gilt, wenn die Masse m vernachlässigbar klein im Vergleich zu M ist (etwa im Sonnensystem). Durch diese Form kann man etwa die Gesamtmasse von Doppelsternsystemen aus der Messung der Umlaufdauer und des Abstandes bestimmen." (ich bin mir nicht sicher ob die Formeln korrekt angezeigt werden, dehalb hier nochmal den Link zur Seite, dort beim Unterthema Herleitungen steht es:https://de.m.wikipedia.org/wiki/Keplersche_Gesetze)

Zu meiner Frage:Ich verstehe nicht wie man auf das G(M+m) im Nenner kommt.

Meine Ideen:
Wenn ich versuche dass Keplersche Gesetz mit dem Gravitstionsgesetz zu kombinieren kommt das heraus:

aus der Herleitung des Gravitationsgesetzes entnehme ich:

Gleichsetzen und nach

umformen:

Das ist aber ja nur die Näherungsform, keine Ahnung wie ich auf G*(M+m) kommen soll.

Ps: Ich finde es ehrlich gesagt auch etwas komisch, dass man das Gravitationsgesetz dazu nutzt, schließlich wurde dieses ja durch die ursprüngliche Form des keplerschen Gesetzes selbst hergeleitet (zumindest bei der Herleitung die ich mir angeschaut habe). Wärr nett,wenn mich auch hier jemand aufklären könnte.

Danke schonmal für die Hilfe ;-)