Rechenzeichen einsetzen

Brillant · Anmeldungsdatum: 12.02.2013 Beiträge: 1973 Wohnort: Hessen

In der folgenden Aufgabe sind die Rechenzeichen + - * / zu setzen. Punktrechnung vor Strichrechnung:

10 _ 5 _ 3 _ 2 = 21

Mir scheint, die Aufgabe ist mit Probieren nicht lösbar. Wie geht man sowas gezielt an? Wie könnte man nachweisen, dass sie nicht lösbar ist?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8582

Sie ist lösbar.

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Die Aufgabe ist eindeutig lösbar.

Das Problem dabei ist, dass man bei Finden einer richtigen Kombination sofort gezeigt hat, dass es eine Lösung gibt. Findet man dagegen keine, kann es immer noch sein, dass man etwas übersehen hat, es sei denn, man hat alles durchprobiert.

Nachdem ich die Lösung per Hand gefunden hatte, habe ich mir zusätzlich noch ein Computerprogramm geschrieben, dass einfach alles durchprobiert.

Drei Sachen sind mir (trivialerweise) aufgefallen:

Erstens: Wenn ich die Zahl "21" rechts durch x ersetze, dann gibt es keine Kombination an Rechenvorschriften, die eine Zahl größer als 300 produziert, denn die (erlaubte) Rechenoperation, die die bereits vorhandenen Werte am meisten vergrößert, ist immer das Malzeichen: 10*5*3*2 = 300.

Zweitens: Für die Zahl x = 21 gibt es genau eine Lösung, manchmal gibt es aber auch zwei (zum Beispiel für x = 3, 4 oder x = 10).

Drittens: Da im allgemeinen Fall die Zahlen links vom Gleichheitszeichen beliebig sein sollen (bei dir sind sie jetzt 10, 5, 3 und 2) und da die Rechenoperationen mal und geteilt auch noch die Punkt- vor Strich-Regel bewirken, ist es schwierig, allgemeine Aussagen zu treffen. Beispielsweise ist es ein Riesenunterschied, ob man a+b+c+d = x prüfen will
oder a+b*c+d = x.
Es gibt in deinem obigen Beispiel 64 Möglichkeiten und die kann man einfach mit einem Computer durchprobieren, falls man die Lösung so nicht gleich sieht.

Brillant · Anmeldungsdatum: 12.02.2013 Beiträge: 1973 Wohnort: Hessen

Habe dir Lösung auch gefunden.

Geht das nur mit Probieren? Keine Logik?

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Ich habe nur Tendenzen gefunden, aber keine alleserschlagende Logik, weil die "Logik" ja eigentlich in den Rechenoperationen steckt, die man austauscht.

Man kann ein wenig versuchen, nach Primzahlen Ausschau zu halten und die Nicht-Primzahlen in Primfaktoren zu zerlegen. Beispielsweise siehst du, wenn du die 2 abziehst von der 21, kommst du auf 19 und die ist nicht darstellbar als Faktoren von 10 der 5, also würde nur + und - bleiben oder man würde gebrochene Zahlen haben, die aber sehr unwahrscheinlich genau miteinander verrechnet wieder eine ganze Zahl ergeben, es sei denn, man hat irgendwelche besonderen Brüche.

Das ist aber keine feste Logik, sondern nur tendenziell so und außerdem ist es genaugenommen wieder Herumprobieren.

Und dann kann man weiterhin schauen, was herauskommt, wenn man nur einzelne Zahlenblöcke mit mal oder geteilt gruppiert - beispielsweise kann man 3*2 ausprobieren und man sieht dann, dass alles andere nur noch plus sein muss in diesem Fall (dahinter steckt die "Logik", dass oft bei solchen Zahlenrätseln reines + und - als "einfach" angesehen werden, deswegen steckt oft ein Malzeichen dabei und wenn man das als Erstes findet, hat man den Rest schneller).