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Was bedeutet das geschnörkelte O?
 
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Zombiepriester



Anmeldungsdatum: 05.12.2016
Beiträge: 62

Beitrag Zombiepriester Verfasst am: 01. Jun 2017 22:50    Titel: Was bedeutet das geschnörkelte O? Antworten mit Zitat

Hallo
ich bin jetzt schon wiederholt über Terme mit einem gerschnörkelten O gestoßen, wo in Klammern ein Potenzterm steht (Beispiele als Bilder anbei, da ich dieses Zeichen nicht kenne, ergo auch nicht in Latex tippen kann, außerdem bin ich faul). Dieses kommt immer In Kontext infinitesimaler Terme vor. Z.b. im Zusammenhang mit dem Impulsoperator in der QM tauchte in einem Skript die "infinitesimale Transformation" auf, wo eben die Transformation auf einen kleinen schritt runtergebrochen wird. Genauso stieß ich darauf im Zusammenhang mit der ART drauf, wo man so aus dem Krümmungstensor die Metrik bekommt. Dieses O Symbol erinnert mich noch am ehesten an eine Methode aus der Informatik, wo man Laufzeitverhalten in Ordungen eben mit x^2 oder so einteilt. Aber das als Summand in einer Gleichung zu verwenden ist ja sehr Sinnfrei, außer die Gleichung hätte rein symbolische Bedeutung. Zudem verstehe ich nicht, wie man auf die genaue Zusammensetzung einer Solchen Gleichung gelangt (Der Faktor 1/3 bei dem ART-Term scheint mir z.b. sehr willkürlich). Ich vermute also es steckt dahinter eine Mathe-Disziplin wo man eben sowas entwickelt.
1. Also wie nennt man das Zeichen?
2. Was bedeutet es?
3. Wie kommt man auf diese "Infinitesimalen Gleichungen"?



gleichung.png
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gleichung.png


jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 01. Jun 2017 23:59    Titel: Antworten mit Zitat

Guck mal hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Landau-Symbole
Zombiepriester



Anmeldungsdatum: 05.12.2016
Beiträge: 62

Beitrag Zombiepriester Verfasst am: 02. Jun 2017 10:44    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, so nennt man das also, das hab ich ja mit der Laufzeitanalyse schon angesprochen, aber wie bereits gesagt, mir ist nicht klar, was das dann als Summand in einer Gleichung soll.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 02. Jun 2017 18:39    Titel: Antworten mit Zitat

Meistens geht es um den Fall kleiner Änderungen, d.h. :

bedeutet dass

d.h.
.
In Worten: f(x) - x wächst nicht schneller als x^2.
Zombiepriester



Anmeldungsdatum: 05.12.2016
Beiträge: 62

Beitrag Zombiepriester Verfasst am: 05. Jun 2017 00:01    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, dann zu meiner dritten Frage: Wie kommt man auf das Wachstumsverhalten und vor allem auf die anderen Komponenten der Gleichung?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 05. Jun 2017 00:04    Titel: Antworten mit Zitat

Indem man es ausrechnet??

Was ist das für eine Frage?
Zombiepriester



Anmeldungsdatum: 05.12.2016
Beiträge: 62

Beitrag Zombiepriester Verfasst am: 05. Jun 2017 14:18    Titel: Antworten mit Zitat

Ist mir schon klar, aber wie genau? Bei der Impulsoperatorsache wird die Gleichung einfach in den Raum gestellt. Die Einheitsmatrix macht ja noch irgendwo Sinn, aber woher weiß ich, dass da ein i stehen muss und keine 2? Wie ist der Ansatz um so etwas zu bestimmen? Der Ansatz für x einfach dx einzusetzen ist ja wenig hilfreich wenn man die Gleichung der Matrix nicht kennt. Und wie kommt man darauf, dass es genau x^2 sein muss? Und noch viel wichtiger: Wozu ist das überhaupt gut, dass ich das weiß?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 05. Jun 2017 21:56    Titel: Antworten mit Zitat

Dazu muss man sich die Funktion, die man untersucht, genau ansehen. Zum Beispiel für sin(x): Die Taylorentwicklung um x0=0 liefert:

Dies ist also gleich

oder

oder

oder


Beim Translationsoperator gibts verschiedene Herangehensweisen: Eine ist den Impulsoperator mithilfe Deiner Gleichung oben zu definieren als Generator der Translationen. In anderen definiert man den Impulsoperator über die Kommutatorrelation mit dem Ortsoperator und zeigt dann, dass er die Translationen generiert. Auftretende Faktoren von i und 2 (und was weiss ich noch) sind im wesentlichen Definitionssache.
Zombiepriester



Anmeldungsdatum: 05.12.2016
Beiträge: 62

Beitrag Zombiepriester Verfasst am: 05. Jun 2017 23:32    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, bei deinem Sinusbeispiel, nur damit ich sicher bin dass ich es verstanden habe, man könnte auch z.b. sagen O(x) oder auch O(1)? Und es zeigt schön, warum sich in mir noch alles dagegen sträubt, solange die letzte Frage aus meinem vorherigen Absatz nicht beantwortet ist. Ich kann für O ja relativ viel hernehmen und wie ich das jetzt verstanden habe nutzt man das O zur Definition von Funktionen über unendliche Summen, deren Zusammensetzung man aber nicht kennt. Man sagt einfach "Das wächst kleiner als x^2, mehr müssen wir nicht wissen". Was bringt einem das? Das ändert doch nichts daran, das man fast keine Ahnung hat, wie die Funktion aussieht. Und zu der Operatorsache: Man definiert es also so, dass es passt. Gut, kann man akzeptieren, und es stimmt ja letztendlich auch. Aber wenn wir mein anderes Beispiel anschauen, wird mir klar, ich hab immer noch nicht den blassesten Schimmer, wie man darauf kommt. Ich kann jetzt genauer verstehen was die Gleichung bedeutet und dafür bin ich auch sehr dankbar, aber wie kommt man auf sowas? (Wahrscheinlich weißt du das auch nicht so genau, weshalb du es auch noch nicht offenbart hast, aber hast du eine Ahnung, was ich lesen muss um das zu verstehen?)
ML



Anmeldungsdatum: 17.04.2013
Beiträge: 3384

Beitrag ML Verfasst am: 06. Jun 2017 11:06    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

Zitat:

Man sagt einfach "Das wächst kleiner als x^2, mehr müssen wir nicht wissen". Was bringt einem das? Das ändert doch nichts daran, das man fast keine Ahnung hat, wie die Funktion aussieht.

wenn Du schreibst, dann weißt Du, dass Du für kleine* -Werte anstelle der Sinusfunktion näherungsweise die Funktion (also: ) verwenden kannst und dabei insgesamt einen kleinen Fehler machst.

Die Bedeutung von "hoch drei" verstehst Du, wenn Du einmal einen kleinen Wert in den Taschenrechner eingibst -- beispielsweise 0,001 -- und dann die x^3-Taste drückst. "Klein hoch drei" ist viel kleiner als nur "klein hoch 1".


Viele Grüße
Michael



* gemeint sind -Werte, die sich in der Nähe des Entwicklungspunktes der Reihe, hier , befinden.
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